А.Н. Матвеев - Атомная физика (1120551), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Такая ситуация возможна, например, для инертных газов. Тем ие менее при подходящих условиях они могут быть переведены в жидкое и твердое состояние. Ответственные за это силы называют силами Вип-дер-Ваальси. Это очень слабые силы притяжения между флуктуирующими дипольными моментами атомов и молекул, возникающими в результате движения электронов в атомах и молекулах. Переменный дипольный момент индуцирует в соседних атомах и молекулах переменный дипольный момент. Взаимодействие исходного и индуцированного дипольных моментов приводит к возникновению сил притяжения Ван-дер-Ваальса, я 66 Основные понятия ионной теории твердых теп как зто более подробно рассматривается в молекулярной физике.
Молекулярная связь играет особенно большую роль в органических кристаллах. Энергия связи молекулярных кристаллов мала, и поэтому температуры плавления и кипения соответствующих веществ низки. бб. Основные понятия зоняой теории твердых тел Формулируются основные положения тонной теории твердых тел и даются количественная оценка ваннейших особенностей электронного спектра и обшая характеристика электронных состояний Теорема Блоха.
Кристаллическая решетка самим фактом своего существования свидетельствуе~ о наличии в кристалле периодического электрического поля. Очевидно, что потенциал поля обладает той же пространственной периодичностью„ что и сама решетка. Уравнение Шредингера для электрона в кристалле имеет вид 2тл Чттр„(г) + — Гń— Ел(г)1Ч'„(г) = О, (66.1) где Е,-собственное значение энергии электрона; Ч'„ †собственн функция, принадлежащая собственному значению Е„; )г — набор квантовых чисел, характеризующих состояние 'Р„. Этот набор записан в виде вектора, йотому что в пространственном случае включает в себя три числа, образующих вектор.
Очевидно, что при отсутствии периодического потенциала (Е„= 0) решение уравнения (66.1) представляется в виде плоских волн 'Р„(г) = Ае'" ' (бб.2а) с собственными значениями энергии Е вххх7(2л,) (66.26) принадлежащими непрерывному спектру. Тремя квантовыми числами, характеризующими состояние, являются проекции )с„, )су )с,. Видно, что энергия вырождена по направляющим вектора я. Функция (66.2а) описывает не зависящую от времени чань волн де Бройля (8.7) для электрона, обладающего энергией (66.26).
Скорость электрона на основании (8.17) равна о = й 'дЕ 'с0с. (бб.2в) Поэтому при решении уравнения (66.1) в общем случае важно найти Е„, „,, как функцию от )с„, )су, Е,. Э. о (эозволяет вычислить скорость электрона в кристалле. Обозначим Ву вектор трансляции решетки. Условие совпадения пространсгвенной периодичности потенциала и решетки имеет вид Е„(г + Рк,) = Е„(г).
Эта периодичность потенциала в уравнении (66.1) должна соответствующим образом отразиться в периодичности решения Ч'„(г). Теорема Блоха утверждает, что наиболее общее решение однозлектронного уравнения Шредингера (66.1) в кристалле имеет вид 'Р„(г) = е'" 'ер„(г), (66.4) где тр„(г) обладает такой же пространственйой периодичностью, что и потенциал (66.3), т.е. тр„(г + й„) = тр,(г).
Это означает, что волновая функция электрона в соседних ячейках кристалла отличается фазовым множителем ехр(т'я г). Следовательно, найдя ер„(г) в пределах одной ячейки кристалла, мы определим волновую функцию для всего кристалла. Одномерная модель кристалла Кронига †Пен. Чтобы выяснить основные свойства решения уравнения ! ! Ее' 1 О а а» Х ~=а пха .
льна гйь- где 1О! )1 = — (ń— Е) (66. 5) 336 13. Электронные свойства твердых тел Потенциальные ямы в одномерной модели кристалла ирвинга-Пенни Графическое решение уравнения (66.9) (66.1) при условии (66.3), рассмотрим простейший одномерный случай последовательности прямоугольных потенциальных барьеров и ям (рис. 100), который допускает точное аналитическое решение. Для одномерного периодического потенциала Кронига и Пенни (рис. 100) уравнение Шредингера имеет вид дгЧ' 2т — + — (Š— Е„) Ч' = О, йг где О (в каждой потенциальной яме), Е„= Е (в каждом потенциальном барьере).
