Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Для этого зададим изменение энергии системы г(Е, т.е. рассмотрим некоторое возмущение, которое вызывает переход частиц с одного уровня энергии на другой. При этом увеличение числа заполненных состояний на уровне Е, происходит за счет уменьшения такого же числа состояний на уровне Е, то есть г(п! = — г(нь так как полное число заполненных состояний (полное число частиц) остается постоянным. В результате энергия системы Е = и, Е, + п,Е, изменится на величину (1.34) (В! Ез) г!ли При таком переходе становится другой и величина термодинамической вероятности Г распределения энергии. Найдем изменение ее логарифма г((1лГ), учитывая, что 1) для больших чисел и справедлива фарыула Стирлинга ! и п! = и 1пп — п; 2) степени вырождения д! н яз в результате перехода не изменяются и потомУ г!Я !=г(Я з — — РЛ! 3) полное число электронов в системе постоянно, т.е.
г(п! — — — г(гн Логарифмнруя и дифференцируя соотношение (1.32) и используя записанные выше условия, получим: ЧАСТЫ 49 0 Н4 )23 ь!2)2! г (Е)= ехр +1 (1.38) Фчнкция (в) )! 1! — 2!гдТ )з+2йлТ А 1 1Е) =011!э! ж1282 ) А(1гв! В 1шз ) А(1зр! ! 1зрз Э= 1 н! . ! л2Р! ! 1 "Г Это выражение с учетом (!.34) можно переписать в виде: (1.35) АЕ Е! — Е2 л! Р2 Учитывая (1.33) и разделяя параметры первого и второго энергетических уровней, запишем (! .35) в виде: Е, +Е Т)п — = Е +'к Т1п=. л и, Р! Р Отсюда следует, что в термодинамнческом равновесии при температуре Т выражение (Е+)гвТ1п(ц(р)), определяющее степень занятости л/р любого энергетического уровня Е, для данного ферми-газа является величиной постоянной.
Обозначая эту константу как р, имеем: Е+1вТ)п — = 1!. (1.3б) Р Теперь учтем, что по определению функции распределенияЯЕ) число заполненных состояний и и число свободных состояний р можно представить в внле: л = д КЕ); р = 8 — кЯЕ) = 8 (! ЯЕ)). Тогда (1.36) принимает вид: Е+1вТ 1п =)ь.
Т(Е) (1.37) 1 — 2 (Е) Из (! З7! следует выражение для функции Ферми — Дирака ЯЕ) распределения ферми-частиц по энергии прн температуре Т: авиа ве оятности того что в системе и сального газа е ми-части нахо зхся в тепловом авновесии и н темпе а е Т о но из состояний с эне гней Е занято части сй Внд функции (1.38) представлен на рнс. 1-4 и. Величина энергии 1! в (1.38) называется химическим потенциалом. Вероятность ЯЕ) заполнения электроном состояния с энергией Е= !!при любых температурах (рис. 1-4 б) равна ЯЕ 1!) = 1П. При Т= О функция распределения Ферми-Днрака имеет вид ступеньки. Значение химического потенциала при Т= О носит специальное название — энергия Ферми Е„(подробнее об энергии Ферми будет говориться Гл ! Элементарные частццы Атомы ниже). Все состояния с Е<Е„при Т=О заняты с вероятностью 1, а с Е > Ег свободны, так как вероятность нх заполнения равна нулю.
При Т> О, благодаря хаотическому тепловому движению части!с функция распределения Ферми — Дирака размывается в окрестности энергии Ферми. Прн низких температурах (lсвТ << 1!) функцию ЯЕ) в области значений Е, близких к р, можно описать линейной зависимостью, если воспользоваться разложением ЯЕ) в ряд Тейлора, ограничиваясь только нулевым и первым членамиразложения: Яя„(Е)= г(р)+ (Е 1!) дУ! ЭЕ „ Рнс. 1-4. Функция распределения Ферми-Дирака для рюлнчных температур при условии, что полное число чисти постоянно и не зависит от темпе ы: 2вТ с< р = Ег (а); Т4 > 7з > 7! > Т, > Те = О (б), линейная экстраполяция (!.38) прн низких температурах (в) 51 50 1 д !. Элементарные частицы.
Алюмы ЧАСТЫ Линейная зависимость для Е, вблизи р (рис. 1 — 4а) определяет касательную в точке Е = р: г! и (е) = — 1 — (е — !з) 1~ 2 ! 2йвТ (1.39) В таком приближении функция распределения достигает единицы при Е, = р — ~~вТ н нуля — при Е, = р ь 2КвТ.
Таким образом, можно считать, что с<размытие» распределения Ферми-Дирака при низких температурах составляет = 4йвТ. С ростом температуры ступенька Ферми размывается еще больше (рнс. ! — 4 б!. Значение химического потенциала уменьшается и может стать отрицательным. ЗначениеЕг(р при Т=0)определяеттемпе а вы ож ения е мигаза: То = йв Прн Т <То газ вырожден, при Т > Т вЂ” не вырожден. 1.3.2.
Функция распределения Бозе-Эйнштейна В отличие от ферми-частиц, для независимых идентичных бозе-частиц нет никаких регламентирующих условий на распределение нх по энергетическим состояниям. Рассмотрим систему невзаимодействуюших квантовых осцилляторов с различными частотами сх Энергетические уровни квантового осциллятора зквнднстантны н определяются частотой осциллятора ох Е„=йоз и+в (1.41) тле и — квантовое число (и = 1,2,3,..), задающее уровень возбуждения осциллятора.
