Лекционный курс в ворде (1120109), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

(1). Р(|х–a| > ε) ≤ D(х)/ ε²

Вероятность того, что случайная величина отклонится от М(х) больше, чем на ε ограничено сверху величиной D(х)/ ε².

Доказательство.

Воспользуемся Леммой Чебышева. Х` = (х – a)<sup>2</sup> => Р (х` > ε²) ≤ М(х`)/ ε²

(2). Р(|х–a|² > ε²) ≤ М(х-а)²/ ε² М(х-а)²=>D(х)

Проанализируем полученное неравенство.

|х–a|²> ε² < => |х–a|> ε => Р(|х–a|> ε) < D(х)

Неравенство (1) установлено.

|х–a|≤ ε |х–a| > ε

(3). Р (|х–a|≤ ε) = 1–Р (|х–a| > ε) ≥ 1 – D(х)

Неравенство (3) определяет нижнюю границу вероятности попадания случайной величины на [a – ε; a+ ε].

Замечание: Неравенство Чебышева применимо для любой случайной величины ( дискретной или непрерывной ).

Рассмотрим частные случаи случайных величин.

Х=m, m є 0,1,2….

Х распределена по биноминальному закону.

М (х) = nр D (х) = npq

Тогда (3) приобретает вид Р(|m – np|≤ ε) ≥1 –npq/ε² (4)

Пусть х = m/n – относительная частота появления А в n независимых испытаниях.

М(х) =p D (х) =D (m/n) = 1/n²D(m) = 1/n² * npq = pq/n

тогда (3) перепишется в виде (5).

(5). Р (|m/n – p| ≤ ε) ≥ 1 – pq/nε²

при n – (по вероятности)

при n вероятность того, что отклонение будет меньше ε, будет стремиться к 1.

Средний расход воды в квартире в сутки–500 литров

М(х)= 500л. Оценить Р( х≤ 1000) σ(х)=100л.

Р (х ≤ 1000) ≥ 1–М(х)/A=1–500/1000= 0,5

Р (х ≤ 1000) ≥ 1/2

Х ≤ 1000 <=>| х – 500| <500

Р(|х–500| ≤ 500] ≥ 1 – 100²/500² = 1-1/25=24/25

Задача о трех σ

Оценим вероятность |х–500|≤3σ

Следуя неравенству Чебышева

Р(|х–а|≤3σ) ≥ 1 – σ²/3 σ² = 8/9 ≈ 0,8889

Эта вероятность попадания любой величины на[ a–3 σ; a+3 σ]

0,997– нормальный закон.

§2. Закон больших чисел.

1.Теорема Чебышева.

Если для n независимых величин: х₁, х₂,…,х_n даны М (х_i) = a_i, a D(х_i) ограничены С (D(хi) < c), то при неограниченном увеличении числа n, (х₁ +х₂ +…х_n)/n сходится по вероятности к

(1)

Доказательство.

Применим к величине (х₁ +х₂ +…х_n) /n неравенство Чебышева обозначив как Х. вычислим М(х) и D(х).

При n → ∞ Р(|х–d| ≤ ε ) → 1. А это означает, что среднее арифметическое случайных величин становится устойчивой (дисперсия стремится к 0) и стремится по вероятности к среднеарифметическому математических ожиданий.

Следствие из теоремы Чебышева.

Пусть HCB (X₁,X₂,..X_n) одинаково распределены М(X_i) = а, а D(X_i) > σ², тогда для X = X₁ +X₂ +…+X_n /n. M(х) =a, a D(х) = σ²/n и неравенство Чебышева принимает вид

Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение среднеарифметических измерений от истинного значения не более на 1. При условии σ(X) = 5.

Х_i – результат измерений в первом испытании.

М (X_i) = а –истинное значение.

σ (X_i) = 5

Оценим эту вероятность по неравенству Чебышева.

25/n ≤ 0,05 => 25 ≤ 0,05 n => n ≥ 25/ 0,05 = 500

n ≥ 500

2. Теорема Бернулли.

3,,,,,,

Относительная частота события А с увеличением n сходится m/n →P(A) при n → ∞

Р(|m/n – p| <ε )→1 n → ∞

Доказательства этой теоремы исходит из предыдущего параграфа. (Неравенство Чебышева для СВ).

§3.Предельные теоремы теории вероятности.

Предельные теоремы называются центральными теоремами. В этих теоремах устанавливают условия возникновения нормального закона распределения.

Теорема 1.(Случай одинаково распределенных СВ).

Пусть X₁,X₂,…X_n –HCB с одинаковыми знаками распределения.