Будем искать решение уравнения (66.4) в виде Ч', = е'»'»р»(х), (66.6) где Чг» (х) удовлетворяет условию Чг» (х) = Чг»(х + а + Ь). Подставляя (66.6) в (66.5), находим ») ~»р»)»р 2ш г,) йг +2й — + — (Š— Š— Е)»В=О, (66.7а) где йг) г (2ш) (66.76) В потенциальной яме, где Ея = 0 (например, в области 0 < х < а), решение (66.7а) имеет вид »р» = Ае'" и*+ Ве' '" ' "", и = (2шЕ%г)ггг (66.8) В области потенциального барьера а < х «а + Ь решение может быть записано следующим образом: »р» = СЕ'В '»Гх + )УС»В~В'", (66.
9) Постоянные А, В, С )г выбирают- ся так, чтобы функция Чг и ее произ- водные»)»ру»(х были непрерывны. С учетом условия периодичности функ- ции Чу это дает систему уравнений А + В = С + Р, г(и — й) А — г(и + к) В = = ((1 — й) С вЂ” ()) н- й) В, ~еак — »~» + Ве — »Х Ь»» Се-~ — а»Ь + )Уев» '»»Ь г'(и — й)Аеа" "— цк+ й) Ве и""»' = = (1) — й)Се 'В "" — ((1+ й)г)е'В а". (66.10) Для того чтобы существовали не- тривиальные решения этой системы для величин А, В, С, г), детерминант, составленный из коэффициентов, дол- жен быть равен нулю.
Это приводит к соотношению т 66. Основные понятия ванной теории твердых теп 337 !32 „г еИ13Ьяпиа+сИббсоеиа = 2и!3 (66.1 1) = сов/с(а+ Ь), которое связывает между собой энергию Е и значение (с Из него в принципе можно определить энергию Е как функцию от /т, т.е. Е = Е((2), или, наоборот, найти (т, отвечающее определенной энергии, т.е. )т = х(Е). Наиболее характерной особенностью связи (66.11) является то, что энергия- неоднозначная функция волнового числа (т.
Для анализа этого обстоятельства целесообразно придать уравнению (66.11) более удобный для рассмотрения вид. Возьмем предельный случай, когда ширина потенциального барьера между потенциальными ямами стремится к нулю (Ь- О), а высота потенциального барьера стремится к бесконечности (Ев - оэ), но так, чтобы площадь Е„оЬ оставалась постоянной. Полагая !ип биЬ вЂ” — =Р Ь-О 2 Е и (66.12) 22-2И и учитывая, что при этом сИВЬ- 1, зИ33Ь вЂ” 33Ь, получаем вместо (66.11) следующее уравнение: (Р(иа) екала + созна = сов(та.
(ббЛ3) Правая часть (66.13) при вещественных (т может принимать только значения, заключенные между +1 и — 1. Следовательно, в левой части величина ха может принимать только такие значения, при которых левая часть не выходит из указанных пределов. Это означает, что волновое уравнение имеет решение в виде незатухающих волн только для определенных разрешенных энергетических зон (рис.
101). На рис. 101 видно, что ширина разрешенных энергетических зон увеличивается с возрастанием ха, т.е. с энергией. Ширина же любой зоны увеличивается с ростом Р. Это объясняется тем, что параметр Р определяет эффективность потенциальных барьеров, разделяющих области с нулевым потенциалом. При увеличении Р «проницаемость» потенциальных барьеров для электронов уменьшается и при Р-+ со электроны оказываются полностью запертыми в потенциальных ямах, ширина энергетических зон стремится к нулю, а разрешенными оказываются только те решения, для которых значения ка равны целому кратному я, т.е. электрон движется в одномерной потенциальной бесконечно тлубокой яме (см.
3 26). Спектр энергий дается формулой (26.6). При увеличении энергии электрона параметр Р((ла) в уравнении (66.12) уменьшается, а ширина разрешенных зон энергии увеличивается. Это связано с тем, что с увеличением энергии электронам становится легче просачиваться через потенциальные барьеры и наличие погенциальных барьеров все меньше сказываемся на движении электронов. При ка — оэ электрон ведет себя как свободный.
Спектр разрешенных энергий, определяемый непосредственно по рис. 101 в виде функции иа, может быть с помощью того же рисунка пересчитан на зависимость энергии от параметра (та. Разрешенные энергетические зоны по волновому числу (т имеют равные протяженности Л)т = я,'а. По энергиям ширина зон уменьшается с увеличением энергии. Ширина запрещенных зон энерг-ии, наоборот, с увеличением энергии уменьшается. В пределе при очень болыпих энергиях зависимость Е((т) приближается к зависимости Е(!() = Ь(сг!(2т) для свободных электронов. Однако и при конечных энергиях энергетический спектр напоми- Число сосгаиний бх 2н 1 исоа окгаанао Зан о Зл 2о бй 2И кг г гвг г 2 г (66.14) 1о Ийя1И31 2 М «рисгаллгуа 1о 2 агом Уа 102 338 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
