Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Основное решение уравнения Лапласа (2А), представляющее потенциал скоростей источника в начале координат, имеет вид у= — ° 1 дг' (5.7) 243 $ 51 злдлчл ов оатвклнин ШАРА получим: Р 1, Р,=т, Р = — (Зов — 1), 1 Ро= 2 (5гз — Зт). 1 (5.12) Сопоставляя выражения числителей правых частей (5,10) с правыми частями (5.12) полиномов Лежандра, мы получаем следующую формул)к Рд: 1 то из условия ортогональности (5.!5) следует, что для всякого в, отличного от нуля, имеет место равенство Ро(соз О) з!п 0 аО = О. о Обратимся теперь к формуле (5.3) для проекции на ось х силы воздействия вязкой жидкости на неподвижный шар. Так как злемент поверхности шара на основании рис.
65 будет равен о(3 = аз з1п 0 сГО На, (5.16) то после интегрирования в правой части формулы (5.3) по углу к и использования равенства (5.14) получим: Я = 2лрУав л! — з1п О о(0 = ! дт х л д!г =- — 2лРУа ~~~~ ( — 1)в яов "л! Р„(соз О) з1п О с!О. (5.17) (я+ 1) и! А„! Таким образом, подставляя (5.13) в (5.9), получим: о = оо (5.14) Полиномы Лежандра обладают свойством ортогональности в интервале с = — 1 (О = л) и т = ! (О = 0), т. е, ег о Р„(т) Р,„(т) Нт = — ~ Р (сов О) Рж (соз О) ып О о(О = 0 (т ~ и).
-1 (5.15) Так как 244 двнжанив пти малых числах твйнольдсл, метод оэввнл (гл. я! На основании равенства (5.!О) все слагаемые в правой части (5.17) будут обращаться в нуль, кроме слагаемого, для которого в=О. Таким образом, сила воздействия вязкой несжимаемой жидкости на неподвижный шар равна (с = — 4лрУАо. (5.18) Следовательно, для определения силы сопротивления жидкости движению шара необходимо найти лишь коэффициент первого слагаемого ряда (5.14), пропорциональный мощности источника (5.7). Обращаясь к дифференциальному уравнению (2.10), заметим, что при подстановке у, = еьм)' оно переходит, как это было показано в 9 2, в урав! .ние Л)' — Фэ)' = О.
(5.19) Найдем вначале основное решение этого уравнения, зависящее только от сферического радиуса )с. Полагая у.= у(й), будем иметь: ду .г л дэу „лэ т /1 лэ! дх Р' дга дм+ Ь Ф)' а 1' = у" -1- — у', а уравнение (5.!9) примет вид 'г'в+ — Уч — Лэр =- О Р или (Г — йэЛ( = О.
Следовательно,-решение уравнения (5.19), зависящее только от сферического радиуса, имеет вид !' = — (С,еьл + Сэе-ь'!). 1 Для удовлетворения условий (5.6) на бесконечности необходимо потребовать, чтобы С =О. Таким образом, основное решение, представляющее функцию источника в начале координат для дифференциального уравнения (5.19), будет иметь вид ,-ьл (5. 20) 245 БАдлчА ОБ ОБтвклнни ШАРА Дифференцируя основное решение (5,20) по переменному х, получим новые частные решения уравнения (5.19), представляющие собой диполи различных порядков этого уравнения (5.2 1) Умножая частные решения (5.20) и (5.2!) на множитель еь"' и постоянные коэффициенты В„и суммируя, получим то общее решение уравнения (2!О), которое отвечает осесимметричному движению жи!)кости: у = — (»'-'; еь" 11 Вв — ( ). (5.22) Так как — — (й + — ) ~- — — — — (л+ — ) соз !ц -Ал ! э ч †! -Ал 2 3 у — ("+ Г) 1 — дэ ('~-Ъ)+ — ГЕ (.'+ В)К== — ~соэ З(»з + — + — „) — — (и+) —., )~ то первые слагаемые ряда для функции у ииеют вил + Вэ ~ —.
— — + созэ 0 (йэ+ — + —,))+ ... ) . (5.23) Пользуясь общими выражениями (5.14) для 9 и (5.23) для у, можно. нанти по формулам (5.2) компоненты скоростей частиц жидкости. Эти выражения для скоростеп окажутся весьма сложными, и точное удовлетворение граничных условий (5.4) прилипания потребует длительных вычислений. Поэтому. мы прибегнем к приближенному способу удовлетворения этих условий. Так как ба ! 2» 2 то малым значениям числа репнольдса будут отвечать малые значения параметра й.
Каждый член ряда (5.22) будет иметь слагаемое Е - АЛ, П - ч» Ь) да»!» дла()() которое при малом значении й имеет порядок единицы. Поскольку вся сумма ряда (5.22) должна иметь ограниченное значение, то 246 движвник пги малых числах еайнольдсл. метод озгана (гл. чп О, Вэ-О . (5.24) Учитывая эти порядки, а также разложение е гп!в ппгпв = 1 — Гг)с(1 — со5 О)+ нгтсг (1 — со5 0)э— 1 2 и сохраняя в правой части (5.23) величины, имеющие порядок не выше второй степени относительно й, получим: у — Г)+ В 1 — — О(1 — сов О)-1- — Гг-)гв(! — соэ О) !— Г! 1 г п(В 2 В, гсвг 0 — — '! — + вО соэв О1 — — (1 — 3 сова О).
