А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Другими словамн, волна поляризоваиносги и электромагнитная волги вза- имно обусловливают друг пру~а. Выведем уравнение электромагнитной волны, учитывающее зту связь В отсутствие песоч- ников Ц=О, р = 0) уравнения Максвелла имеют вид: го! н = дР/дс, го! Е = — дВ/дс =' — до дН/дс; среда предполагается немагнитной Ос =до). Продифференцировав обе части уравнения (56.!) по с, получим го!(дН/дс) = дсР/дсс. (56.3) Заменив дН/дс в (56.3) схо выраженном из (56.2), найдсм уравнение гог гоСЕ = — родсР/дгс, (56А) которое с учетам раненства Р еоЕ+Р (56.5) прянимает вид юг юг Е+ (1/сз) дсЕ/дсс +РодзР/дсс = О, (56.6) где сс 1/(еоро). Уравнение (56.6) описывает распространение электромагнитной волны с учетом ее связи с поляризованностып, При учете толью линейной поляризованности уравнение (56.6) является линейным.
В этом случае взаимообусловленность волны поляризованности и электромагнитной волны приводит к изменению скоросп~ распространения электромагнитной волны, в результате чею волна палярнзовавноспс н электромагнитная волна распространяются с одной н той же фазовай скоростью в одинаковой фазе. Если, например, злеятромагнитноя волна распространяется в направлении положительных значений с, то и волна поляризованноспс распространяется в том же направлении и с той же фазовой скоростью с/и(а), где и(а) — зависящий от частоты показатель преломления Эти волны могут быть представлены в виде (56.7) Е = Ео соз а (с — "л/с), Р = ком' Ео соо а(с — сп/с).
(56.8) В каждой точке среды в результате изменения поляризованностн порождается электромагнитная волна, амплитуда которой пропорциональна (56.8). Вторичные волны, возбуждаемые поляризованноспю (56.8) в точках с' и с" и затем распространяющиеся в направлении положительных значений д записываются в виде Е'(г, с) = А соо а[с — з'л/с — (" — г')и/с], (56.9а) (56.96) Е" (г, с) = А соо со [с — г" л/с — (г — с")п/с]. Поскольку с — л/с — (с — ) л/с = с — и/с, с — г'и/с — (х — г') л/с = с — гп/с, заюпочаем, что обе волны (56.9а) и (56.96), возникшие в различных точках, приходят в точку г в одной фазе и взаимно усиливаются. Именно это обстоятельство и обусловливает возможность распространения электромагнитной волны в среде и ее скорость. Можно сказать, что вторичные волны в линейной среде, излученные в различных точках, синхронны межву собой.
(56.10) (56.11) то порождаемая ими волна квадратичной поляризованносси представляется так: Р = 2аЕ> = 2а(Е> + Ег) = 2а(Е6> соьг (е» с — /»> г) + Еег соьг (вм — /»гг) + + 2Ео>Еог соь (»о> с — >»>г) соь (вгс — />г ), (56.12) где волны взяты в действительном вцле, а коэффициент 2а описывает поляризованность второго порядка и при необходимости может быть вычислен из (56.2зз.
Учитывая тригонометрические соотношения 2 соьг и = 1 + соь 2п, 2 соь и ссн В = соь (и + ]3) + соь (и — В), представим (56.12) в в»ще Р Р +Ргв +Рга +Рвгв +л— (56.13) где Ра = а(Е6> + Ебг), Рг, = аЕ6> сов [2(в>с — l»г)], Рг>ч = аЕ6> соь [2(в>с — С»гг)], (56.14) (56.15) (56.16) Р;:, =2аЕо>Еог сов [(в> +в>)с — (С»> +1»г)г], Р— в = 2аЕо> Еог соь Ив> вг)с (ь> /»г)г] ° (56.17а) (56.176) Таким образом, две электромагнитные гармолнчггкие волны порождают прн наличии квадратичной нелинейности четь»1>е волив полЯРизоввнно»тн с ~во~ага~и 2е>,. 2вг, в>»- »ег и ]»е, —.е»[ и статическую поляпизованность Рь Возникновение статической поляризованности называется оптичсскюг детектированием по аналог»и» с детектированием радиосигналов выпрямлением тока, поскольку в продетектированном сигнале содержится постоянная составляющая.
Вывод условий пространственно»о синхронизма проиллюстрируем на примере удвоения частоты в>. Для осуществления удвоения частоты достаточно, чтобы в среде распространялась лишь одна волна с частотой в„а волна с частотой вг может и отсутствовать. Волна (56.15) может быль представлена в виде Рг, (-, с) = аЕл> соь 2в> [с — гл(в>)/с], (56.18) тле л(в>)/с = к>/в>, л(в,) — показатель преломления волны с частотой в,.
