Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 194
Текст из файла (страница 194)
тх| Равенство (260) переходит в пределе в соответствующее выражение для несжимаемой жидкости (индекс <0») — И,'ехы = Рамн (261) гх' Далее, разделим обе части равенства (260) соответственно на обе части равенства (261); тогда будем иметь гл. хч. динамика вязкого глзл получим зависимость коэффициента трения от параметров набегающего потока и условий на стенке в следующей неявной форме: — 1я — "+РК1/ -' — "=Р+ ~.
Это уравнение можно свести к трансцендентному уравнению с одним параметром 18У+У=7., (267) (266) если положить 1.=1д — + —, й(= ГК У+6 ГК (268) Таким образом, выражение для коэффициента трения запишется в виде РК' с~о 4У~ где Р и К вЂ” известные функции, а Ф определяется из решения уравне. ния (267). Как показали расчеты, уравнение (267) может быть заменено приближенным, более простым равенством Ф = 0,123+0,8201, (270) (269) которое оказывается достаточно точным в широком диапазоне измене- ния всех параметров.
В этом случае равенство (269) принимает вид (271) 4 [О,!23+ 0,820 ~18 — + 2 )1 Для определения величины 6 необходимо задаться законом изменения вязкости с температурой. В качестве такого закона может быть принята либо формула Саттерлэнда, либо степенная зависимость вязкости от температуры. В последнем случае выражение для 6 будет Т 6= а!Я вЂ”, т где и — показатель степени в законе р-'Т".
Небезынтересно провести сравнение изложенного метода с методом Ван-Дрийста, основанным на переносе в газовую динамику формулы Прандтля. После приведения формулы Ван-Дрийста к виду (266) выясняется, что отличие заключается в величине 6, которая при принятии степенного закона изменения вязкости выражается равенством 6=~а+ — )!я —. При рассмотрении равенства (271) обнаруживается, что при больших значениях числа Рейнольдса величина отношения с,/с„очень слабо зависит ог числа Рейнольдса. Действительно, устремляя число Рейнольдса к бесконечности (Ее„- оо) или, что то же, Р к бесконечности, получим следующую предельную формулу для отношения с,/с„: К2 гм $1$1.
ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫИ СЛОИ НА ПЛАСТИНКЕ 828 Эта формула может оказаться полезной при проведении приближенных расчетов сопротивления трения при больших числах Рейнольдса. По изложенному методу были проведены расчеты местного коэффициента трения. Результаты расчета для случая отсутствия теплопередачи (Т 7Т,=1) и сравнение их с опытными данными различных авторов показаны на рис.
308. Три кривые на этом рисунке соответствуют трем различным значениям числа Рейнольдса (10', 1О' и 10'). Как явствует из рисунка, расчетные и опытные данные хорошо совпадают вплоть до больших чисел М . Влияние температурного фактора на коэффициент трения показано на рис. 309.
Рассмотрим два имеющих практическое значение частных случая. сб ст/с гю гг еб б,г б г Ф б б тб бг 'б г б б и н Рис. 308 Рис. 309 1) Теплоиэолированная пластина. В этом случае температура стенки Т равна температуре торможения: Т.=Т„(1+ ' — 'М* ), 2 (272) а величины е н у соответственно равны А — ! — М' 2 в=О, у= А †! ! + — М' 2 (273) Определяющая процесс функция К будет выглядеть так: К = ~/~ агс51п )/7. т (274) 2) Пластина с подогревом или охлаждением при малых скоростях. В этом случае, переходя к пределу при 7=0, получим 2 1$~Т вЂ” е+ е — 1) (275) В предельном случае течения несжимаемой жидкости при отсутст. вин теплоотда чи (е = у = 0) К= 1.
Изложенное решение относится к числу полуэмпирических. Напомним, что формула Кармана, положенная в основу вывода уравнения З !62. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ 827 граничного слоя такого простого решения этого вопроса не существует и обычно довольствуются экспериментальными данными, согласно ко- торым коэффициент восстановления лежит в пределах 0,88 — 0,90 и не зависит от чисел Рейнольдса и Маха. $182. Турбулентный пограничный слой в газовом потоке при наличии продольного градиента давлений Проблема расчета турбулентного пограничного слоя в газовом потоке в том общем случае, когда имеется продольный градиент давлений, представляет большую сложность.
По сравнению с подобной задачей для несжимаемой жидкости, уже один только факт переменности плотности и появления новой неизвестной — температуры, влияющей на физические «константы»! коэффициенты вязкости и теплопроводностн,— говорит о дополнительных трудностях в постановке н решении этой задачи. Если можно было сомневаться в завершенности проблемы расчета турбулентного пограничного слоя в несжимаемой жидкости (з 138— 140), то в рассматриваемом сейчас случае газового потока больших скоростей становится ясным, что аналогичная проблема еще далека от решения. Вот почему в настоящем параграфе приходится довольствоваться лишь указаниями на те пути, по которым происходят поиски решения этой актуальной задачи.
