Лекционный курс в ворде (1120109), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

U є Ø є {А}

Р є [0,1]

2.Непосредственный расчет вероятностей. Классическое определение.

Введем понятие полной группы событий.

Событие А1,А2…Аn образует полную группу, если в результате испытаний происходит хотя бы одно из них.

При бросании монеты у нас есть 2 события:

А1 –выподения герба

А2 –выподения цифры

Они образуют полную группу.

При бросании кости:

А1 –выподения 1 очка

А2 –выподения 2очков

………………………..

А6 –выподения 6 очков

А1………А6 – образуют полную группу.

–несовместные события

События А₁, А₂…..А_n называется несовместимым, если в результате испытания 2 из них не могут произойти одновременно. В перечисленных примерах события совместны.

–равновозможные события

События А₁, А₂…..А_n называются равновозможными, если не одно из них не может произойти с большей возможностью, чем другие.

В первых примерах события равновозможные.

Если события А₁, А₂…..А_n:

1)образуют полную группу

2)попарно несовместимую

3)равновозможные, то они называются случайными.

Если опыт сводится к схеме случаев, то возможен непосредственный подсчет вероятности.

Введем понятие благоприятного случая.

Случай благоприятно событию А, если вслед за ним появляется событие А, и неблагоприятно в противном случае. Если опыт распадается на n возможных случаев из которых ровно m благоприяты событию А, то вероятность этого события Р(А)=m /n.

n – общее число исходов.

m – благоприятное число исходов.

Классическое определение вероятности.

Пример: В урне находится : a белых шаров и b черных. Из урны достают 10 шаров. Найти вероятность того, что достанут 3 белых и 7черных шаров.

a ≥ 3; b ≥ 7

3.Статистическая вероятность.

Не всегда опыт сводится к системе случаев(вероятность заморозков)

Для подобного события вводим понятие относительной частоты события:

n –число наблюдений

где m – число появляющихся событий А.

– случайная величина, но если то приобретает устойчивость и стремится к из (0,1)

Это число и является статистической вероятностью для события А.

Например: стрелок поражает мишень в каждой серии из 100 выстрелов в пределах [85, 90] => вероятность попадания 0,8 < < 0,9.

4)Геометрическая вероятность.

Классическое определение вероятности не подходит к испытанию с конечным числом исходов.

Например: На отрезке (а,b) длиной L вероятность попадания в участок длины l.

Вероятность такого события определяется как

Вероятность попадания в некоторую часть области пропорционально мере этой области и не зависит от расположения этой части.

§2.Алгебра событий.

Как уже отмечалось в теории вероятности используемая символика теории множеств.

Если событие А влечет за собой событие В, то говорится, что А с В.

Например:

события А выпадение 2 при броске игральной кости.

события В выпадение четного числа при броске игральной кости = >А с В

Равносильные события – события, если А с В и В с А

А – выпадение 6

В выпадение максимального числа очков.

Событие состоящее в одновременном появлении А и В называется их произведением. АВ или А∩В, произведение или пересечение событий.

Например:

А – появление дамы.

В – появление пиковой масти

С – появление дамы пик.

С=А В

Если события А и В несовместимы, то АВ=Ø => Р(АВ)=0

Суммой двух событий А + В или А U В называется событие С, состоящее в том, что появляется хотя бы одно из событий А или В.

Для событий А₁, А₂…..А_n их объединение С состоит в появлении хотя бы одного из них.

А₁ –бубновая масть

А₂ –червовая масть

С= А₁ + А₂ – красная масть.

Разность двух событий.

А – В или А / В

А – произойдет, а В – не произойдет.

Введем понятия противоположных событий. События А и Ā называется противоположными, если в результате опыта произойдет только одно из них.

А Ā=U

Промах и поражение мишени.

§3.Теорема сложения.

Рассмотрим событие А, состоящее в наступлении В или С

А= В U С, причем В ∩ С = 0.В и С – несовместные события.

Имеет место теории сложения.

Вероятность появления события А равна вероятности появления события В плюс вероятность появления события С.

Доказательство теоремы проведем для схемы случая.

Пусть событию В благоприятны L случаев, а С – К случаев из n, тогда события В+С благоприятны L + К случаев.

Р(А) = Р(В + С) =l/n+ k/n=(l + К)/n=Р(В) + Р(С)

Р(В)=l/n

Р(С)=k/n

Следствие 1. Если событие А представить в виде суммы А1 + А2 +….+Аn, где А_i ∩ А_j =Ø, для i ≠ j, то А есть сумма попарно несовместных событий.

Следствие 2. Если А и Ā противоположные события А + Ā = U, то Р(А)=1 – Р(Ā)

Доказательство:

Рассмотрим вероятность Р(А + Ā) =Р(U)=1, но Р(А+Ā)=Р(А)+Р(Ā) => Р(А)+Р(А)=1 или Р(А)=1 – Р(Ā)

Теорема сложения для совместимых событий.

Пусть события В и С совместимы. ВС ≠ Ø, тогда Р(А) =Р(В + С) = Р(В) +Р(С) – Р(ВС).

Пусть событию В благоприятны n_B случаев, события С благоприятны n_C случаев => B+C = n_B + n_C – n_BC – формула перекрытия из комбинаторики.

