Lpr12-13 (1120167)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ.Пусть задано верятностное пространствои некоторое множество значений (непрер. или дискр.). Случайной функцией называется , такая, что — сл. величина. Если зафиксировать ,то получим сечение сл. функции(илипроцесса, если интерпретироватькак время). Если зафиксировать , то полученная есть выборочнаяфункция (реализация) сл. процесса.#"$Распределениевероятностей в каждом %&('*)+"-, , но она не дает нисечении можно задать функцией !какого представления о связи сл. величин, характеризующих разные сечения. Более полнымявляется задание семейства&функцийсовместного рас."-/0 /2121213"546 479:<;=21>121пределения !для 8 сечений, 8.

Однако при этомдолжжно быть выполнено условие согласованности, касающееся редукции(уменьшению) числа аргументов и их перестановок.При каком 8 функции совместного распределения достаточно для описания процесса? Если рассматриватьдискретные значения параметра , то для?9@;, для марковских цепей 8. Обычносхемы независмыхиспытаний 8A;этим (8) ограничиваются в случае непрерывного времени для так называемых процессов с независимыми приращениями.Рассмотрим в качестве примера такие два процсса 2 порядка.Процесс Пуассона (одномерныйслучай).DCFE)HGОпределение. Сл.

функция B , называется процессом Пуассона или пуассоновскимпотокомсобытий,еслиCIE/J)KKL)4/9U<;=2121>131. для любыхсл. величины BNMOPBQMSR , T8 ,независимы в совокупности(процессс независимыми приращениями),XWY CEZW) , имеет распределение Пуассона с2. сл. величина WYB OVB,:параметром [ \O'3. Если BC7PCBO]BXWYI^,L[_O^cbWQ`adRfeKgihR=jXk 1, то говорят, что процесс начинается в нуле.^mllll/lnHoВыборочная функция Пуассоновского процессаТеорема. Пусть B — процессс независимыми приращениями и пустьCвыполняютсяусловия(при):p'qC7r9U,а) ' B O]B qC7xwy9U, [s$t u [5 ,B OvBu [s .б)Тогда B — процесс Пуассона.1Лекция 11.2Доказательство.

В силу независимости приращений достаточно доказать,что выполняется пункт 2 в определении.8{zна 8 (одинаковых) подинтерваловОбозначимРазобьем}интервал9U<;=2121>13w~^'&^,8 , T -ый подынтервал. При ( 8через z|M , T) событие B представим в виде €tƒ‚ , где € — событие, в котором в каждый подынтервалпопадает не более 1 точки, ‚ — событие, в которомпокрайнеймере 4 в a один…„|4>a † a79†R€Oподынтервал попадаетболее однойточки.

Тогда, где† †e4 h 42‹Œ[zt‡u [ˆz[58‰ztƒ8Šu. Поскольку 8Ocp[s , то применяя теоремуПуассона, получаемx)‚€gŽehk‘ eha3’ d4KO{‹p Œ“'B. Аналогично,xwP9U,”)z|M[s8u•8F–MC61‘—4KOc‹p ŒЗадача. Найти распределение сл. величины — времени ожидания ˜ первого события в пуассоновскомпотокесобытий.',*I('qC7_ICf,LP(')Rfe<hdполучаемИзусловия˜Š™šB O›B!\œ ˜,LH9CRfeh, ž™ .O dC†Rfeh[Œ d, x™ .

/Плотность вероятности œ Среднее время ожиданияŸ”˜ `[ dRfe<hq¡e.Заметим, что из свойств сл. процесса Пуассона следует, что время ожидания не зависит от момента начала ожидания, а лишь от величины интервалаожидания.('xw/ для каждого атомаB Радиоактивныйраспад.ВероятностьраспадаC=,P'),*r99Rfeh£¢ Rfeh/ ˜O d , O d. Приn , половина всего веществаV¤S¥;A¦¨§ nRfeh£¢ распадается, так что d, — времяполураспада.n , [seВинеровский сл. процесс. Случайный процесс называется Винеровским, еслиC©E/))HKK)4/`1. дляnBNM ªM O] ªMSR— независимы в совокупности, WQ«P¬­C6WY C()¯W°),2. qC7Ov®O ,PC3. (начинается в …нуле)./021>121> 47Таким образом, вектор BBBUnBраспределен с плотностью49±M£²/Если перейти к>Mматрицей € вида³;Q´µ»a ²M/ Kj/OvªM‘R/`D¶0·=¸¹O;6/" nMOvªMSR/`º1с помощью невырожденного преобразования с39€C999¼½9½½½¾9...9C121>1+CC121>1+C9...ÁÁÁ121>1+C9.....9À>Á.121>1¿9...€R/O¼½½½¾CC121>1+CC121>1+C9C½ÂC99O...C9...CÀ>ÁÁÁ121>1+C......Á121>1¿9...Âто получим для вектора плотность4†6à ."$9±µM²³/;Q´µ."// ¶0·=¸›¹OvªMSRO"/ nMcOMSR;s // º`O ªMSRvПример.

