Лекционный курс в ворде (1120109), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Свойства функции распределения:

1). , так как фактически являются вероятностями

2). так как событие - невозможное

- достоверное

3). F(x) является неубывающей функцией

Доказательство:

Если наступает событие , то автоматически выпадает событие событие

4). Для ДСВ F(x) имеет ступенчатый вид (см. определение).

5).

Доказательство:

Построим событие

§7. Непрерывные случайные величины и их законы распределения.

Случайная величина X называется непрерывной, если ее возможные значения сплошь заполняют некоторые множества (например, ошибки измерений).

Для непрерывной случайной величины (НСВ) X ее интегральный закон распределения

- непрерывная функция, обладающая всеми перечисленными свойствами (1, 2, 3, 5).

Для НСВ имеет место следующее утверждение:

Вероятность точечного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Доказательство:

Рассмотрим вероятность события

Эта вероятность

- только для НСВ

Общий вид F(x) для НСВ X имеет вид

§8. Плотность вероятности НСВ.

Понятие плотности вводится только для НСВ.

Пусть НСВ X задана F(x) – непрерывная, дифференцируемая или кусочно-дифференцируемая функция.

- плотность вероятности.

- дифференцируемый закон задания НСВ X.

Рассмотрим основные законы задания НСВ:

1). Если СВ X задана законом

А кривая называется кривой Гаусса

2). СВ X распределена равномерно на [a, b], если:

3). СВ X распределена по показательному закону:

п. 2. Свойства функции .

1). О вероятности попадания СВ X на [a, b]

Как известно , но F(x) – первообразная для равенство установлено

2). Нормирование

Доказательство:

3). , т. е. плотность вероятности – неотрицательная функция

Доказательство:

Т. к. - неубывающая, то ее производная

4). Связь с функцией

Зная найти

Геометрическая интерпретация

Как известно , т. е. площадь неограниченной кривой трапеции равна 1.

Выясним размер

§9. Числовые характеристики НСВ.

п. 1. По аналогии с ДСВ

Предположим для этой СВ, что интегралы сходятся.

Эти характеристики обладают теми же свойствами, что и для ДСВ.

Докажем ее используя определение дисперсии

Если обладает симметрией относительно , то

Доказательство:

п. 2. Мода и медиана СВ.

Модой НСВ называют то ее значение, которое соответствует

Для ДСВ модой называется наиболее вероятное ее значение.

Медианой НСВ называют, то ее значение , для которого

Геометрически это означает, что медиана делит площадь на две равновесных части.

Замечание: мода = медиана = a

- если - симметрично определена.

п. 3. Моменты, асимметрия, эксес.

Если для случайной величины X известен , то можно найти бесконечное множество постоянных характеристик данной функции, так называемые моменты.

Начальным моментом порядка k называется:

при угловой сходимости этого интеграла отметим моменты

Центральным моментом k-ого порядка называют величину

Любой центральный момент можно выразить через начальные моменты

Свойства центральных моментов для симметричных законов распределения:

Если обладает симметрией относительно

То все центральные моменты нечетного порядка равны нулю

Доказательство проходит по схеме

Интеграл от нечетной функции на симметричном множестве равен нулю.

Замечание: если случайная величина X – дискретная, то

Случайную величину X характеризует асимметрия, связанная с видом функции , коэффициенты асимметрии:

Если - абсолютно симметрична, то

Если вид оттянут вправо, то

- эксес

Характеризует степень вытянутости кривой

Для кривой Гаусса , т. е.

Более вытянутые кривые обладают

Менее вытянутые -

§10. Закон равномерной плотности.

Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [a, b], если:

Из условия нормировки найдем c:

Вычислим и случайной величины X

Задача: о попадании заданной величины на данный интервал

Эта вероятность пропорциональна длине интервала

Пример: поезда метрополитена идут с мин. Найти вероятность того, что пассажир прождет не более 45 секунд.

§11. Показательное распределение.

Иногда вместо x используют t.

Решим задачу о вероятности попадания случайной величины на интервал

Показательное распределение применяется в теории надежности, где вводится так называемая функция надежности.

Пусть в момент времени начинает работать какое-то устройство и по истечению времени t происходит отказ, обозначим через T случайную величину – время безотказной работы устройства.

Событие , за время t произошел отказ

- число отказов за t

- за время t не произойдет поломка

Эта функция называется функцией надежности

- за время t устройство продолжало работать

Пример: Найти надежность устройства, если

ч

§12. Нормальный закон распределения.

п. 1. Нормальный закон и его параметры.

Говорят, что данная случайная величина X распределена по нормальному закону, если:

Очевидно, что данная функция обладает симметрией

По свойству симметричного распределения:

Можно показать, что:

Выясним влияние параметров a и на вид кривой Гаусса:

Рассмотрим

С уменьшением кривая становится все более острой.

п. 2. Нормальная функция распределения и ее свойства.

В свое время мы ввели

- эта функция табулирована, нечетная, принимающая ненулевые значения

[-4, 4]

Обозначим через

Эта функция является интегральной для

Обозначим через

-нормальная функция.

Значения F(x) находятся по схеме:

1). Вычисляют аргумент

2). По таблице для находят ее значение при этом значении аргумента.

Решим задачу о попадании нормально распределенной величины x на интервал

Рассмотрим основные свойства нормальной функции :

1). (т. к. она интегральная функция распределения)

2). -монотонно возрастает. Доказательство:

и

Т. к. , то с ростом верхнего предела растет значение интеграла.

3). Связь с функцией Лапласа

Т. к. его половина равна , в силу частности подынтегральной функции.

4).

Заметим, что в таблице присутствуют функции Лапласа для каждого значений аргументов.

Решим задачу о попадании случайной величины на заданный интервал с помощью функции Лапласа

Решим задачу с попаданием случайной величины x на симметричный интервал

Задача о трех .

Вычислим

Из этих вычислений следует, что маловероятно попадание случайной величины на интервал за пределы

Этот факт используют для практического определения математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной величины x.

Глава 5. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятности.

Введение.

Под законом больших чисел понимают совокупное действие большого числа независимых факторов, которые приводят к результату, почти не зависящему от случайных факторов. Случайные отклонения от среднего, неизбежные при каждом конкретном измерении в массе выравниваются, так называемая устойчивость средних представляет содержание закона больших чисел. При большом числе случайных слагаемых среднее арифметическое перестает быть случайной величиной и может быть найдена.

§1.Лемма и неравенство Чебышева.

1. Лемма Чебышева.

Если случайная величина Х принимает только положительное значение и имеет М(х), то для любого А>0

1. Р(х>А)< М(х)/А

Для дискретной случайной величины Х

0<Х₁<Х₂<…<Х_n А>0

Р₁ Р₂ Рn

1. 0<Х₁ <Х₂ <….<Х_k <А <Х _к+1 <…<Х_n

вычислим М(х) <Х₁*Р₁+Х₂*Р₂+….+Х_n*Р_n

Отбросим первые К слагаемых в (2) (Х₁*P₁+Х₂*P₂+…Х_к*Р_к) и получим М(х)≥х_к+1 Р_х+1+…+Х_n+Р_n

Оценим правую часть с помощью А.

М(х) ≥А(Р_к+1+…+Р_n)

(Р_к+1+Р_к+2+….+Р_n)=Р(х>А)

А Р(х>А)≤М(х) =>Р(х>А)≤М(х)/A

Неравенство (1) является грубой(первичной) оценкой по одной характеристике. Из неравенства (1) можно провести оценку.

Р(х≤А)= 1–Р(х>А) ≥1 – М(х)/A

Лемма Чебышева используется в финансах.

Отделение банка обслуживает в среднем 200 клиентов. Оценить вероятности того, что банк обслужит:

1. более 250 клиентов

2.не более 300 клиентов.

М(х) = 200

Р(х>250) ≤200/250 ≤ 0,8

Р(х≤ 300) ≤ 1–200/300≈ 0,33

Сумма всех вкладов 2*10⁶ р. Вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10⁴ р равна 0,6

P(х ≤ 10⁴)

x<10000 Р(х≤ 10 ) =0,6

M(x)=2000/n

Р(х ≤ 10)=0,6

Р(х≤10) ≥1 –М(х)/10=1 –2000/(n*10)=1 – 200/n

0,6 ≥1 – 200/n 0,4 ≤ 200 0,4n ≤ 200 n ≤ 500

2. Неравенство Чебышева.

Теорема для любой случайной величины Х с М(х) =а и D(х)= σ ² имеет место неравенство:

Характеристики

Список файлов лекций