Теорема сложения распр. на любое конечное число пересекающихся событий.

Р(А)=Р(В+С+D)=Р(В)+Р(С)+Р(D)–Р(ВС)–Р(ВD)–P(DС)–Р(ВСD)

n _B=7 n_C=7 n_D=8

n_BC=2 n_BD=2 n_CD=2

n_BCD=1

n_A=17=7+7+8-2-2-2+1

§4.Теорема умножения.

1. Условная вероятность.

Событие А называется независимым от события В, если вершина А не меняется в зависимости от того произошло или нет событие В, в противном случаи событие А зависит от события В.

Из полной колоды карт вынем одну:

А – появление туза

В – появления бубновой масти

С – появления бубнового туза

I)А и В

Р(А)=4/52

Р(В)

Вычислим вероятность А при условии, что произошло В

Р_В(А)=1/13

Р(А)=Р_В(А) А и В – независимое событие

II)А и С

Р(А)=4/52

Р_С(А) =1 – зависимое событие

Условной вероятностью называется Р_В(А) или Р_А(В)

2.Теорема умножения.

Рассмотрим события А и В которые могут появиться одновременно АВ=Ø

Р(АВ)=Р(А) Р_А(В)

Докажем и эту теорему в схеме случаев.

Пусть события А соответствует m случаев из n, событию АВ соответствует l случаев из n

Вычислим условную вероятности Р_А(В)=l/m

Теорема доказана.

Эта теорема обобщается на любое число попарно совместных событий. Р(АВС)=Р(А) Р_А(В) Р_АВ(С)

Доказательство:

АВ=D

Р(DС)=Р(D) Р_D(С)=Р(АВ) Р_D(С)=Р(А) Р_А(В) Р_АВ(С)

Если бы событие В не зависело от события А, то умножение приобретает вид Р (АВ) = Р (А) Р (В) ( так как условия верны совпадает с обыкновенным Р_А(В) = Р(В).

Утверждение:

Если событие В не зависит от события А, то и А не зависит от В.

Доказательство:

Р (АВ) = Р(А) Р(В), кроме того теорема умножения может быть заменена Р (АВ) =Р (В) Р_В(А)

Р_В(А)=Р(А)=> А не зависит от В.

Теорема умножения для не зависимого события обобщается на любое число не зависимых событий.

А₁, А₂…..А_k

§5.Вероятность появления хотя бы одного события.

Рассмотрим А₁, А₂…..А_k с вероятностью появления P₁, P₂…P_k, причем это несовместные события.

Найдем вероятность появления хотя бы одного события А = А₁ + А₂+...+ А_k.(использование теоремы сложения в данном случае затрудняется технически в силу совместности события), так как в А входят события вида А₁, А₂…..А_k; Ā₁, А₂…..А_k; А₁, Ā₂…..А_k

Имеет место формула вероятности хотя бы одного события следующего вида Р (А) =1 – Р (Ā), где Ā = Ā₁, Ā₂….. Ā_k и в силу независимости противоположных событий Р (А) =1 – Р(Ā₁) Р (Ā₂)…Р (Ā_k)

Эти вероятности можно записать так:

Р(А) = 1–(1–P₁) (1–P₂)…(1 – P_k)= 1 – q₁ q₂ … q_k

Замечание: для системы равновозможных событий Р (А_i) =Р вероятность хотя бы одного события Р (А) = 1 –q; q = 1 – p

Вероятность попадания стрелком в мишень = 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не меньше 0,8 он попал хотя бы один раз.

Р(А_i) = 0,6

Р(А) ≥ 0,8

Р(А) = 1 – qⁿ q – вероятность промаха.

Р(Ā _i) = q = 0,4

Р(А) = 1 – q = 1 – 0,4ⁿ ≥ 0,8

0,4ⁿ ≤ 0,2 n ≥ 2

Р (А) ≥ 0,95

1 – 0,4ⁿ≥ 0, 95

0,4ⁿ ≤ 0,05

§6.Формула полной вероятности. Формула Бейса.

1.Формула полной вероятности.

Н₁, Н₂….Н_n –попарно не совместимые события.

Р(Н₁+Н₂+….+ Н_n) = Р(Н₁) + Р(Н₂)+….+Р(Н_n)=1 такие группы называются гипотезами.

Рассмотрим событие А которое может произойти только с одной из гипотез:

А = А Н₁+ А Н₂+….+А Н_n и найдем вероятность этого события Р(А)

Р(А) =Р(АН₁+…..+АН_n)=[АН₁……АНn (полностью несовместные)]= Р(А Н₁)+Р(А Н₂)+…..+Р(А Н_n) =Р(Н₁) Р_H1(А)+……+Р(Н_n) Р_Hn(А)

–формула полной вероятности.

Задача: По самолету произведено 3 выстрела. Вероятность попадания при первом =0,5 , втором = 0,6, а при третьем = 0,8.

Для вывода самолета из строя достаточно 3х попаданий, при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,3 , двух – 0,6, а трех –1.

Найти вероятность того, что в результате 3х выстрелов самолет будет уничтожен.

Н₀ – ни разу не попали

Н₁ – попали один раз

Н₂– попали два раза

Характеристики

Список файлов лекций