Ю.И. Воронцов, И.А. Биленко - Методическая разработка по радиофизике (1119794), страница 2
Текст из файла (страница 2)
1.9: Разложение импульса по ступенчатым ф-циямZtuвых (t) =a[e−t−ξτt]dξ = aτ (1 − e− τ ).0Выходное напряжение в этом случае можно считать пропорциональным производнойот входного при t τ .Задание 1.9 Докажите, что в интегрирующих цепочках выходной сигнал будет пропорционален интегралу от входного uвх = at только пока t τ .Пример.
Найдем отклик дифференцирующей цепочки на входное напряжениеU0 cos ωt t ≥ 0uвх (t) =0 t < 0.При нулевых начальных условиях (uC (0) = 0, il (0) = 0 с помощью соотношений (1.3) и(1.8) получимZt1 t−ξuвых (t) = U0 cos ωξ[δ(t − ξ) − e− τ ]dξ =τ0ωτU0= U0 pcos (ωt + ϕ) +e−t/τ .221+(ωτ)1 + (ωτ )(1.10)Здесь ϕ = arcctg(1/ωτ ).Обратим внимание на то, что решение содержит затухающее слагаемое и uвых (0) 6= 0,несмотря на нулевые начальные условия. Имеет место переходный процесс.Задание 1.10 Объясните, почему полученное ниже решение методом комплексных сопротивлений отличается от полученного выше решения (1.8) решения методом интеграла наложения.11Рис.
1.10: Цепь с последовательным колебательным контуромПредставляем1cos ωt = (eiωt + e−iωt )2и находим решение уравнения с правой частью U0 exp iωtωτŨвых (t) = K̃(ω)U0 eiωt = U0 p1 + (ωτ )2ei(ωt+ϕ) .Поскольку cos ωt = Re eiωt , в качестве действительного решения берем реальную частькомплексногоωτcos (ωt + ϕ).uвых (t) = U0 p1 + (ωτ )2Оно не содержит затухающее слагаемое, которое присутствует в (1.8).Задание 1.11 Найдите решение, когда входное напряжение равноU0 sin ωt t ≥ 0uвх (t) =0 t < 0.Задание 1.12 Найдите решения методом интеграла наложения при всех приведенныхвыше входных напряжениях в случае интегрирующих цепочек.Задание 1.13 Найдите отклик дифференцирующей и интегрирующей цепочек на треугольный сигнал видаat 0 ≤ t ≤ t0uвх (t) =at0 − bt0 at0 /b ≥ t ≥ t0 .1.5Характеристики резонансных LC -цепочекПример. Последовательный контур (рис.1.10).
(Резонанс напряжений.)Импеданс цепи121Z = iωL ++ r = iρiωCωω0−ω0ω+ r.pρ = L/C.Резонансная частота этого контура,т.е. частота, при которой√ImZ(iω) = 0, равна ω0 = 1/ LC.Добротность последовательного контураQ=ω0 Lρω0 τω0= === ω0 τ ∗ ,rr22δгде τ = 2L— время уменьшения амплитуды свободных колебаний в e раз, δ = r/2L,rL∗τ = r — время уменьшения энергии свободных колебаний в e раз, (Время релаксацииконтура).Задание 1.14 Докажите, что ширина резонансной кривой, т.е. интервал частот, вкотором √модуль импеданса контура отличается от максимального его значения не более, чем 2 раз, равен ω0 /Q.Импульсная характеристика данного контура является решением уравненияLd2 qdqq+r+= δ(t).dt2dt CОна равнаgk (t) =1 −t/τesin ωk t,ωk Lqωk = ω02 − δ 2 .t ≥ 0.Задание 1.15 1. Докажите, что частоты ωL и ωC , при которых максимальны амплитуды напряжения на индуктивности и емкости, при Q 1 приблизительно равныωL = ω0 (1 + 1/Q2 ),ωC = ω0 (1 − 1/Q2 ).2.
На какой частоте амплитуды напряжений на емкости и индуктивности в Q разбольше амплитуды напряжения генератора. Может ли быть напряжение на емкости(или индуктивности) больше этой величины?√3. Найдите частоты, на которых |Z| = 2|Z(ω0 )|. Докажите, что разность этих частот ∆ω = ω0 /Q.√4. Найдите частоты, на которых амплитуда напряжения на емкости в 2 раз меньшемаксимального значения, и сравните их разность с ∆ω.5.
Проведите аналогичные вычисления относительно амплитуды напряжения на индуктивности.Задание 1.16 Найдите амплитуды и фазы гармонических составляющих тока в последовательном контуре, если u(t) = A(1 + m cos (Ωt)) cos ω0 t.13Пример. Параллельный контур (рис.1.11). (Резонанс токов.)Кондуктанс (комплексная проводимость) цепи111 ωω011=+ + iωC = i ( − ) + .ZkiωL Rρ ω0ωRРезонансная частота — частота, при которой Im(1/Zk ) = 0, равна ωр = ω0Добротность параллельного контураQ=RRω0 τ=== ω0 τ ∗ ,ω0 Lρ2τ ∗ = RC,τ = 2RC.Задание 1.17 Докажите, что ширина резонансной кривой параллельного контура, т.е.интервал частот, в котором модульпроводимости контура отличается от максималь√ного его значения не более, чем 2 раз, равен ω0 /Q.Задание 1.18 1.
Докажите, что частоты ωL и ωC , при которых в параллельном контуре максимальны амплитуды токов через индуктивность и емкость, при Q 1 приблизительно равныωL = ω0 (1 − 1/Q2 ), ωC = ω0 (1 + 1/Q2 ).На какой частоте амплитуды токов через емкость и индуктивность в Q = R/ρ разбольше амплитуды тока i(t)? Может ли быть амплитуда тока через емкость (илииндуктивность) больше этой величины?Задание 1.19 Кондуктанс цепи рис.1.12а11= iωC +.Zkr + iωLДокажите, что его мнимая часть обращается в нуль на частотеrr2 Cωp = ω0 1 −Lи определите соотношение токов через емкость и индуктивность на этой частоте.Докажите, что проводимость контура на этой частоте равна r/ρ2 = 1/(Qρ).Задание 1.20 Найдите амплитуды и фазы гармонических составляющих напряженияна параллельном контуре, если i(t) = A(1 + m cos (Ωt)) cos ω0 t.Добротность резонансного контура в физической энциклопедии определяется каквеличина равная отношению резонансной частоты к ширине полосы пропускания контура:Q = ω0 /∆ω.√Полоса пропускания, определяется по уровню 1/ 2 от максимального значения тока (в последовательном контуре) или напряжения (в параллельном контуре).
Другое определениедобротностиEsEsQ = 2π=ω ,ErPrгде Es — запасенная энергия, Er — рассеиваемая за период, Pr — средняя за период рассеиваемая мощность.Такое определение добротности позволяет применить понятие добротности не только крезонансной цепи, но и к отдельной емкости, отдельной индуктивности.14Задание 1.21 Докажите, что в соответствии с обоими определениями добротностьконтура рис.1.10: Q1 = ω0 L/r = ρ/r, добротность контура рис.1.11 Q2 = R/ρ.Рис.
1.11: Параллельный колебательный контурДокажите, что величина, обратная добротности схемы рис.1.12б:111=+.Q3Q1 Q2Пример. Исследуем АЧХ и ФЧХ цепочки, изображенной на рис.1.13. С помощью метода комплексных сопротивлений находим11rrCCLRL22Рис. 1.12: Схемы к заданиям 1.19, 1.21Ũвых =ZkŨвх ,R i + ZkZk,R i + Zkгде Zk -комплексное сопротивление (импеданс) LRC-контура.K̃(ω) =1111 ωω01=+ + iωC = i ( − ) + .ZkiωL Rρ ω0ωR15RiUinRCLUoutРис. 1.13: Цепь с параллельным колебательным контуромСледовательно,K̃(ω) =1ω0)ω1+Ri [ ρi ( ωω01+Rk /Ri.Rk ωi ρ ( ω0 − ωω0 )=−+ R1 ]iR.Здесь Rk = RRi +RТаким образом, АЧХ рассматриваемой схемыRk /RiK(ω) = q1+[Rk ω(ρ ω0а ФЧХϕk (ω) = −arctg,−ω0 2)]ωRk ωω0( − ).ρ ω0ωСоответствующие графики изображены на рис.1.14.√Границы полосы пропускания цепочки ω1 ÷ ω2 по критерию K(ω1(2) ) = Kmax / 2 определяются уравнениемρ2ω1,2= ω02 ±ω0 ω1,2 .R||В случае R|| /ρ 1 ∆ωk ≡ ω2 − ω1 = ω0 ρ/R|| = Qω0|| = Qω0k RR|| .Здесь Qk ≡ R/ρ — добротность изолированного контура, Q|| = R|| /ρ = Qk R|| /R — добротность нагруженного контура.Если R|| /ρ 1, ω1 ≈ ω0 R|| /ρ, ω2 ≈ ω0 ρ/R|| .Задание 1.22 Исследуйте частотную зависимость модуля и фазы импеданса контурарис.1.13.Задание 1.23 Исследуйте передаточную функцию цепи с последовательным контуромрис.1.10.Задание 1.24 Найдите импульсную характеристику цепи рис.1.10.
Рассчитайте выходное напряжение, если входное равно cos ωt с момента t > 0.16|Κ|1,000,750,500,250,00ωφπ/2π/40ω1 ω0ω2ω−π/4−π/2Рис. 1.14: AЧХ и ФЧХ параллельного колебательного контураЗадание 1.25 Исследуйте импедансы цепочек, изображенных на рис.1.15 а,б. Объясните, почему в определенной области частот импедансы цепочек подобны импедансу последовательного LC - контура.Задание 1.26 Исследуйте коэффициент передачи цепи, изображенной на рис. 1.16.Задание 1.27 Определите, при каком условии передаточная функция связанных контуров рис.1.17 будет двугорбой.17L1C1LCLCРис.
1.15: Схемы цепей к заданию 1.25RiL1RCLРис. 1.16: Схема цепи к заданию 1.26Вопросы для контроля.Методы анализа линейных цепей.1. Сущность принципа суперпозиции. Как он используется при анализе линейных цепей?2. Что такое а) передаточная функция цепи, б) амплитудно-частотная характеристика(АЧХ), в) фазо-частотная характеристика (ФЧХ)?Формула расчета отклика цепи с помощью передаточной функции. Это решение общееили частное?3.
Что такое импульсная характеристика цепи? Соответствующая формула расчета отклика.4. Что такое переходная характеристика цепи? Соответствующая формула расчета отклика.5. Связь между собой различных характеристик цепи.6. Принцип расчета отклика методом комплексных сопротивлений.18Рис. 1.17: Связанные контураХарактеристики RC – и LR – цепочек.1. Форма АЧХ и ФЧХ дифференцирующих и интегрирующих цепочек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
