Ю.И. Воронцов, И.А. Биленко - Методическая разработка по радиофизике (1119794), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Исходный сигнал e(t) действуетна нелинейную цепь и создает в ней ток i(t). В спектре тока присутствуют гармоническиесоставляющие, которых нет в сигнале e(t). С помощью частотного фильтра из общегоспектра тока выделяют ту часть, которая соответствует заданному преобразованию.3.1Преобразование спектра сигнала в нелинейной резистивнойцепиПри расчете тока в нелинейной цепи используют аппроксимацию вольт-амперной характеристики (ВАХ) нелинейного элементалибо в виде степенного ряда (когда можно ограничиться небольu0шим числом членов ряда), либо кусочно-линейную аппроксимациюi(t)(когда тонкие детали характеристики не играют роли).e(t)В каких случаях применяют ту или другую аппроксимации,поясним на примере расчета тока в цепи рис.
3.2, содержащей полупроводниковый диод, источник переменного напряжения e(t) ипостоянного напряжения u0 . На рис.3.3 изображена типичная ВАХРис. 3.2: Цепь с дио- полупроводникового диода.Постоянное напряжение u0 вызывает в цепи ток i0 = i(u0 ). Педомременное напряжение вызывает изменение тока, форма которогобудет тем больше отличаться от формы функции e(t), чем больше амплитуда напряжения. При относительно малых амплитудах напряжения будет работать небольшой участокVD32ВАХ диода и его достаточно аппроксимировать коротким степенным рядом. Например,i(u) = i(u0 ) + a1 (u − u0 ) + a2 (u − u0 )2 + a3 (u − u0 )3 + ...,(3.1)гдеa1 =didu,u=u01a2 =2!d2 idu2,u=u01a3 =3!d3 idu3.u=u0При большой амплитуде, когда напряжение на диодезаходит далеко в отрицательную и положительную области, для расчетов используют кусочно-линейную аппроксимацию.ii0u03.1.1uРис.
3.3: Вольт-амперная характеристика диода (пунктир- кусочно-линейная аппроксимация)Преобразование спектра гармонического сигнала1. Преобразование спектра слабого гармонического сигнала.В случае e(t) = E cos (ω1 t + φ1 ), при аппроксимации ВАХ цепи степенным рядомi(t) = i(u0 ) + a1 E cos (ω1 t + φ1 ) + a2 E 2 cos2 (ω1 t + φ1 ) + a3 E 3 cos3 (ω1 t + φ1 )...(3.2)С помощью простых тригонометрических преобразований найдем, что квадратичный членв (4.2) дает постоянную составляющую токаa2E22и вторую гармонику a2E2cos (2ω1 t + 2φ1 ),2кубический член ряда добавляет313a3 Ecos (ω1 t + φ1 ) + cos(3ω1 t + 3φ1 ) ,44т.е. основную и третью гармоники.(Формулы тригонометрических преобразований приведены в приложении.)Член ряда четвертой степени добавит постоянную составляющую, вторую и четвертуюгармоники.В общем, члены ряда четной степени ответственны за появление в спектре тока постоянной составляющей и четных гармоник, а члены нечетной степени вызывают приращениеосновной (первой) гармоники и появление нечетных гармоник.2.
Преобразование спектра сильного гармонического сигнала.Рассмотрим преобразование спектра гармонического сигнала настолько большой амплитуды, что допустимо использовать для расчета кусочно-линейную аппроксимацию ВАХ33i(u)Imu0 u1ute(t)2θtРис. 3.4: Преобразование формы сильного гармонического сигнала.нелинейного элемента. Постоянное напряжение возьмем левее, чем на рис.3.3.