Броуновское движение (одномерная задача).Пусть — координата броуновской частицы на прямой, WYµrÄ-tWY‰tWYÅOvÄtXWYC7ªÅXOÆ<W°w1C7VC.C=1Из однородностиследует,что слагаемыев правойчасти независимыи поWQ­WY­ÊÉ nÉ nÇD t&ÇD , гдеэтому ÇD Èt, откуда ÇD — некотораяконстанта.Рассмотрим дискретный аналог 4 — случайное блужданиепо одномерной/4Ëсетке в дискретном времени: 4&»ŸËgŽÍ{Î0k‘Ïчто Í{h¿CŸË>MPÉ n yÐuY8,WM£²4&»',/ 3MIÌ>M"-,°zn"c nÉ nÇD>M8zполучаемÉ Ò\µ«P¬­C6É n,, приравнивая"C.

Переходя к пределу при z, z|µppÇD»44KOc‹p ŒÓ É Ò\8‰z|.8{z( , получим,CÑg Í{Î0kÏ PÉ n, Í{h,«P¬FC=29Y01XWY«y¬FC6É nWYОтсюда или OÆ\O.В общемслучае (если WQнетсимметрии)WQ«P¬­qÔD<É nWY`Ô, где — коэффициент сноса. Ov\ODOХарактеризация винеровского процесса.Теорема.

Пусть сл. процесс удовлестворяет условиям:1) для любых непересекающихся промежутков приращения независимы;2) для любого промежутка вероятность зависит лишь от длины промежутка(однородность);#"$ 3) для функции распределенияприращения t O] , ! суще"G)† ."$ , имеющая непрерывные и ограниченные по , Oствуетплотность"‡)¯GwÕC, производные до 3-го порядка ;4) для малых z| малые приращения более вероятны, чем большие, а именноŒ(1)¤‘ÖS×Í{h9‹ z|R،" † #"$z| ¡ "F€”Ù4Œ¤S֑×(2)Í{h9‹ z|¤‘ÖS×(3)ØÍ{h" n † ."$ŒRw‚Cٌ9‹ ¡ "Fz(Ø z|"ŒÛÚRo † #"$ ¡ "FVCz|ÚÙТогда — (обобщенный) винеровский процесс.C= Доказательство. Рассмотрим два смежных промежутка и 6tÜz| ,а также его сумму (объединение). Пользуясь формулой для плотности суммынезависимых сл.

величин, получаемŒ† ."$(4)‰tz|† ."Разлагая сомножитель† #"W:O† ."$W7Oص-tz|9W;tn † ."$" nÝ݆ ."$"O+݆ #"$Ý݌z|z|OW † XW:Ro † 3ß"$ŒR" oÝàи перейдем к пределу приÞz|ŒØÞOo † 3ß"®"ÝW o oÝ،9 ¡ W9W nŒn݆ #"$W n † W:"ÝÝØRÝРазделим на3):n † ."$;tŒ9 ¡ W71z(W"OHݝ † W7в ряд Тейлора по степеням , получим† #"$подставляя это в (4), получаем† ."$W7OŒR† ."ÝCz(*pá ¡ WtW o † W:z| ¡ W:1, учитывая свойства (1, 2,Œ† ."$Подстановкой åV""Oâ€Ý‚t݆ݘÝã;Ýn †;ÝnåÝã؆ ."$,‚Ë9" nÝ,˜O]€n † #"$OR† ."$Œäã†ãG†ãå˜Ò)˜R˜GŒŒ† ¡ãåВ прежних переменных это выглядит так:† ."$Ò9;Q´d‚Ë ¡ "­r9:† ."$приводим к)åØR®æ Ï Ïçd;Q´å— уравнению теплопроводности с решением9Rè¨éêKëYìí Ï 1‘—Ï#î ìr9:1™C615Задача. Найти распределение˜2Î — времени первого достижения броунов"F."‡wšC7ской частицей точки.('Отсюда'˜0Î)ÈwÕ",LP;N'˜0ÎÚÃï9,*'; '(,AðÎïñh nи†òéÈwÕ"-,)˜0Όwgihkh)œ/ïé1,ÎR é ÏdÏ ìñ£h.óôÏn.ìWY—максимальнойкоординаты броуновской· ö=jö÷h/('×õWYxw"-,LI'),C†sà ."cR é Ï "ïdÏ ì ,частицы имеем:и.˜0Ι· ñn hìö=jö÷h"(')šGI,*r9('×õWYxwC=,r9Интересно, что :и :.˜>η ö=jö÷h?×õАналогично для 2hТеория второго порядка (корреляционнаятеория).ДалеебудутвстреЛекция 12.žB tÕTùø , где B и ø чаться комплексные случайные процессы действительные случайные процессы.Корреляционной функцией случайного процесса называетсяú<WYŸOšŸ”`>XWYOšŸXWY01Примеры.(1) Корреляционнаяфункциявинеровского случайного процесса,«+¬­C6WY W°)C()¯WL) OÆ ®O .

