Главная » Просмотр файлов » Лекционный курс в ворде

Лекционный курс в ворде (1120109), страница 2

Файл №1120109 Лекционный курс в ворде (Лекционный курс в ворде) 2 страницаЛекционный курс в ворде (1120109) страница 22019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

U є Ø є {А}

Р є [0,1]

2.Непосредственный расчет вероятностей. Классическое определение.

Введем понятие полной группы событий.

Событие А1,А2…Аn образует полную группу, если в результате испытаний происходит хотя бы одно из них.

При бросании монеты у нас есть 2 события:

А1 –выподения герба

А2 –выподения цифры

Они образуют полную группу.

При бросании кости:

А1 –выподения 1 очка

А2 –выподения 2очков

………………………..

А6 –выподения 6 очков

А1………А6 – образуют полную группу.

–несовместные события

События А1, А2…..Аn называется несовместимым, если в результате испытания 2 из них не могут произойти одновременно. В перечисленных примерах события совместны.

–равновозможные события

События А1, А2…..Аn называются равновозможными, если не одно из них не может произойти с большей возможностью, чем другие.

В первых примерах события равновозможные.

Если события А1, А2…..Аn:

1)образуют полную группу

2)попарно несовместимую

3)равновозможные, то они называются случайными.

Если опыт сводится к схеме случаев, то возможен непосредственный подсчет вероятности.

Введем понятие благоприятного случая.

Случай благоприятно событию А, если вслед за ним появляется событие А, и неблагоприятно в противном случае. Если опыт распадается на n возможных случаев из которых ровно m благоприяты событию А, то вероятность этого события Р(А)=m /n.

n – общее число исходов.

m – благоприятное число исходов.

Классическое определение вероятности.

Пример: В урне находится : a белых шаров и b черных. Из урны достают 10 шаров. Найти вероятность того, что достанут 3 белых и 7черных шаров.

a ≥ 3; b ≥ 7

3.Статистическая вероятность.

Не всегда опыт сводится к системе случаев(вероятность заморозков)

Для подобного события вводим понятие относительной частоты события:

n –число наблюдений

где m – число появляющихся событий А.

– случайная величина, но если то приобретает устойчивость и стремится к из (0,1)

Это число и является статистической вероятностью для события А.

Например: стрелок поражает мишень в каждой серии из 100 выстрелов в пределах [85, 90] => вероятность попадания 0,8 < < 0,9.

4)Геометрическая вероятность.

Классическое определение вероятности не подходит к испытанию с конечным числом исходов.

Например: На отрезке (а,b) длиной L вероятность попадания в участок длины l.

Вероятность такого события определяется как

Вероятность попадания в некоторую часть области пропорционально мере этой области и не зависит от расположения этой части.

§2.Алгебра событий.

Как уже отмечалось в теории вероятности используемая символика теории множеств.

Если событие А влечет за собой событие В, то говорится, что А с В.

Например:

события А выпадение 2 при броске игральной кости.

события В выпадение четного числа при броске игральной кости = >А с В

Равносильные события – события, если А с В и В с А

А – выпадение 6

В выпадение максимального числа очков.

Событие состоящее в одновременном появлении А и В называется их произведением. АВ или А∩В, произведение или пересечение событий.

Например:

А – появление дамы.

В – появление пиковой масти

С – появление дамы пик.

С=А В

Если события А и В несовместимы, то АВ=Ø => Р(АВ)=0

Суммой двух событий А + В или А U В называется событие С, состоящее в том, что появляется хотя бы одно из событий А или В.

Для событий А1, А2…..Аn их объединение С состоит в появлении хотя бы одного из них.

А1 –бубновая масть

А2 –червовая масть

С= А1 + А2 – красная масть.

Разность двух событий.

А – В или А / В

А – произойдет, а В – не произойдет.

Введем понятия противоположных событий. События А и Ā называется противоположными, если в результате опыта произойдет только одно из них.

А Ā=U

Промах и поражение мишени.

§3.Теорема сложения.

Рассмотрим событие А, состоящее в наступлении В или С

А= В U С, причем В ∩ С = 0.В и С – несовместные события.

Имеет место теории сложения.

Вероятность появления события А равна вероятности появления события В плюс вероятность появления события С.

Доказательство теоремы проведем для схемы случая.

Пусть событию В благоприятны L случаев, а С – К случаев из n, тогда события В+С благоприятны L + К случаев.

Р(А) = Р(В + С) =l/n+ k/n=(l + К)/n=Р(В) + Р(С)

Р(В)=l/n

Р(С)=k/n

Следствие 1. Если событие А представить в виде суммы А1 + А2 +….+Аn, где Аi ∩ Аj =Ø, для i ≠ j, то А есть сумма попарно несовместных событий.

Следствие 2. Если А и Ā противоположные события А + Ā = U, то Р(А)=1 – Р(Ā)

Доказательство:

Рассмотрим вероятность Р(А + Ā) =Р(U)=1, но Р(А+Ā)=Р(А)+Р(Ā) => Р(А)+Р(А)=1 или Р(А)=1 – Р(Ā)

Теорема сложения для совместимых событий.

