Лекционный курс в ворде (1120109), страница 2
Текст из файла (страница 2)
U є Ø є {А}
Р є [0,1]
2.Непосредственный расчет вероятностей. Классическое определение.
Введем понятие полной группы событий.
Событие А1,А2…Аn образует полную группу, если в результате испытаний происходит хотя бы одно из них.
При бросании монеты у нас есть 2 события:
А1 –выподения герба
А2 –выподения цифры
Они образуют полную группу.
При бросании кости:
А1 –выподения 1 очка
А2 –выподения 2очков
………………………..
А6 –выподения 6 очков
А1………А6 – образуют полную группу.
–несовместные события
События А1, А2…..Аn называется несовместимым, если в результате испытания 2 из них не могут произойти одновременно. В перечисленных примерах события совместны.
–равновозможные события
События А1, А2…..Аn называются равновозможными, если не одно из них не может произойти с большей возможностью, чем другие.
В первых примерах события равновозможные.
Если события А1, А2…..Аn:
1)образуют полную группу
2)попарно несовместимую
3)равновозможные, то они называются случайными.
Если опыт сводится к схеме случаев, то возможен непосредственный подсчет вероятности.
Введем понятие благоприятного случая.
Случай благоприятно событию А, если вслед за ним появляется событие А, и неблагоприятно в противном случае. Если опыт распадается на n возможных случаев из которых ровно m благоприяты событию А, то вероятность этого события Р(А)=m /n.
n – общее число исходов.
m – благоприятное число исходов.
Классическое определение вероятности.
Пример: В урне находится : a белых шаров и b черных. Из урны достают 10 шаров. Найти вероятность того, что достанут 3 белых и 7черных шаров.
a ≥ 3; b ≥ 7
3.Статистическая вероятность.
Не всегда опыт сводится к системе случаев(вероятность заморозков)
Для подобного события вводим понятие относительной частоты события:
n –число наблюдений
где m – число появляющихся событий А.
– случайная величина, но если
то
приобретает устойчивость и стремится к
из (0,1)
Это число и является статистической вероятностью для события А.
Например: стрелок поражает мишень в каждой серии из 100 выстрелов в пределах [85, 90] => вероятность попадания 0,8 < < 0,9.
4)Геометрическая вероятность.
Классическое определение вероятности не подходит к испытанию с конечным числом исходов.
Например: На отрезке (а,b) длиной L вероятность попадания в участок длины l.
Вероятность такого события определяется как
Вероятность попадания в некоторую часть области пропорционально мере этой области и не зависит от расположения этой части.
§2.Алгебра событий.
Как уже отмечалось в теории вероятности используемая символика теории множеств.
Если событие А влечет за собой событие В, то говорится, что А с В.
Например:
события А выпадение 2 при броске игральной кости.
события В выпадение четного числа при броске игральной кости = >А с В
Равносильные события – события, если А с В и В с А
А – выпадение 6
В выпадение максимального числа очков.
Событие состоящее в одновременном появлении А и В называется их произведением. АВ или А∩В, произведение или пересечение событий.
Например:
А – появление дамы.
В – появление пиковой масти
С – появление дамы пик.
С=А В
Если события А и В несовместимы, то АВ=Ø => Р(АВ)=0
Суммой двух событий А + В или А U В называется событие С, состоящее в том, что появляется хотя бы одно из событий А или В.
Для событий А1, А2…..Аn их объединение С состоит в появлении хотя бы одного из них.
А1 –бубновая масть
А2 –червовая масть
С= А1 + А2 – красная масть.
Разность двух событий.
А – В или А / В
А – произойдет, а В – не произойдет.
Введем понятия противоположных событий. События А и Ā называется противоположными, если в результате опыта произойдет только одно из них.
А Ā=U
Промах и поражение мишени.
§3.Теорема сложения.
Рассмотрим событие А, состоящее в наступлении В или С
А= В U С, причем В ∩ С = 0.В и С – несовместные события.
Имеет место теории сложения.
Вероятность появления события А равна вероятности появления события В плюс вероятность появления события С.
Доказательство теоремы проведем для схемы случая.
Пусть событию В благоприятны L случаев, а С – К случаев из n, тогда события В+С благоприятны L + К случаев.
Р(А) = Р(В + С) =l/n+ k/n=(l + К)/n=Р(В) + Р(С)
Р(В)=l/n
Р(С)=k/n
Следствие 1. Если событие А представить в виде суммы А1 + А2 +….+Аn, где Аi ∩ Аj =Ø, для i ≠ j, то А есть сумма попарно несовместных событий.
Следствие 2. Если А и Ā противоположные события А + Ā = U, то Р(А)=1 – Р(Ā)
Доказательство:
Рассмотрим вероятность Р(А + Ā) =Р(U)=1, но Р(А+Ā)=Р(А)+Р(Ā) => Р(А)+Р(А)=1 или Р(А)=1 – Р(Ā)
Теорема сложения для совместимых событий.
Пусть события В и С совместимы. ВС ≠ Ø, тогда Р(А) =Р(В + С) = Р(В) +Р(С) – Р(ВС).
