Цепи Маркова (1121219), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

е.l j=0когда p 6= p0 , получаем сумму геометрической прогрессии с комплекснымзнаменателем exp [2 i(p − p0) /l] :p,поскольку exp [2 i(p − p )l/l] = exp[2 i(p − p )] = 1.Теперь проверим, что p — это собственные векторы матрицы P:001p (j − 1) +2p=p p,и собственными значениями являютсяПервое собственное значениевектор0p= cos 2,lpСледовательно, P12 ip(j−1) /l+ e2 ip(j+1) /l) =p (j + 1) = √ (e2 l p p1= √ cos 2e2 ipj/l = cos 2(1.12.7)p (j).lll1(P p) (j) =20p = 0, 1, . . .

, l − 1.¯ ¯ p¯ ¯ (j)¯ ¯ = √1 exp − 2 ip j = √1 exp 2 i − 2 ip j =llll1j= √ exp − 2 i(l − p) = l−p (j),lПри p = 0 равенство=T01=√=l−pтривиально, так как вектор(1.12.8)0.Как было упомянуто ранее, изменение нормировки объясняется расхождением в требованиях: с одной стороны, мы хотим, чтобы выполнялось=l−p ,T01= √ 1=lявляется действительнозначным. Если l четно и p = l /2, вектор1p (j) = √ elijl /21= √ 1a ,lp= +1 или −1, в зависимо1−1 . где 1a =  ..  .1−1Иными словами, компоненты вектора 1a меняют знак и равны либо 1 (причетных j = 0, 2, .

. . , l − 2), либо −1 (при нечетных j = 1, 3, . . . , l − 1).Соответствующее собственное значение l/2 = cos = −1.lpсти от четности j. В векторном обозначении= 1, а соответствующий собственныйplявляется опять действительным:(ср. с (1.12.2)):Tj = 0, 1, . . . , l − 1.Соответствующие собственные значения также совпадают:поскольку pp, p = 0, 1, . . . , l − 1.cos 2= cos 2 − 21= √ 1 пропорционален (транспонированному) стационарномуlраспределениюll1 exp [2 i(p − p0)l/l] − 1= 0,p0 i =l exp[2 i(p − p0) /l] − 1hНетрудно найти и действительные собственные векторы матрицы P(что можно предвидеть, так как P — действительнозначная матрица).

Заметим, что комплексно сопряженная функция ¯ ¯ p¯ совпадает с l−p , p == 0, 1, . . . , l − 1. Действительно,p,l−1Xhl−1X8 Ср.с названием фильма «Back to the Future».Глава 1. Цепи Маркова с дискретным временем§ 1.12. Геометрическая алгебра ц.м.д.в., I. Собственные значения и спектральные щели 121Таким образом, за исключением случаев p = 0 и p = l/2 при четных lсобственные векторы группируются в попарно сопряженные, соответствующие одному и тому же собственному значению. Иными словами, каждоеиз этих собственных значений имеет кратность 2. Итак, можно образоватьследующие действительные ортонормированные собственные векторы:Для четных l следует учитывать также слагаемое, соответствующее p == l/2: оно содержит множитель, в котором косинус равен (−1) n , и этослагаемое равноp2j− p) с компонентами √ sin 2 p ,l2lj = 0, . .

. , l − 1,=l−1Xp=0hT,j = 0, . . . , l − 1,и вектор-строку P вероятностей P (Xn = i) записать в виде линейнойкомбинации:l−1 2 p inhXh T , p i cos(1.12.9)( Pn) T =p.0i 01l= hT, 1i1 =11=lT, поскольку hT, 1i =Xi= 1.iВсе остальные члены содержат множители np = [cos(2 p/l)] n ; для нечетных l все p при p 6= 0 лежат строго между −1 и 1, и, следовательно,оставшаяся часть суммы в правой части равенства (1.12.9) стремитсяк нулю при n → ∞:( Pn) T ≈T, илииi нечетныеT=1 a1.lВ этом случае все p при p 6= 0, l/2 лежат строго между −1 и 1 и их вкладпренебрежимо мал:( Pn) T ≈T+ (−1) n (Λчет − Λнечет)TPn ≈ + (−1) n (Λчет − Λнечет) .(1.12.11)Отметим, что Λчет +Λнечет = h T , 1i = 1 и если совпадает с инвариантнымраспределением , то Λчет = Λнечет = 1/2 (т. е.

разность Λчет − Λнечетравна 0). С другой стороны, предположим, что Λ чет = 1 и Λнечет = 1,т. е. начальное распределение сосредоточено на четном подклассе. Тогдадля четных n выполняется соотношение , или( Pn) T ≈Pn ≈ .(1.12.10)21 ,l четгде 1чет0 .= ..  .1 0Иными словами, если l четно исосредоточено на четном периодическом подклассе, то при n = 2N → ∞ вектор ( P n) T стремитсяк равномерному распределению на четном подклассе.

Аналогично при n == 2N + 1 → ∞ вектор ( Pn) T стремится к равномерному распределениюна нечетном периодическом подклассе. Ситуация для четного l и , сосредоточенного на нечетном подклассе, симметрична.Теперь можно довольно точно оценить скорость аппроксимации в соотношениях (1.12.10) и (1.12.11). Удобно ввести «спектральную щель»,которая измеряет расстояние между точками ±1 и абсолютными значениями p :(l)= min [|1 − | p || : p = 1, 2, .

