Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Эти три условия могут быть представлены следующими равенствами: (7. ! 2) Исходя из уравнения равновесия сил н проекциях на ось х, получим неравенство для необходимой силы тяги !',Г,Р. — (Рл+ Р„.). (7.! 3! х Будем предполагать отношение — настолько мальш, что з выра- ?7 жениях, входящих под знак интегралов, можно будет положить; При таком предположении давление из (7.7) булет представляться формулой р = — ~~ — (2аз+ Зих — ха), (7.14) Первое из условий (7.12) приводит к уравнению (гч — ЗаЧ вЂ” 2аз = О, единственным положительныч корнем которого будет; Р=2а, 2! 8 (гл.
ч ~ гидгодннлмичзскля твогия смазки Полставляя значения р из (7.14) и Ь из (7.15) в (7.8) и (7.10), получим; 77Нл ' (7, 16) Входящая в выражения (7.16) неизвестная величина а должна определяться из второго условия (7.12), т. е. из уравнения н га" 9=13,5 —, Н' (7.17) () ..': 0,417 Я) ' -7-.
(7. 18) В последнем неравенстве коэффициент при — може~ рассматриваться Ч А' как коэффициент трения качения. Величина этого коэффициента, как это видно нз (7.18), убывает с уменьшением толщины слоя Н и веса единицы длины катка — н с увеличением р н еь причдм зависимость с от последних трех параметров значительно слабее, чем от толщины слои Н, В частности, при р= ос (абсолютно твердый слов) коэффициент трения качения булет равен нулю. Аналогично булет решаться задача й в том случае, когда цилиндр будет совершать не чистое ка шние, а чистое скольжение по вязкому слою.
В этом случае надо лишь изменить зтарыс граничные условия (7,3) на верхней границе рассматриваемого слоя, Рассмотренная задача характерна тем, что з ней используется дополнительное граничное условие для лзвления и продольная протяженность слоя считается неизвестной. 8 8. Элементарная гидродинамнческая аналогия прокатки При прокатке раскаленного металла происходит явления течения, которые з некотором отношении будут аналогичны явлениям течения очень вязкой жидкости. На эту аналогию впервые обратил внимание И. В.
Мещерский '). Приближенное решение соответственной гилро- динамической задачи было дано в монографии С. М. Тарга я). Это з) М е щ е р с к н й И. В., Гндродннзмнческзя аналогия прокатки, Известия Первого петрогр. полнтехн, нн-та, т. ХХЪ'111, 1919. з) 7 арг С. М., Основные задачи теории ламинарных течений, Гостех- пзлат, 1951, Если в неравенстве (7,13) мы отбросим результирующую силу трения Р,.
и подставим значение Р из (7.16) и значение а из (7.17), то получим: е ф 8! этементАРнля ГиаРодинлмичьскАЕ лнАлогия ИРОИАтки 219 решение строится с помощью прнближзнных »равнений Рейнольдса для слоя. Пусть два цилинлрических валка равных радиусов )с вращаются в разные стороны с постоянной угловой скоростью а. Между поверхностями этих валков располагается прокатываемая полоса, имеющая до прокатки толщину 2НР, а после прокатки 2Н, (рис. 59). Переменная толщина 2Л полосы между валками будет представляться уравнением Л = Рс+ Н,— Р'Рсв — «в.
(8.1) В силу наличия симметрии относительно оси х будем рассматривать только верхнюю половину слоя. Обозначая через а длину слоя под валками и принимая условие прилипания частиц ме. галла к поверхностям валков, будем в виде: Рнс. 59. иметь граничные условия ди — =-О, и=б, ду и = -а(!т+ Н,— д), у=о Р =-/! при при (8.2) Р=--О, р =. О. при х.—.= и при ах =- ! — ду = — — ~ и ду + и (гс -(- Н вЂ” л) —, Гди д р дд .! ду дх,) дх ' откупа ь 2 ~ и ду — а (дз-- 2 (й-!- Н,) Л + хв! = сопл1. А Если в послелнее равенство поаставнть и ив (8.3) и использовать граничные условия (8.2) лля давления, то найдем: р(х) = Зра ~ (Ле — я-)- Н!) А+ С! —:.„-, р(и) =О.
Решая первое уравнение (7.1) и удовлетворяя граничкым условиям (8.2) для и, получим: — — ~~ (ут — йа) — (И+Н, — — д) 1 др (8.8) 11з уравнения неразрывности, учитывая граничные условия (8.2) дчя.и, будем иметь: 220 [гл. ч! ГИЛРОДИНЛМИЧЕСКЛЯ ТЕОРИЯ СМЛЬКИ Полагая На — " 'й.- й. Л» ̈́— Н т= — — ж лх а получим из (8.4) слелующие приближенные равенства; На+ Н ! ! ̈́— Нт !!Е)' Пусть г,г — количество вещества, проходящее за единицу времени через сечение ААп С!г — количество вещества, которое прошло бы через это сечение за то же время, если бы все частицы двигались со скоростью, равной окружной скорости валков.
Тогда олеуелсением при прокатке называется ведичина )е, определяемая следующим отношением: (8.8) В рассматриваелшм случае будем имеюн и, !) — = — 2 ~ (гг)л, гту, Г>, == 2мйН,. а Вс,!и ввести обозначения Н Н г — ! + 2г,'5 г+! аа — ! и полставить значение р нз !8 5) и (8.3), то получим: 3 л~ Н! у (и) = -- мй) 1+ — —,', —,— ), ь) = 2мйН,(!+я!) Следовательно, опережение будет равно параметру во представляе- мому. послелней форму!ой (8.7), Раскладывая 1пт) в ряд и ограничиваясь в разложении первыми тремя членами, получим лля опережения приближенную формулу При прокатке горячего металла при температурах 700 — ш900' опытные значения опережения при 9=0,225 лежат в пределах 1 1 й 2 8ага' ~=1 2 Л 4 бо7а.