В этом случае ток в цепи по форме будет подобен отсеченной косинусоиде (см. рис. 3.4). Угол Θ,соответствующий изменению тока от вершины до нуля, называют углом отсечки тока.Длительность импульсов тока равна 2Θ.Из рис.3.4 видно, чтоu1 − u 0.(3.3)cos Θ =EАмплитуда импульса токаIm = a1 [E − (u1 − u0 )] = a1 E(1 − cos Θ),(3.4)где a1 — наклон линейного участка ВАХ (проводимость диода в открытом состоянии).Мгновенное значение токаi(t) =Im(cos ωt − cos Θ),1 − cos Θ−Θ < ωt < Θ.Периодическую четную функцию i(t) можно представить в виде рядаi(t) = I0 + I1 cos ωt + I2 cos 2ωt + · · · + In cos nωt + · · ·.Амплитуды гармонических составляющих токаIn≥11=πZθi(t) cos nωtd(ωt) = Im2(sin nΘ cos Θ − n cos nΘ sin Θ).πn(n2 − 1)(1 − cos Θ)−θI0 = Imsin θ − Θ cos Θ,π(1 − cos Θ)I1 = Im34Θ − sin Θ cos Θπ(1 − cos Θ)(3.5)0,5I0/ImI1/ImI2/ImI3/Im0,40,30,20,10,00204060θ800Рис. 3.5: зависимости от угла отсечки отношений амплитуд токов.зависят от угла отсечки. На рис.3.5 изображены зависимости от угла отсечки отношенийα0 = I0 /Im ,α1 = I1 /Im ,α2 = I2 /Im ,α3 = I3 /Im .Изменяя угол отсечки можно изменять соотношение между амплитудами гармонических составляющих и отношение I0 /Im .
Это обстоятельство учитывают при выборе оптимального режима работы нелинейного элемента в схемах преобразования спектра сигнала.Режим с отсечкой тока применяют даже в усилителях, когда необходимо уменьшить постоянную рассеиваемую мощность за счет уменьшения отношения I0 /I1 . Возникающиепри отсечке тока гармоники отсекаются фильтром.При кусочно-линейной аппроксимации ширина спектра тока получается бесконечной.Это объясняется тем, что излому на характеристике соответствует бесконечный степеннойряд аппроксимации. Реальные характеристики не имеют изломов.
Поэтому приведенныевыше формулы пригодны для оценки амплитуд только относительно низких гармоник.С помощью фильтра из спектра тока можно выделить:1) постоянную составляющую, преобразовав тем самым переменное напряжение в постоянное (соответствующая схема называется выпрямителем тока);2) одну из высших гармонических составляющих, реализовав тем самым операцию умножения частоты сигнала.3) Если входным сигналом является амплитудно-модулированное колебаниеe(t) = A(1 + ms(t)) cos ωt,на выходе соответствующего фильтра можно выделить модулирующий сигнал s(t).
Такаяоперация называется детектированием амплитудно-модулированного колебания.3.2Выпрямители токаВыпрямителями называют устройства, преобразующие переменное напряжение в постоянное. Простейшая схема выпрямителя с полупроводниковым диодом показана на рис.3.6.Параметры параллельной RC- цепочки, выполняющей роль фильтра, выбираются так,35uU0e(t)ω0ti(t)Im−Θω0tΘРис. 3.7: Эпюры напряжений и токов в выпрямителечто 1/(ωC) R. Поэтому ее сопротивление Z на частоте ω много меньше R. Поэтомупеременные составляющие напряжения uвых , создаваемые гармониками тока через диод, будут много меньше постоянной составляющей напряжения, создаваемой постояннойсоставляющей тока.Действие выпрямителя можно описать следующимi(t)образом (рис.3.7) Ток через диод течет только при положительном напряжении на диоде, т.е при u(t) = e(t)−uвых > 0.
В это время происходит подзарядка емкостиCRC. При смене знака напряжения ток через диод преu (t)e(t)кращается (обратный ток диода обычно настолько мал,что им можно пренебречь). С этого момента происходит разряд емкости C с постоянной времени τ = RC.Разряд емкости сменяется зарядом, когда напряжениена диоде снова становится положительным. Ток через Рис. 3.6: Схема выпрямителядиод представляет собой последовательность импульсов, длительность которых зависитот угла отсечки. Постоянное напряжение U0 действует на диод как запирающее, смещаетрабочую точку диода в область отрицательных значений.