. . , 2p < l] .,ilДля слагаемого в правой части равенства (1.12.9), соответствующегоp = 0, сомножитель, содержащий косинус, равен 1, и это слагаемое равноT, 1a i 1a .Последнее выражение может быть переписано в видеXX(Λчет − Λнечет) T , где Λчет =Λнечет =i,nhT1pi pp=01l= hi четныегде p = 1, 2, . . ., 2p < l. Для нас не имеет большого значения, будем лимы использовать комплексные или действительные собственные векторы;важным является лишь то, что они образуют полную ортонормированнуюсистему (базис).Для чего же нужны такие детальные (хотя и красивые) сведения из алгебры? Они дают возможность представить (транспонированную) векторстроку начального распределения = ( i) в видеTl /2и1√ (i 22jcos 2 p ,l2lс компонентами √np)l/2 i (−1)Тогда при нечетных l значение(l)(l)достигается при p = (l ± 1) /2:+,pT1√ (21√ hl120= 1 + cos( (l ± 1) /l) =22l2+ O(1/l4),(1.12.12)Глава 1. Цепи Маркова с дискретным временеми+ O(le),илиnP =+ O(le−n(l)).(1.12.13)Иными словами, имеет место сходимость к равновесию при l → ∞, еслиn растет быстрее, чем l2 ln l.

Это более слабое ограничение по сравнениюс соотношением (1.12.3).Аналогично при четных l значение (l) достигается при p = 1 и p == l/2 ± 1:22= 1 − cos(2 /l) = 1 + cos( ± 2 /l) ≈ 2 + O(1/l4)l(l)(1.12.14)и(l)+ (−1) n (Λчет − Λнечет) + O(le−n ),(1.12.15)i12− (0i−1 modl+i = 0, 1, . . . , l − 1,1 d2: f(x) 7→ −1/2 f00 (x).2 dx2Заметим, что 0 = 0 и 1 = 1 − 1 , т. е. 1 — расстояние между 0 = 1и остальными собственными значениями P. Поскольку все собственныезначения p положительны (и p > 0 при p > 1), матрица L являетсянеотрицательно определенной. Дискретный лапласиан будет рассмотренподробнее в § 1.14.and l’s Wedding9(Из серии «Фильмы, которые не вышли на большой экран».)(1.12.17)что можно рассматривать как дискретный аналог дифференциального оператора второго порядка (перед которым поставлен знак минус и коэффициент 1/2):−(1.12.20)li+1 modl), p= 1 − cos 2, p = 0, 1, .

. . , l − 1.(1.12.16)=  ...  задается формулойl−1(1.12.19)k=1p−1 / 20...0−1/21−1/2 . . .00 ....−1/200. . . −1/21Ее действие на вектор(L ) i =1−1 2L=I−P= /d1 X ∂2f(x1 , . . . , xd).2∂ x2kСумму в правой части называют оператором Лапласа или лапласианом;стандартное обозначение для нее — это ∆f(x1 , . .

. , xd).По этим причинам будем называть матрицу L, заданную формулой(1.12.16), дискретным лапласианом на единичной окружности. Из определения видно, что матрица L является эрмитовой. Кроме того, собственные векторы матрицы L — это в точности 0 , . . . , l−1 , а собственныезначения имеют вид p = 1 − p :что требует той же скорости сходимости для n относительно l.Полезно взглянуть на матрицу L = I − P:f(x1 , . .

. , xd) 7→ −Pn =мы объединяем вершины 0 и l. В многомерном случае, когда функции зависят от переменных x1 , . . . , xd , формула (1.12.18) заменяется следующейформулой( P) =(l)−nTn T§ 1.12. Геометрическая алгебра ц.м.д.в., I. Собственные значения и спектральные щели 123122(1.12.18)Формула (1.12.18) определяет линейное отображение на пространстве дважды дифференцируемых функций f(x), заданных на прямой R или наинтервале, например, на [0, 2 ] .

В последнем случае обычно рассматривают действие этого отображения на функции, удовлетворяющие некоторымграничным условиям, скажем f(0) = f(2 ) и f 0 (0) = f0 (2 ); это означает,что концы интервала 0 и 2 «соединяются», и интервал превращаетсяв единичную окружность.

В нашем примере, рассматривая точки mod l,Пример 1.12.2. Предположим, что имеется d различимых объектов(например, шаров с номерами 1, . . . , d), каждый из которых окрашенв черный или белый цвет. Все шары находятся в ящике (или урне). Мывыбираем случайным образом один из шаров, меняем его цвет и кладемобратно. Число состояний системы 2d (каждый шар может быть чернымили белым).Эта модель была предложена П. и Т. Эренфестами в 1907 г. длятого, чтобы примирить обратимость во времени с «наблюдаемой» необратимостью в статистической физике. Принципиально важное наблюдениесостоит в том, что математическое ожидание случайного момента времени,когда все шары будут одного цвета, экспоненциально растет с ростом d.Если d имеет порядок числа Авогадро (≈ 1023), это значение астрономически велико.

Характеристики

Список файлов лекций