Имея в виду практическую сторону возможных технических применений, остановимся лишь на методах, основанных на известной уже нам по предыдущему (2 135, 137) «двухслойной схеме» с разбиением потока на внутреннюю область, подчиненную <закону стенки», и вмешнюю — «закону следа». Удовлетворимся в дальнейшем случаем плоского стационарного <пристенного» турбулентного пограничного слоя в однородном газовом потоке при отсутствии объемных сил.
Вспомним, что вывод общих уравнений, описывающих турбулентное движение, начинался с установления законов осреднения скоростей и других характеристик действительного потока, после чего следовало применение этих законов к осредненню уравнений Навье — Стокса, а уже Затем упрощение полученных уравнений применительно к задаче о турбулентном пограничном слое. Уравнения динамики вязкого газа были выведены в 9 141. Их осреднение выполняется обычным способом предварительного разложения величин в потоке на осредненные и лульсациоиньге слагаемые с последующим осреднением представленных в таком виде уравнений газовой динамики. Опустим этот вывод, так же как и дальнейшие упрощения уравнений по методу пограничного слоя ').
Отметим лишь, что с целью упрощения окончательного вида уравнений, вместо введенного в $ 120 непосредственного осреднения пульсирующих во времени действительных величин гр по закону г+т!и г т г- !а (279) будем пользоваться более сложным„но, как оказывается, упрощающим уравнения осреднением «взвешенным по плотности» г+тм» тга гр= ~ р~г((/ ~ р!(1, »-т!а г-тга (280) ') См. рана« нитированную монографию Ю. В. Лапина, где подробно наложена этот вывод. ГЛ. ХЧ. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА 828 (281) Отметим, что при осреднении по (279) будет Й=(Р+Р')(Р+ Р")=РР+ Р'Р+РР"=Й+Р'Р+~~", причем второй член справа р'еР=Р'~р=О, а по определению (281) найдем, что Р'Р = Р% тогда предыдущее равенство перейдет в следующее: РР =О, (283) которое заменяет присущее осреднению (279) равенство Ч7=0 и имеет основное значение для упрошения уравнений переноса. Отметим, что для пульсаций ери имеет место условие е=дО.
В принятых сейчас обозначениях, опуская знак осреднения повсюду, кроме членов с произведениями пульсаций, будем иметь следующую систему уравнений плоского стационарного турбулентного пограничного слоя в газовом потоке: — (ри) + — (ро) = О, д д дх ду ди ди др дт Ри + Ро = + дх ду дх ду ' даю дао д ри — ' + ро — ' = — (д + ит), дх ду ду (284) где Ь,=6+пей — полная энтальпия, а под т и о понимаются полные напряжение трения и поток тепла, содержащие в себе как ламинарные (молекулярные), так и турбулентные (молярные) составляющие и учитывающие взаимодействие молекулярного и молярного обменов. Последнее уравнение системы (284) может быть заменено на уравнение относительно энтальпии Ь ри — +ро — =и — + — +т — .
дЛ да др дд ди (285) дх ду дх ду ду Предполагая, что внешний поток (индекс «е») изэнтропический, а на внешней границе пограничного слоя справедливо уравнение Вернулли (У вЂ” скорость на внешней границе пограничного слоя, в индексе «е» нет необходимости) др Ии Ре(7 е дх Ых ' (286) которое, согласно (279), можно еще определить как отношение %=: Р Представляя действительную (пульсирующую) величину еу как сумму осредненной по формулам (280) или (281) ер и пульсации, которую, в отличие от соответствующей осреднению (279), будем обозначать двумя штрихами еР", получим %=%+еР .
(282) $ гза туРвулентныи ПОГРАничиыи слОЙ В ГА30ВОм потОке 829 запишем граничные условия в обычном виде: и=о=О, й =й при у=О, (287) й Ь,+ — 'и при у о г и-е- 17, Для замыкания системы (284) пользуются следующими формулами турбулентных составляющих напряжения трения и потока тепла — дп тг = — ри" о" = рг —, ду — дТ де= — ро"71" = Лс — ° (289) дд (288) Первая из них — это формула Б ус с и н е с к а, вторая — формула Фурье. В дальнейшем рассмотрим отдельно внутреннюю и внешнюю подобласти турбулентного пограничного слоя.
Как это уже следовало из предыдущего, полуэмпирические гипотезы турбулентности сохраняют свою применимость при числах Маха, ненамного превосходящих единицу. Примем еще в качестве допущения, что эти гипотезы не зависят от выбора способа осреднения, иными словами, что, пользуясь теорией Прандтля «пути смешения» как для напряжения турбулентного трения т„так и для турбулентного потока тепла йо можно положить (а ~~ а е [1 уел!чЛ1[адо ду ду' (290) Л, = рса(ч' — = рс,х'у' [1 — е "" !' е [»в (291) П М е1е г Н. гг, гс о11а 3. С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