э в Вг Ф! В ) (5.25) Так как в выражения скоростей (5.2) параметр Гг входит в знаменатель, то в числе слагаемых, происходящих от у, будут слагаемые, ! имеющие порядок величины —. На границе шара компоненты скол' ростей должны обращаться в пуль. Следовательно, в числе слагаемых, происходящих от функции у, должны быть слагаемые, имею- 1 щие тот же порядок величины —. На этом основании мы можем л' положить, что первые коэффициенты А„ряда (5.14) имеют порялки Ап —, А 1, Аэ д.
1 Х' (5.26) Сохраняя в ряде (5.14) три первых члена и вычисляя по формулам (5.2) компоненты скоростей лишь с точностью до значения О в первой степени, найпем: О = (в" СО5 Π— '— "+ ' ' — — '=' — В СО5 0 ! — й+ О СО5 0)+ ) .4п 2АвРв ОА Рг ! 1 л — ог Рп Рг» а Вв повез Г 1 + +Вп~ — — + — (1 — со50) )-1- Дм и 'Г 2Л,',и 4 'И,з 2Х,,Я 2Игв „= — и вь — — — -~.в,~,~(- — в.пв„,в)— Ав 5!а О ОАгг!и ОсогО . в'1 Рг Рв и (,о — — — +В ~ — — -1- — яп 0(1 — со5 0)]+ Вв51пОСО50 Г 5!ПО Гж п~ 2д В, 51п 0 ЗВг соп 0 51в 0 + 2адвв лов (5,27) естественно предположить, что коэффициенты В„с возрастанием индекса убывают пропорционально степени малого параметра О.
Примем, что первые три коэффициента имеют следующие порялкн величин: 217 9 51 3АдАчА ов овтекхини ШАРА Для удовлетворения граничным условиям прилипания (5.4) положгм в правых частях (5.27): )с = а, Собирая в первом равенстве коэффициенты при функциях Р, Р,и свободные члены, а во втором — коэффициенты при ейп 8 и з!п 8 созе, получим следующие уравнения: Ао+ — —— В В, 2Л 2 2А — В а-г1 — — )+— ,! Д41 В, о ггаг Вгаг, ЗВа ЗА, + „— — — '+ я Аг+Во 2 (1 аа)+у, 6Аз — — Вогга + — ' 1 4 ЗВг о л = — ()аз, (5.18) Из второго и четвертого равенств (5.28) найдеггг 3ца Во= —— Зла 2 —— 2 (5.19) Исключая Ая и Вз из третьего и пятого уравнений, получим: Войаг — Вгаз =- О.
Подставляя значение Во из (5.29), имеем: ЗВлаа В = а 2 —— 2 (5ЛО) При подстановке значений Во и В, в (5.28) будем иметь: Згга (1 — агаг) гг (4 — Згга) 2(г г 4 — Заа ' (5,$1) Вг сг/гаг з+ 2/г 2 (4 — Зда) ' Таким образом, при принятой нами степени приближения будут определяться только четыре постоянные Ао, Аг, Во и В„, а посгоянные А и В будут определяться лишь в своей линейной ком6инации.
248 движение пви малых числах еейнольдсл, метод озевна (гл. чн Подставляя найленное значение Ар из (5,31) в формулу (5.18) для результирующей силы воздействия жидкости на шар и вволя число Рейнольлса, получим: 1 1 — — йя )хтл = бяраЧ)э 4 * 91 — — 'й) В (5.32) Считая число Рейнольдса заведомо меньше единицы, производя разложение в правой части (5.32) и ограничиваясь слагаемыми, содержащими й лишь в первой степени, будем иметь: 3 3 3 й~=бярал(Ув — =бхиа(Г(1+ 3 'г().
(5.33) й 3 Вс= 2 (б.34) Сопоставляя порядки получснпых величин правых частей (5.34) с пред- положенными порядками величин первых коэффициентов (5.24) н (5.26), мы убен<даемся в том, что принятые допущения о порядке величин коэффициентов полностью оправдались, с) 6 а1д вге! и 3., тье ьГаппт 11ом о1 нмсонз йвЫ раж а йхеп зрпепса1 оЬз1ас)е аг зша11 КеупоЫв пвшЬгез, Ргос. Коу. Зос. А 1Ж, 1929.
Таким образом, частичный учет квадратичных членов инерции по Озеену вносит в формулу Стокса для сопротивления шара поправку, относительная величина которой в первом приближении пропорциональна первой степени числа Рейнольдса. Формула для сопротивления шара становится двучленной; первое слагаемое будет содержать скорость в первой степени, а второе — во второй степени. Дальнейшее уточнение формулы сопротивления для шара, получаемой на основе использования уравнений Озеена, было произведено Гольлштейном ').
Сделанное им сравнение результатов расчета сопротивления шара по формуле (5,33) и по уточненной формуле Гольдштейна с соответственными экспериментальными результатами показало удовлетворительное согласование до числа Рейнольдса, равного четырйм. При числе Рейнольдса, равном четырвм, относительное отклонение расчетного результата по формуле (5.33) от экспериментального достигает !бам а яо формуле Гольдштейна ув,'в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