М (X_i) =а, D(X_i) = σ², тогда при n → ∞ приближается к нормальному закону распределения с М(Y)= n*a, D(Y) =n*σ²

Теорема 2. (Случай различных знаков распределения).

Если X₁, X₂, …X_n – HCB, для которых М (X_i) =a_i, D (X_i) ≤ C, то при n → ∞ стремится к нормальному закону. _i ,

Условия практического значения применения предельных теорем.

Пусть X₁,X₂,..,X_n – результаты измерений.

Предельная теорема применима в случае если :

1). Измерения проведены независимо ( результат каждого последующего измерения не зависит от предыдущих).

2). М(X_i) совпадают с истинным М(X_i)=a (прибор не содержит систематической ошибки).

3). D(X_i) ≤ c. Это требование выполняется, если прибор обеспечивает определенную точность измерений.

Глава 6. ФУНКЦИИ И СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

§1.Функция случайной величины

П.1 Построение законов распределения функции случайного аргумента

Если любому значению случайной величины X ставится в соответствии

по некоторому правилу f некоторое значение X=f(x), то говорят что задана функция случайного аргумента.

Пусть Х-ДСВ, заданная законом

(1)
Тогда случайная величина y=f(x) обладает рядом распределения

(2)

т.е p(Y= y(x_i) = y_i )= p_i

закон распределения (1) действителен, если f(x) монотонна на [x_1…x_n].

y=f(x) не является монотонной функцией, т.е разным значениям x могут соответствовать разные значения y,тогда в ряде распределения для y вероятности одинаковых вариантов складываются.

пример 1:

Получим формулы для отыскания m _y и D _y

m _y = (3)

D _y = (4)

если X-НСВ ,то

m _y = (5)

D _y = (6)

Возникает вопрос в случае НСВ X:

Как зная φ(x) и f(x) построить g(y) –закон распределения y-плотность вероятности для y.

Решим эту задачу в случае, когда y=f(x)- монотонна.

Рассмотрим m _y как величину вычисленную по формуле

m _y = (7)

в этом интеграле g(y) неизвестна,

с другой стороны

m _y = (8)

перейдем в интеграле (8) к переменной y.Если y=f(x)-монотонна на множестве (-∞,+∞) существует функция x=ψ(y) так же монотонная –обратная функция, тогда:

dx= (y)dy

m _y =

g(y) = φ[ψ(y)]* | (y)|

пример 2:

Пусть случайная величина x распределена с параметрами σ=1,a=0

φ(x) =

y=x³

x=

g(y)= φ( )* = *

Если функция y=f(x) не является монотонной(но кусочно-монотонна),тогда её разбивают на монотонные участки, на каждом из которых находят обратную функцию. Для каждого участка строят g(y)

В качестве g(y) берут ∑ g_i (y )

g(y)= ∑ g_i (y )

пример 3:

Случайная величина X распределена по нормальному закону

φ(x) = , y=x², g(y)-?

т.к функция y кусочно-монотонна: на(-∞,0)-убывает, на (0,+ ∞)-возрастает, то

на каждом из участков обратная функция выбирается из

(-∞,0) x=

(0,+ ∞) x=

g₁(y)= φ( )* = *

g₂(y)= φ( )* = *

g(y)= * = y [0,+ ∞]

П.2 Свойства линейной функции

Линейной функцией случайного аргумента X называется функции вида

1. y=Ax+B, где A и B const.

Имеет место утверждение: если случайная величина X распределена по нормальному закону

φ(x) = Y так же распределена по нормальному закону

Y=

m_y=A*m_x+B

σ_y =|A| *σ_x

Вычислим параметры для m_y

m_y=M(A*x+B)=A*M(x)+B=A*m_x +B=A*a+B

D_y =D(A*x+B)=A²*D(x)=A^2*σ²

σ_y =|A| *σ

Докажем сохранение нормального закона. Выпишем g(y) = φ[ψ(y)]* | (y)| (2)

X= (из (1))

и подставим в (2)

g(y)= *| |

вычислим =

g(y)=

§2.Системы случайных величин

П.1 Общие понятия

На практике встречаются задачи, в которых результаты эксперимента описываются двумя или более случайными величинами. Например, координаты попадания снаряда, размеры изготовляемой детали или ошибки измерений. Если эксперимент описывается двумя или более случайными величинами, то они образуют систему случайных величин. По количеству

составляющих определяют её размерность.

(x, y)-двумерная СВ

(x, y, z)-трехмерная СВ

(x₁ ,x_2… x_n)-n-мерная СВ

В системе случайных величин действуют связи между её составляющими.

П.2 Законы распределения двумерной случайной величины

Характеристики

Список файлов лекций