Пусть событию В благоприятны nB случаев, события С благоприятны nC случаев => B+C = nB + nC – nBC – формула перекрытия из комбинаторики.
Теорема сложения распр. на любое конечное число пересекающихся событий.
Р(А)=Р(В+С+D)=Р(В)+Р(С)+Р(D)–Р(ВС)–Р(ВD)–P(DС)–Р(ВСD)
n B=7 nC=7 nD=8
nBC=2 nBD=2 nCD=2
nBCD=1
nA=17=7+7+8-2-2-2+1
§4.Теорема умножения.
1. Условная вероятность.
Событие А называется независимым от события В, если вершина А не меняется в зависимости от того произошло или нет событие В, в противном случаи событие А зависит от события В.
Из полной колоды карт вынем одну:
А – появление туза
В – появления бубновой масти
С – появления бубнового туза
I)А и В
Р(А)=4/52
Р(В)
Вычислим вероятность А при условии, что произошло В
РВ(А)=1/13
Р(А)=РВ(А) А и В – независимое событие
II)А и С
Р(А)=4/52
РС(А) =1 – зависимое событие
Условной вероятностью называется РВ(А) или РА(В)
2.Теорема умножения.
Рассмотрим события А и В которые могут появиться одновременно АВ=Ø
Р(АВ)=Р(А) РА(В)
Докажем и эту теорему в схеме случаев.
Пусть события А соответствует m случаев из n, событию АВ соответствует l случаев из n
Вычислим условную вероятности РА(В)=l/m
Теорема доказана.
Эта теорема обобщается на любое число попарно совместных событий. Р(АВС)=Р(А) РА(В) РАВ(С)
Доказательство:
АВ=D
Р(DС)=Р(D) РD(С)=Р(АВ) РD(С)=Р(А) РА(В) РАВ(С)
Если бы событие В не зависело от события А, то умножение приобретает вид Р (АВ) = Р (А) Р (В) ( так как условия верны совпадает с обыкновенным РА(В) = Р(В).
Утверждение:
Если событие В не зависит от события А, то и А не зависит от В.
Доказательство:
Р (АВ) = Р(А) Р(В), кроме того теорема умножения может быть заменена Р (АВ) =Р (В) РВ(А)
РВ(А)=Р(А)=> А не зависит от В.
Теорема умножения для не зависимого события обобщается на любое число не зависимых событий.
А1, А2…..Аk
§5.Вероятность появления хотя бы одного события.
Рассмотрим А1, А2…..Аk с вероятностью появления P1, P2…Pk, причем это несовместные события.
Найдем вероятность появления хотя бы одного события А = А1 + А2+...+ Аk.(использование теоремы сложения в данном случае затрудняется технически в силу совместности события), так как в А входят события вида А1, А2…..Аk; Ā1, А2…..Аk; А1, Ā2…..Аk
Имеет место формула вероятности хотя бы одного события следующего вида Р (А) =1 – Р (Ā), где Ā = Ā1, Ā2….. Āk и в силу независимости противоположных событий Р (А) =1 – Р(Ā1) Р (Ā2)…Р (Āk)
Эти вероятности можно записать так:
Р(А) = 1–(1–P1) (1–P2)…(1 – Pk)= 1 – q1 q2 … qk
Замечание: для системы равновозможных событий Р (Аi) =Р вероятность хотя бы одного события Р (А) = 1 –q; q = 1 – p
Вероятность попадания стрелком в мишень = 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не меньше 0,8 он попал хотя бы один раз.
Р(Аi) = 0,6
Р(А) ≥ 0,8
Р(А) = 1 – qn q – вероятность промаха.
Р(Ā i) = q = 0,4
Р(А) = 1 – q = 1 – 0,4n ≥ 0,8
0,4n ≤ 0,2 n ≥ 2
Р (А) ≥ 0,95
1 – 0,4n≥ 0, 95
0,4n ≤ 0,05
§6.Формула полной вероятности. Формула Бейса.
1.Формула полной вероятности.
Н1, Н2….Нn –попарно не совместимые события.
Р(Н1+Н2+….+ Нn) = Р(Н1) + Р(Н2)+….+Р(Нn)=1 такие группы называются гипотезами.
Рассмотрим событие А которое может произойти только с одной из гипотез:
А = А Н1+ А Н2+….+А Нn и найдем вероятность этого события Р(А)
Р(А) =Р(АН1+…..+АНn)=[АН1……АНn (полностью несовместные)]= Р(А Н1)+Р(А Н2)+…..+Р(А Нn) =Р(Н1) РH1(А)+……+Р(Нn) РHn(А)
Задача: По самолету произведено 3 выстрела. Вероятность попадания при первом =0,5 , втором = 0,6, а при третьем = 0,8.
Для вывода самолета из строя достаточно 3х попаданий, при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,3 , двух – 0,6, а трех –1.
Найти вероятность того, что в результате 3х выстрелов самолет будет уничтожен.
Н0 – ни разу не попали
Н1 – попали один раз
Н2– попали два раза