При,Ÿ”При׍֑¥-WY_C )(ŸÄXWYOtWYOqC7ªÅªXWYC7`XWYC7` n yW:1OŸO XWY_ XWY_ . Следовательно, Ÿ” )šWаналогично получаем Ÿ”.(2). Корреляционная функция пуассоновского процесса,<WYДляC›)šWË)ú :<WYtŸXWYO[5O[ a[5Rfeh ^bÕdŸ”y^s3WQªÅªúXWYWQ<WYO[WQO[WY׍֑¥‰Ä‘ŸŸ<WYWQOûO][[s1XWYWY nO[[\OWYtW:1Поэтому и в этом случае.[В обоих примерах использована независимостьприращений.Определение. Случайный процесс называется непрерывным в среднем квадратичном в точке , еслиŸили, иначе говоря, еслиډtÕüOv nÚý ‹l.i.m.pCпри ü©p-tüC6<1/þ процессах с конечными моментами второго порядка;Речь E идет о случайныхE~Ä)¯Gn Å n )¯GŸËŸŸ, в этом случаеиŸ .',ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚaНапомним, что последовательностьсходится в среднем квадратичномC=x^Gn‹Œк , если Ÿ a OÆ pl.i.m.pٝ a .aÚÚСвойства с.к.

сходимости.6Критерий1. (фундаментальность) Для сходимости4 в с.к. последовательно',C^cGnсти a необходимо и достаточно, чтобы Ÿ a OVpпри 8¿p.Ú1'Ú,Критерий 2. Последовательность a сходится в среднемквадратичном,4^cGaесли и только если числовая последовательность Ÿ” p ŸË при 8pнезависимо.4÷34:4 444CДоказательство. Ÿ a O= Ÿ” a a tÜŸË O‡Ÿ” a OJŸ” a p, a O 4aесли ÿ¯ сходится.43 44CНаоборот,1— Ÿ° a OvŸ” = Ÿ a OŠ O tŸË O tŸ a O Ëp,aесли p ‹ŒДругие свойства: если l.i.m. a , тоa(1)/þ an Ú(2)Ÿ”ŸnC6È^pÚ¤S֑׋ŒnaaÚственно: Ÿ. Действительно,Ÿ” aG.p¤S֑׋ŒŸn5O an aÚÚڟÚÚEFO+ aŸÚŠOÚ.

Доказывается на основе критерия 2 или непосред/þnO|Ÿ”/ þ a O”Ÿ” a ftŸ³P ³ ÚÚnÚ Únn —n Ÿ aŸOŸ a.ÚÚÚ ÚÚ Ú‹ŒB a , то ŸË(3) Если, кроме того, Bl.i.m.a4 4E4 4E4 4Ÿ BOû BŸ BOv BŸ BOû4 ã4 ã Ú4ÚÚ 4 nãÚ ³ ããE Ú ³nŸ BOû BŸŸBOvBtŸÚ ãÚÚÚÚÚã ڟEŸ” aŸËŠOn aڙHŸÚÚn;sOڟÚnÚŸÚ an nÚt¤SÖS׋ŒŸ” a B a . Действительно,E4 44BLt BOv BŸ BOÆ BtC —Úãã Ú 6ãã Ún ãn 4K‹OvŸBOcp ŒÚÚ ÚB4a4ICВернемся к сл. процессам. Всюду далее будем считать Ÿ” .Теорема.1. Случайныйпроцесс с.к. непрерывен в точке тогда и только тогда,<WYúкогданепрерывнав точке ` .<WYPW<WYúú2.

Еслинепрерывна на диагонали , тонепрерывна всюду.<WYúДоказательство. 1. Достаточность. Пустьнепрерывна в точке .ТогдаŸÚtLüO núÚCпри üp.Необходимость. Пусть úDtÕü^sDttúO\tü0tLüO<tLüúO0tLüOúс.к. непрерывна при đŸ\tüt]>OÆ\t^sútpC, тогда`>t°ü^s\tOÆOvtªÅX1Далее для каждого из слагаемых правой части воспользуемся свойством(3).

Например, для первого:1(Если быÚ³EŸÚŸ\tÕü\tÕüOvOÆ`> nڟÚ\tDt^6^sOvOÆEÚ`Úný ‹ Ocp a ‹C61символизировало римановское интегрирование, не было бы полноты).7ú2. Если WQ0YW7WQнепрерывнана диагонали,например,в точках ,XWXWYCто xt~ü p и t~üpпри üHp. Следовательно, ŸË žt W^s XWY<W^s<WY —úú, т.е..ü tpŸ” -tÕütpСледствие. Пуассоновский и винеровский случайные процессы непрерывны в среднем квадратичном. Однако, реализации пуассоновского процессаразрывные (ступенчатые) функции.Определение. Случайная функция à называетсяс.к. дифференцируеÃýCgihkR gihkýмой в точке , если существует с.к.пределприüJp.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лабораторной работы