Лекционный курс в ворде (1120109), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Н₃ – попали три раза

Р(Н₀) = 0,5 0,4 0,2 = 0,04

P(Н₁) = А₁ Ā₂ Ā ₃ + Ā ₁ А₂ Ā ₃ + Ā ₁ Ā ₂ А₃

Р(Н₁) = 0,5 0,4 0,2 + 0,5 0,6 0,2 + 0,5 0,4 0,8 = 0,26

Р(Н₂) = Ā ₁ A₂ A ₃ + А₁ Ā₂ A ₃ + А₁ A₂ Ā ₃ =0,5 0,6 0,2 + 0,5 0,6 0,8 + 0,5 0,4 0,8 =0,46

Р(Н₃) = 0,5 0,6 0,8 = 0,24

ΣР(Н_i) = 0,24 + 0,46 + 0,26 + 0,04 =1

Р(А)

Р_H0(А) =0

Р_H1 (А) = 0,3

Р_H2 (А) = 0,6

Р_H3 (А) = 1

Р(А) = 0,3 0,26 + 0,6 0,46 +1 0,24 = 0,594

2.Формула Бейса.

Рассмотрим гипотезы Н₁, Н₂….Н_n с их вероятностями P(Н_i).

Σ P(Н_i) = 1

Возникает вопрос, как при этом изменится гипотезы, изменится вероятность. Ответ на этот вопрос дает формула Бейса.

Рассмотрим Р(АНi) = Р(А) Р_А(Нi) => Р_A(Нi) = Р(AНi)/P(A)

P_A(H₁)+P_A(H₂)+…+P_A(H_i)=1

Завод-изготовитель прибора оценивает надженость в 95%, а испытательная лаборатория в 80%. Путем эксперимента установить какая характеристика ближе к действительности.

Решение:

Событие А – прибор выдержал испытание

Событие Ā – не выдержал испытание

Н1 –верны данные завода

Н2 –верны данные лаборатории

Р(Н1) =Р(Н2) =1/2

Выпишем условия вероятности.

Р_H1(А) = 0,95

Р_H2(А) = 0,8

Найдем вероятность противоположного события.

Р_H1 (Ā) =0,05

Р_H2 (Ā) = 0,2

Вычислим вероятность поломки прибора.

Р(Ā) = 0,05 1/2 0,1 1/2 =0,125

Р(А) = 0,875

Вероятность. Верим данным завода, что прибор выдержит испытание.

Р_А(Н1) =(Р(Н1) Р_H1 (А))/0,875= 0,95/(0,95+0,8)=0,54

Ра(Н2) = 0,46

Глава 3. Независимые испытания.

§1. Биномиальный закон распределения.

Пункт 1. Схема Бернулли.

Пусть некоторый опыт производят n раз, события , , …, могут появиться или не появиться в этих испытаниях, причем они образуют полную группу попарно несовместных событий, причем в каждом испытании

а

В каждом испытании появляется только одно событие.

Испытанием называется независимым относительно , если не меняется в этих испытаниях.

Поставим задачу о нахождении вероятности того, что событие в “n” испытаниях появляется ровно m раз. Решение этой задачи для случая, когда в n испытаниях может произойти только 1 из 2 событий или , где

Пусть => подобные испытания называются схемой Бернулли. Очевидно что событие А произойдет m раз в n испытаниях

количество возможных вариантов события А произошло m раз, а n-m раз (1)

Закон (1) называют биномиальный закон распределения.

Биномиальный закон распределения или формула Бернулли.

Название этого закона следует из того, что (1) называют биномиальными, потому что они представляют собой коэффициенты биномиального разложения

Используя (1) можно проводить подсчет вероятностей следующих событий

(2)

(3)

(4)

- сумма такого количества вероятностей

Пункт 2.Свойства биномиальных вероятностей и наивероятнейшее число появлений событий A.

Возьмем 2 последние вероятности и и составим отношение

Если , то вероятности растут с ростом m =>

Решим неравенство относительно “m”

Если , то вероятности растут,

Если ,то вероятности убывают

Если , то мы имеем максимум вероятностей.

и и - наивероятнейшие числа появления А

и

Если не целое число, то наивероятнейшие 1:

2. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Найти вероятность брака детали в партии

Пусть n=10000 p=0.005

Если использовать формулу Бернулли

Подобные задачи не решаются методом Бернулли. Для маловероятных событий но большом количестве испытаний действует ассимптотичная теорема Муавра-Лапласа.