Следовательно, в соотношении(4.3) следует заменить −u0 на U0 . Величина постоянного напряжения в реальных схемахмного больше u1 . В этом приближении из (4.3) и (4.4) получимU0 ' E cos Θ,Im = (E − U0 )/Ri =E(1 − cos Θ),Ri(3.6)(3.7)где Ri = 1/a1 — сопротивление диода в прямом направлении.
(При анализе выпрямителя его можно считать независящим от напряжения.)36Из (4.5), (3.6), (4.6) получимI0α0 Imsin Θ − Θ cos Θ 1==.U0U0π cos ΘRi(3.8).С другой стороны, из схемы видно, чтоСледовательно,I0U0=1.RRi/R0,018RitgΘ − Θ=.Rπ(3.9)0,0160,014Соответствующий график изображен на рис. 3.8. В случае Θ 1 (что имеет место при R Ri ) можно считать1/33πRiΘ'R0,0120,0100,0080,0060,0040,0020,000Пульсации напряжения.05101520253035Полное изменение напряжения между двумя пиками тоθοка2πРис. 3.8: Соотношение между.∆U ' U0 (1 − e−2π/ωRC ) ' U0ωRCсопротивлениями и углом отВ спектре пульсаций имеются гармонические состав- сечкиляющие с частотами ω, 2ω, 3ω, ... Комплексные амплитуды этих гармоникŨn = I˜n ZRC (ω) = I˜nR.1 + inωRCЗадание 3.1 Докажите, что амплитуда пульсаций напряжения на частоте ω приΘ11|U1 |'.U0ωRCПример.
Ri = 50 Ом, R = 5 кОм, ω = 2π50c−1 .Найти: 1) при каком E будет U0 = 10 В,2) при какой емкости C будет ∆U ≤ 10 мВ.Решение. Θ ' 0, 45. E = U0 / cos Θ = 10/0, 9 ' 11 В.2π U0C ≥ ωR= 4 × 10−3 Ф=4 × 103 мкФ.∆UВ простейшей схеме выпрямителя рис.3.6 используется только одна половина периода напряжения источника. В реальных схемах обычно используется двухполупериодныйвыпрямитель. Его принципиальная схема изображена на рис.3.9. В этой схеме ток черезнагрузку, включенную в одну из диагоналей мостиковой схемы, при обоих полупериодахнапряжения источника течет в одном и том же направлении. При каждом полупериодепроводят два диода (1 и 4 или 2 и 3).
Пульсации тока происходят с частотой 2ω. Всеприведенные выше формулы справедливы и для данной схемы, если в них заменить Ri на2Ri , а ω на 2ω.Задание 3.2 Докажите, что постоянное напряжение на выходе схемы на рис.3.10 может составлять uвых ' 2u0 , где u0 - напряжение на выходе обычного выпрямителя,питаемого таким же источником.37124 3CR Ue(t)Рис. 3.9: Двухполупериодный выпрямитель (мостовая схема)Ce(t)CRu(t)Рис.
3.10: Выпрямитель с удвоением напряжения3.3Амплитудное детектирование.Амплитудное детектирование - процесс выделения сигнала s(t) из амплитудно модулированного колебанияe(t) = A(1 + ms(t)) cos ωt.Линейное детектирование.Схема амплитудного детектора подобна схеме выпрямителя. Она отличается от выпрямителя только параметрами фильтра. Если в выпрямителе стремятся подавить любыегармонические составляющие напряжения, то в детекторе подавляют только составляющие с частотой выше максимальной частоты Ωmax сигнала s(t). При относительно большойамплитуде напряжения e(t) допустима, как и при анализе выпрямителя, кусочно-линейнаяаппроксимация вольт-амперной характеристики диода. Параметры схемы R, C, Ri должныбыть такими, чтобы былоΘ << 1,ωRC >> 1,ноΩmax RC << 1.В этом случае величина "выпрямленного"напряжения будет пропорциональна зависящейот времени амплитудеE(t) = A(1 + ms(t)).входного высокочастотного сигнала:U0 (t) = E(t) cos Θ ' E(t).Работу детектора в линейном режиме иллюстрирует рис.3.1138u0(t)i(u)t0ue(t)tРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