Пусть события В и С совместимы. ВС ≠ Ø, тогда Р(А) =Р(В + С) = Р(В) +Р(С) – Р(ВС).

Пусть событию В благоприятны nB случаев, события С благоприятны nC случаев => B+C = nB + nC – nBC – формула перекрытия из комбинаторики.

Теорема сложения распр. на любое конечное число пересекающихся событий.

Р(А)=Р(В+С+D)=Р(В)+Р(С)+Р(D)–Р(ВС)–Р(ВD)–P(DС)–Р(ВСD)

n B=7 nC=7 nD=8

nBC=2 nBD=2 nCD=2

nBCD=1

nA=17=7+7+8-2-2-2+1

§4.Теорема умножения.

1. Условная вероятность.

Событие А называется независимым от события В, если вершина А не меняется в зависимости от того произошло или нет событие В, в противном случаи событие А зависит от события В.

Из полной колоды карт вынем одну:

А – появление туза

В – появления бубновой масти

С – появления бубнового туза

I)А и В

Р(А)=4/52

Р(В)

Вычислим вероятность А при условии, что произошло В

РВ(А)=1/13

Р(А)=РВ(А) А и В – независимое событие

II)А и С

Р(А)=4/52

РС(А) =1 – зависимое событие

Условной вероятностью называется РВ(А) или РА(В)

2.Теорема умножения.

Рассмотрим события А и В которые могут появиться одновременно АВ=Ø

Р(АВ)=Р(А) РА(В)

Докажем и эту теорему в схеме случаев.

Пусть события А соответствует m случаев из n, событию АВ соответствует l случаев из n

Вычислим условную вероятности РА(В)=l/m

Теорема доказана.

Эта теорема обобщается на любое число попарно совместных событий. Р(АВС)=Р(А) РА(В) РАВ(С)

Доказательство:

АВ=D

Р(DС)=Р(D) РD(С)=Р(АВ) РD(С)=Р(А) РА(В) РАВ(С)

Если бы событие В не зависело от события А, то умножение приобретает вид Р (АВ) = Р (А) Р (В) ( так как условия верны совпадает с обыкновенным РА(В) = Р(В).

Утверждение:

Если событие В не зависит от события А, то и А не зависит от В.

Доказательство:

Р (АВ) = Р(А) Р(В), кроме того теорема умножения может быть заменена Р (АВ) =Р (В) РВ(А)

РВ(А)=Р(А)=> А не зависит от В.

Теорема умножения для не зависимого события обобщается на любое число не зависимых событий.

А1, А2…..Аk

§5.Вероятность появления хотя бы одного события.

Рассмотрим А1, А2…..Аk с вероятностью появления P1, P2…Pk, причем это несовместные события.

Найдем вероятность появления хотя бы одного события А = А1 + А2+...+ Аk.(использование теоремы сложения в данном случае затрудняется технически в силу совместности события), так как в А входят события вида А1, А2…..Аk; Ā1, А2…..Аk; А1, Ā2…..Аk

Имеет место формула вероятности хотя бы одного события следующего вида Р (А) =1 – Р (Ā), где Ā = Ā1, Ā2….. Āk и в силу независимости противоположных событий Р (А) =1 – Р(Ā1) Р (Ā2)…Р (Āk)

Эти вероятности можно записать так:

Р(А) = 1–(1–P1) (1–P2)…(1 – Pk)= 1 – q1 q2 … qk

Замечание: для системы равновозможных событий Р (Аi) =Р вероятность хотя бы одного события Р (А) = 1 –q; q = 1 – p

Вероятность попадания стрелком в мишень = 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не меньше 0,8 он попал хотя бы один раз.

Р(Аi) = 0,6

Р(А) ≥ 0,8

Р(А) = 1 – qn q – вероятность промаха.

Р(Ā i) = q = 0,4

Р(А) = 1 – q = 1 – 0,4n ≥ 0,8

0,4n ≤ 0,2 n ≥ 2

Р (А) ≥ 0,95

1 – 0,4n≥ 0, 95

0,4n ≤ 0,05

§6.Формула полной вероятности. Формула Бейса.

1.Формула полной вероятности.

Н1, Н2….Нn –попарно не совместимые события.

Р(Н12+….+ Нn) = Р(Н1) + Р(Н2)+….+Р(Нn)=1 такие группы называются гипотезами.

Рассмотрим событие А которое может произойти только с одной из гипотез:

А = А Н1+ А Н2+….+А Нn и найдем вероятность этого события Р(А)

Р(А) =Р(АН1+…..+АНn)=[АН1……АНn (полностью несовместные)]= Р(А Н1)+Р(А Н2)+…..+Р(А Нn) =Р(Н1) РH1(А)+……+Р(Нn) РHn(А)

–формула полной вероятности.

Задача: По самолету произведено 3 выстрела. Вероятность попадания при первом =0,5 , втором = 0,6, а при третьем = 0,8.

Для вывода самолета из строя достаточно 3х попаданий, при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,3 , двух – 0,6, а трех –1.

Найти вероятность того, что в результате 3х выстрелов самолет будет уничтожен.

Н0 – ни разу не попали

Н1 – попали один раз

Н2– попали два раза

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
1,72 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее