Лекционный курс в ворде (1120109), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

(2)

Законы (1) и (2) называются условными законами распределения случайной величины.

Если X и Y – независимые условные величины, то условные законы совпадают с безусловными.

составляют полную группу попарно несовместных событий:

,

§3. Алгебраические операции над случайными величинами.

Пусть X и Y – случайные величины, заданные законами распределения.

(1)

(2)

Рассмотрим :

В случае появления одинаковых значений вероятности их складываются, а возможные значения записываются в возрастающем порядке:

Ее возможные значения будут , , , а вероятность .

Если X и Y – независимые, то .

Пример: случайная величина x принимает

§4. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

п. 1. Математическое ожидание.

Каждая случайная величина характеризуется набором постоянных параметров, одним из них является математическое ожидание

Для дискретной случайной величины, заданной распределением

В случае бесконечного числа возможных значений:

Рассмотрим основные свойства математического ожидания:

1).

2).

3).

4).

5). Если X и Y – независимые случайные величины, то:

Доказательство:

6).

Математическое ожидание отклонения случайной величины от математического ожидания есть 0.

По своему смыслу математическое ожидание – среднее значение случайной величины в данной серии испытаний.

п. 2. Дисперсия.

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины, но возникает вопрос: каково отклонение случайной величины от среднего? Как следует из свойства (6): отклонения в среднем дают 0. Поэтому строится характеристика математического ожидания . Эта характеристика обращается в ноль, только если все отклонения ну2левые, во всех остальных случаях эта величина отличается от нуля, положительна и называется дисперсией случайной величины.

Зная дисперсию можно найти:

- среднеквадратическое отклонение.

Пример:

Вычислим дисперсии:

Если дисперсия мала, то это может быть по двум причинам:

1). Все отклонения малы.

2). Большие отклонения – маловероятны.

Свойства дисперсии:

1).

2).

3). Формула вычисления дисперсии:

4). Если X и Y – независимые случайные величины, то:

Доказательство:

Следствие:

X и Y – независимые случайные величины, то

Доказательство:

Для независимых случайных величин:

Замечание: если при измерении выявляются ошибки по разным причинам (независимо), то суммарная ошибка измерений:

§5. Числовые характеристики основных законов распределения дискретной случайной величины.

п. 1. Числовые характеристики среднего арифметического одинаково распределенных случайных величин.

Предположим, что это независимая случайная величина и вычислим дисперсию среднего арифметического:

С ростом n дисперсия среднего арифметического стремится к нулю, что является характеристикой устойчивости этой случайной величины. В частности при измерении некоторой величины мы получаем ряд ее значений и уточняем ее значение, вычислив среднее арифметическое всех измерений.

п. 2. Биномиальный закон распределения.

Пусть случайная величина x принимает значения:

0, 1, 2, …, m, …

В этом случае говорят, что случайная величина x распределена по биномиальному закону:

X	0	1	2	…	m	…	n
			…	…		…

M(x) и D(x)

Имеет место теорема:

Для случайной величины x, распределенной по случайному закону

Случайную величину x можно представить в виде , где:

- число наступлений события A в i-ом испытании.

, где

Так как испытание независимо, то и величины D(x) независимы.

Вычислим

С величиной x связывают - частота события A в данной серии испытаний.

Вывод: с ростом n частота, как случайная величина стремится к устойчивости (дисперсия стремится к нулю).

п. 3. Закон Пуассона.

Пусть x – число наступлений события A в n независимых испытаниях, при условии что

x – распределена по закону Пуассона, если:

0, 1, 2, 3, …, m, …

Для закона Пуассона:

Вывод: если в результате статистических наблюдений над случайной величиной x принимает значения 0, 1, 2, …получены выборочным путем оценки математического ожидания дисперсии почти одинаковые, то можно считать, что данная случайная величина распределена по закону Пуассона.

п. 4. Геометрическое распределение.

Случайная величина x принимающая значения 1, 2, 3, …, m с вероятностью , где p – вероятность наступления события A, а , то говорят, что x – распределена по геометрическому закону.

Например: число выстрелов до первого попадания в мишень.

Очевидно, что (суммируется бесконечно убывающая геометрическая прогрессия).

§6. Интегральный закон распределения случайной величины.

Рассмотрим событие , где x – некоторое число

Обозначим вероятность этого события через и назовем эту функцию формулой распределения случайной величины X (или интегральным законом распределения). Считается, что случайная величина X имеет заданный закон распределения, если задан F(x)

Для дискретной случайной величины X (ДСВ) заданной законом

F(x) имеет ступенчатый вид при котором в каждом происходит разрыв первого рода – закон

Для ДСВ F(x) представлен графиком

Составить функцию распределения для случайной величины X – число проверок на брак изделий, при условии что брак изделия встречается с вероятностью 0,06. Если первое изделие бракованно, то партия отправляется назад и так до 5 проверок.

Характеристики

Список файлов лекций