Лекционный курс в ворде (1120109), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Отметим наиболее важные из них

α=1

α₁₀=m*x

α₀₁=m*y

μ₁₀= μ₀₁=0

μ₂₀=D_x

μ₀₂=D_y

Центральный момент

(3) μ₁₁=M[(x-m_x)*(y- m_y)]=K_xy -корреляционный момент

Это величина характеризует степень зависимости x,y ,так же рассеяния значений ДДСВ (x,y) относительно центра( m_x , m_y)

§6.Корреляция и зависимость

Случайные величины x и y называются коррелированными, если коэффициент корреляции x и y не равен нулю. В противном случае K_xy=0,то x и y не коррелированны.

Имеет место теорема о связи корреляции и зависимости

Утверждение1: если x и y независимы, то они не коррелируются

Доказательство:

Рассмотрим формулу (3)

K_xy=M[xy- m_xy- m_yx- m_xm_y]=M(xy)- m_xm_y - m_ym_x+ m_xm_y =M(xy)- m_xm_y

если x и y не зависимы, то

M(xy)= m_xm_y K_xy=0

Утверждение2:если x и y коррелируются, то они зависимы

Доказательство:

(от противного)

Пусть x независима, тогда по утверждению 1 они не коррелируются пришли к противоречию

Можно сделать следующий вывод: из независимости следует некоррелируемость, из коррелируемости- зависимость.

Обратные утверждения не верны, т.е зависимые величины могут быть некоррелируемыми, а некоррелируемые могут быть зависимыми.

Пример тому : Двумерная случайная величина заданная равномерно в круге

F(x,y)=

Для этой величины были найдены законы распределения

Очевидно, что для каждой точки внутри круга

f(xy) f(x)f(y) x и y зависимы

Вычислим корреляционный момент этой величины по формуле

K_xy= M(xy)- m_xm_{y =}

(т.к m_x=0 m_y=0,т.к распределение симметрично )

Т.к положительному x соответствует такой же отрицательный и положительному y соответствует так же отрицательный y; величины зависимы, но не коррелируются.

Из определения корреляционного момнента следует что размерность корреляции

[K_xy]=[x][y]

Кроме того, может так получится, что (x-m_x) или (y-m_y) оказываются малыми,

K_xy оказывается близким к нулю,что не является характеристикой малой корреляции

r_xy = -коэффициент корреляции(безразмерная величина)

имеет место утверждение:

1. об ограниченности коэффициента корреляции

для любых зависимых…. x и y

доказательство:

рассмотрим вспомогательную величину

Раскроем скобки

2 2 r_xy

1. если x и y связаны линейной зависимостью

I=Ax+B, то (и наоборот)

r_xy= M(x-m_x )(Ax+B-ABx-B)=AM(x-m_x)²=AD_x

r_xy =

Если А>0 –то r_xy=1,если A<0 – то r_xy=1

ВЫВОДЫ:

1.Коэффициент корреляции служит характеристикой линейной зависимости между x и y: чем ,тем сильнее сказывается линейная зависимость между x и y

2.Чем ближе r_xy к нулю, тем меньше проявляется корреляция между x и y (в некоторых случаях считают что x и y независимы)

3.Если r_xy положительный, то говорят о положительной корреляции

§7.Линейная среднеквадратическая регрессия.

Рассмотрим двумерную случайную величину (x,y) и предположим что y можно приблизить

,где α,β-коэффициенты корреляции

Эти коэффициенты находят из условия минимизации этой величины

α,β находятся по методу наименьших квадратов и в этом случае

Регрессия-это зависимость среднего значения какой-либо величины то другой величины

Теорема «О линейной среднеквадратической регрессии»

План доказательства

коэффициенты α и β находят из условия

-коэффициент регрессии

Нетрудно убедиться, что регрессия и

изображается прямыми, проходящими через общую точку (m_x,m_y).Эти прямые совпадают только в том случае, если x и y связаны линейной зависимостью

-среднеквадратическая регрессия y на x

Если x и y не коррелируются r_xy =0 ,следовательно и две перпендикулярные прямые

Если x и y связаны точной линейной зависимостью, то и тогда

и

чем ближе эти прямые, тем сильнее проявляется линейная зависимость между x и y

Для подсчета ошибки предполагаемой в линейной зависимости вычисляют так называемую остаточную регрессию

подставив сюда найденные α и β =

-остаточная дисперсия, она равна нулю при точной линейной зависимости и близка к нулю при сильном влиянии линейной зависимости

§8.Линейная корреляция.

Введем понятие условного математического ожидания:

ДДСВ:

НДСВ:

Условные математические ожидания называют регрессией. Если эти регрессии линейные функции, т.е.

то говорят, что x и y связаны линейной корреляцией.

Можно доказать, что линейные регрессии и совпадают с линейными среднеквадратическими регрессиями, т.е

Если условные математические ожидания представляют собой линейные функции, то их графики совпадают с прямыми среднеквадратических регрессий. В этом случае говорят о линейной корреляции между x и y.

При линейной корреляции необязательна между x и y линейная зависимость, но их условные математические ожидания выражаются линейной зависимостью от x.

Регрессия-зависимость некоторых средних величин от других случайных величин.

теорема о линейной корреляции нормально распределенной двумерной случайной величины

если для ДДСВ имеет место нормальный закон распределения, то между ее составляющими существует линейная корреляция.

62

Характеристики

Список файлов лекций