Порождаемые Зуз Волны нелинейной поляризованности. Нелинейная квадратичная поляризованность содержит — всенозможные комбинационные частоты первичных электромагнитных волн. Следонательно, зз порождаемые ею вторичные волны имеют те же самые всевозмсекные комбинационные частоты и распространяются с различными скоростями в соответствии с законом дисперсии.
Суперпозиция волн различных частот не представляет и»»терес, поскольку она не приводит к интерференции. Иь;ерференция может происходить лишь между волнами одной и той же частотьц излученными в различных точках среды. Ес>п» в результате интерференции волны усиливаютсл, то можно говорить о су»цествовашш волны соответствующей истоты в среде, т. е. о генерации новой частоты, как о нелинеином эффекте распространения волн в среде. Если же такого усиления нет, то никакой генерацш» новой частоты не наблюдается, хотя в каждой точке среды эти частоты генерируются.
рассмотрим условия, при которых происходит, генерация волн с частотами, отличающимися от частоты первичной электромагнитной волны. Онп называются условиюш пространственного синхронизма. Условие пространственюго свнхронюм>ь Запишем в явном вице волны поляризованности, порожденные квадратичной нелинейносп ю поляризованности. Если имеются две первичные электромагнитные волны с частотами»о> н вг Е> =Ее> с»ж(в>с — /»>г), Ег = Еег соь(вгс — />гг) волной поляризованности (56.10) в точках г' и -" электромагнитные волны аналогично (55.9а) хзу и (56.96) описываютсж формулами Е«„(г,с) = А соэ [2ас [с — г'п(вс)/с — (г — г') п(2вс)/с] ), (56.19а) %54 Ето, (г, С) = А Спг [2ОЗС [С вЂ” У'П(СОС)/С вЂ” (г — г")П(2ВС)/С] ) (56.196) где учтено, что после возникновения этих волн в точках г' и г" они распространяются со скоростью с/[л(2в,)], отличной ст скорости волны поляризованности с/[л(со,)].
Учтем, что г'п(вс)/с+(г — г')л(2ас)/с = г'Ьп/с+гп(2вс)/с, г" п(вс)/с+ (г — г") п(2вс)/с = г" Ьп/с+ гп(2вс)/с, где Ьл = л(вс) — л(2в,), (56.20) и представим (56.19 а, б) в виде Е~ (г, с) = А соз [2со, [с — гп(2ас)/с — г'Ьл/с]), (56.21а) ! Ег', (г, с) = А соз [2со, «с — гп(2сос)/с — г"Ьл/с] ) . (56.216) Сравнение (56.21а) с (56.2!б) показывает, что вторичные волны приходят в точку г в одинаковой фазе и усиливают друг друга лишь в том слу ве, если Ьл= О. (56.22) Это условие с учетом (56.20) записывается в виде п(ас) = л(2сос) (56.23) и называется условием пространственного синхронцзма для удвоения частогы.
Впервые генерация второй гармоники была осуществлена в 1961 гг была удвоена частота излучения рубинового лазера в нелинейном кристалле. Длшв когерентиости. Разность фаз в точке г между волнами, описываемыми формулами (56.21а) и (56.216), равна Ьср = 2сосЬп(г" — г')/с = 2всЬлС/с, где С=г" — г' (56.25) — расстояние между точками г" и г', в которых эти волны генерированы.
Ясно, что при Ьср = О. в результате интерференции модуль амплитуды суммарной волны имеет максимальное значение, равное сумме модулей амплитуд интерферирующих волн. При увеличении Ьср модуль амплитуды суммарной волны уменьшается и обращается в нуль при Ьср =и. Следовательно, вторичные волньц генерированные на пути С„, удовлетворяющем в соответствии с (56.24) условию 2всЬпС,/с= я, (56.26) дают в результате суперпозиции волну с отличной от нуля амплитудой.
Из (56.26) следует, что ! г = ) /(4Ьп), (56.27) где вс/с = 2я/Єф— длина когерентности (характеризует расстояние, на котором разность фаз яторичньп электромагнитных волн изменяется меньше чем на я). Из (56.24) ясно, что амплитуда суммарной вторичной электромагнитной волны по мере распространения в среде изменяется периодически. Найдем заксн этого изменения. Если первичная волна входит в среду в точке г=О, то напряженность суммарной вторичной волны в точке г внутри среды равна сумме напряженностей вторичных волн, генерированных на пути от 0 до г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