Если в n независимых испытаниях событие А может появится с вероятностью то вероятность того что событие наступит ровно m раз.

(1)

Табулированная функция, а Х-аргумент

Применение (1) возможно, если

Отметим свойства функции

1)

2)

3) табулирована на интервале , так как при

§2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Поставим задачу о нахождении вероятности события

Эта вероятность складывается из вероятности, каждую из которой надо считать по формуле Лапласа.

- Также сумма вероятностей

Процесс суммирования можно заменить интегрированием, используя интегр. теорему.

Если в n независимых испытаний A происходит с вероятностью , то (1) , где , , =

Как известно, интеграл не имеет первообразную в классе элементарных функций.

В качестве первообразной для этого интеграла берется функция Лапласа (неэлементарная функция), заданная таблично.

(2) тогда вероятность того, что

Отметим основные свойства функции Лапласа:

1. можно показать что она нечетная

4. Значение представлена на интервале , т.к.

Н а основании сказанного, график функции

Если, то значение функции берутся из таблицы со знаком “-”

§4. Задачи об отклонении относительной частоты от вероятности.

Введем случайную величину

m – число появлений A в n испытаниях

- относительная частота появления A

Возникает вопрос об отклонении от

Задача 1: найти вероятность того, что это отклонение

- уровень отклонения

событие или и найдем m:

Задача 2: определить наименьшее число событий n, которое надо провести чтобы вероятность данного уровня отклонения была не меньше чем

Очевидно что

данное неравенство можно записать так:

, где в точке , т.е. значение обратной функции к Лапласу.

выбирают наименьший n

Задача 3: Найти уровень отклонения , такой, чтобы

- заданы,

§5. Закон редких событий или закон Пуассона.

Если вероятность события A близка к 0 , то использование асимптотики Лапласа требует огромное количество испытаний n

В этих случаях используют закон редких событий (теорема Пуассона). Если в n независимых испытаниях , то вероятность наступления А m раз равна

, где

Закон Пуассона применяется при условии

Док-во теоремы:

Закон Бернулли

Свойства закона редких событий

1.

2. 2 последние вероятности и

Если , то с ростом m вероятности растут, , то с ростом m вероятности убывают

- наивероятнейшее число появления события A

Если - 2 наивероятнейших числа

Если

Задача:

Завод отправил 10000 изделий, число поврежденных изделий порядка 0.02%. Найти вероятность того, что в партии повреждено не более 2 изделий.

n=10000

p=0.0002=2*10

Глава 4. Основные законы распределения случайных величин.

§1. Дискретная случайная величина.

Определение 1. Случайная величина – переменная величина, принимающая то или иное значение в зависимости от случайных обстоятельств.

Например: Число поражений мишени при n выстрелах или ошибки при измерении расстояний или углов.

Определение 2. Случайная величина называется дискретной, если ее возможные значения представляют собой изолированные точки или ее возможное можно пересчитать, т. е. они образуют счетное множество (конечное или бесконечное).

Например: Число поражений мишени при n выстрелах – дискретная случайная величина (ДСВ) с конечным числом возможных значений или число выстрелов до первого поражения мишени – ДСВ с бесконечным числом возможных значений.

Замечание: Ошибки измерений не являются ДСВ.

Пусть ДСВ x принимает возможные значения с вероятностями . События составляют полную группу попарно несовместных событий:

Эти данные записываются в виде таблицы, в которой возможные значения распределены в порядке возрастания

(1)

Таблица (1) – ряд распределения, но случайную величину можно задать и законом распределения:

Закон Бернулли для случайной величины :

Ряд распределения имеет геометрическую интерпретацию, а именно по таблице (1) можно построить так называемый многоугольник распределения:

§2. Условные законы распределения.

Введем понятие зависимости и независимости случайной величины:

Случайные величины X и Y называются независимыми, если и . Иными словами закон каждой из них не меняется в зависимости от того, какие значения приняла другая величина. Например, количество поражений мишени 1-ым и 2-ым стрелком. В противном случае X и Y – зависимые величины. Например, количество выкуренных сигарет человеком и продолжительность его жизни.

Рассмотрим событие

По аналогии с теоремой умножения:

(1)

Характеристики

Список файлов лекций