озозщвнныв тглвнвния гвйнольдсл для слоя 221 На основании же формулы (9.8) получаюгся следующие результаты: „1 11 д 35е,. т) 12 й 65о; м 9. Обобщйнные уравнении Рейнольдса для слоя В 9 2 бЫЛО унаЗаНО На ~О, ЧтО ИрнбЛИяГВИНГае ураВНЕНИя рсйнольдса для смазочного слоя совершенно не учитывают квадратичных членов инерции и частично учитывают слагаемые от вязкости. Благодаря эгим двум допущениям оказалось возможным сравнительно просто решать такие отдельные конкретные задачи. которые были рассмотрены в Чв 4, 5, 7 и 8. Естественно поставить вопрос, нельзя ли приближенно учесть часть квадратичных членов инерции, но так, чтобы при этом сохранилась та простота решения отдельных задач, которая имеет место при использовании самих уравнений Рейнольдса.
Оказывается, что это можно сделать, если вместо проекции действительного ускорения на ось х авеста его осреднвнное по толщине слоя значение. Лля плоско-параллельного установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости без учета массовых сил основное уравнение в проекции на ось х представляется в виде др , даи дзи ) (9.1) дх 1 дхч дуа где 1г' -- проекции вектора ускорения на ось х, равная й/ — — + 19.2) дх ду' ! Умножая левую и правую части 19.2) на — ду и интегрируя по д толщине слоя, получим выражение для среднего ускорения в рассматриваемом сечении слоя ~(д+д) а (9.3) Таким образом, формула (8,8) дает несколько завышенные результаты, но по своему порядку эти результаты удовлетворительно согласуются с эксперимента.чьными.
Характер распределения давлений, даваемый форл|улой 18.5), также удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными. Нз основании этих результатов сравнения теории и опыта можно придти к тому заключению, что я ряде случаев обработки горячего металла давлением можно для решения отдельных вопросов пользоваться аналогией с соответственной задачей течения очень вязкой жидкости (гл.
ч1 гидгодинамичвскля теогня смазки Вместо истинного ускорения Гг' в левой части (9,1) подставим его осреднаиное по толщине слоя значение и затем проведем те упрощения, которые были ироведены прн выводе уравнений (2.!б) Рейнольдса, тогда получим: оаи ! др ! доа н дх+ . — р- ==О, оч ди ди — + †.=- О дл. ду ь Уравнения (9.4), приближенно учитывающие квадратичные члены инерции, естественно назвать обобщенныжи урианенияии Реднольдси для слоя. Так как правая часть первого уравнения (9А) не будет зависеть от переменного у, то интегрирование этой системы уравнений будет проводиться так же просто и в том же порядке, в котором проводилось интегрирование основных уравнений Рейнольдса в Я 3 н 4. Проводя интегрирование по переменному у в первом и третьем уравнениях (9.4), будем иметь: и= — 2( — —,+-- !Рп,)У +С,Р+СЯ 1/1 др ! (9.5) ! ди в —.—..
— ) — — дт+С., ,) дхПодставляя найденные значения и н о я ~етвертое уравнение (9.4), можно получить выражение для среднего ускорения, а используя граничное условие для скорости о, можно получить соответственное уравнение для давления. Правую часть выражения (9.4) для среднего ускорения можно представить в другой форме, если учесть равенства ь д ! и' 1 о и)г — — бу — — (ия)„—, дх .( 2 2 дх * о ь ь ь ои) — ~ и — бу — — ои~ + ~ и — бу, о (ди,,д! ил — д де+ (! = д ! и бу+ (и)а дх + С! (о)ь = 9 9! озоюцзнные трлвнения ряйнольдсл для слоя Таким образом, среднее по толщине слои ускорение будет иметь вид В'ср — — 1, ~д |пас!у — (и)4,= ~ п4(у+Се(и)4,— (ои)р~ (9.6) О о где через (и)„и (ои)р обозначены значения величин, эаключенных в скобки, иа верхней границе слои (л) и на нижней (О).
В качестве примера использования уравнениИ (9А) рассмотрим задачу о сдазливании слоя вязкого вещества параллельными пластинками (рис. 60) при следуюьцил услозняк: у:=0 л —.=О, о=О, у.—.= 'и а — О, и == — ! при т э р== О, р.= О. при (9.7) Рис. 60. при х= О х=! при Используя граничные условия (9.7), получим выражения для ско- ростей и = —,' А (уз--уй), (9.8) где 1 др 1 А .=. — — + — В'рр. и дх (9.9) Второе граничное условие для и дает уравнение Из дА — К =- — —. 12 дх' Следовательно, 12 А = — ~' (С вЂ” х), (9. ! 0) где С4 — произвольная постоянная. Подставляя значение и из (9.8) в правую часть (9,6) и учитывая граничные условия (9.7), получим зыражецие для среднего уско- рения 1 4 дА Л ф, /44А (9.1 1) Если в выражение (9.9) подставить значение Юп, нз (9.1!) н значение А из (9,10) и провести интегрирование, то найдем: р= — я(р+ — '" ) з)(С4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