Разность энергий соседних уровней равна кванту энергии !кванту возбуждения) йсо. Поэтому квантовое число и можно рассматривать как число квантов возбуждения (или число возбужденных квантов) на частоте со. Поскольку число л возбужденных квантов с одной и той же энергией Ьо, то есть число частиц (квантов) в одном и том же энергетическом состоянии, может быть любым, то ансамбль квантов возбуждения представляет собой бозе-систему, При этом возбуждение п частиц-квантов с энергией йез эквивалентно состоянию осциллятора на частоте ю с энер- гней Е (14!) Вероятность н „„, с которой квантовый осциллятор с частотой ш находится на и-м энергетическом уровне, то есть вероятность возбуждения п квантов, согласно статистической термодинамике описывается распреде пением Гиббса: (л+ !/21-Л(а 1г„„= А ехр — ' !вт Здесь lсв — константа Больцмана.
Постоянная А находится из условия нормировки ~~~~ и„„=1. Вычисляя сумму ~~~~ нл „, как сумму геометричел=о лМ! ской прогрессии, получаем: (1.43) Для среднего, равновесного числа возбужденных квантов с энергией Ьв по формуле срелних значений (л)= «~и-н~лы л=о после суммирования находим: (.) = ехр — 1 в (1.44) (1.46) (и) = е Зависимосп (1А4) среднего числа квантов возбуждения с заданной энергией (частотой со) от температуры и энергии кванта определяет функцию распределения (статистику) Бозе — Эйнштейна для частиц, число которых в любом квантовом состоянии не лимитировано.
В общем случае функция распределения Бозе — Эйнштейна имеет вид: ( 1= 1 (1.45) Е,— и ехр ' — ! хвТ где (л;) — среднее число частиц при температуре Т в состоянии с энергией Еь й — термодинамический химический потенциал, определяемый величиной изменения полной энергии системы У при изменении числа частиц А! в системе: !д = д(!/д!!! . В области низких температур Т к лш/хв среднее число возбужденных квантов экспоненциально мало: ЧАСТБ 1 Пргг высоких температурси Т » йоз/кп среднее число возбужденных квантов пропорционально температуре: Р.,Т ()= ' (1.47) 6 со ь Интересной особенностью распределения Бозе-Эйнштейна является то.
что если одна бозе-частица в результате какого-либо взаимодействия рассеивается в некоторое состояние. то вероятность рассеяния второй бозе-частицы, илентичной первой, на другом рассеивателе в то же самое состояние в два раза больше по сравнению с вероятностью рассеяния не идентичных частиц.
Если имеются 11г тождественных бозе-частиц в некотором состоянии, то вераятггаспгь того, чта егце одни частица придет в пю же синае састояние, увеличивается в (1т'+ 1) раз па сравнению с тай вероятностью, которая гьиела бы место, если бы все рассиатривасиые часппшы были ! бы пе идентичными. г Это явление подобно интерференции 1г~ когерентных волн с одинаковой амплитудой и интенсивностью 1„, когда напряженность результирующего поля пропорциональна числу волн, а интенсивность 1т' 1е возрастает по сравнению с интенсивностью одной волны в гг' ~аз.
Тогда добавление сше одной волны приводит к интенсивности (У+ 1) 1е. Если бы рассматриваемые волны были не когерентны, то интенсивность была бы (Ф+ 1)1е. Таким образом, как и в случае бозе-частиц, добавление одной волны к уже имеющимся 1гг когерентным волнам приводит к росту интенсивности в г (ги + 1) раз в отличие от сложения некогерентных волн. Этот эффелт лежит в основе явления бозе-конденсации.
пг г=г г гггггг~ г г )=г ( А5) и все бозе-частицы скапливаются на наиболее низком энергетиче(1А5 и ском уровне (рис. 1 — 5 а). Для системы квантовых осцилляторов этот уров '~ соответствует нулевым колебаниям осциллятора (и = О, энергия с, = иег2 с — — ие/2 (1.41)). Заметим, что для других систем бозе-частиц расположение энергетических уровней может быть не эквидистантным, но это не меняет характера распределения частиц при Т= О.
В любом случае частицы находятся на самом низком уровне и образуют, так называемый, бозе- конденсат. С остом ростом температуры начинают заполняться более высокие энергетические состояния системы. Однако при температурах ниже температуры вырождения 0 < Т< Те ббльшая часть частиц остается на низшем энергетическом уровне. Это связано с тем, что пока частиц в основном состоянии много больше, чем в возбужденных, вероятность перехода частиц в основ новное состояние намного превышает вероятность их перехола в возбукденное состояние и большинство частиц продолжает оставаться на низшем уровне, образуя бозе-конденсат.
В отличие от конденсации паров при сжижении газа, бозе-кон енса ия п оисхо ит в имп льсном п о- Гл 1 Элементарные частицы. Атомы 53 0 О 0 а 6 в Рис. 1 — 5. Заполнение энергетических уровней в газе бозе-частиц (квавтовых осцилляторов): а — все частицы находятся иа самом низком энергетическом уровне при температуре Т= 0; 6 — при температурах ниже температуры вырождения Те заполняются возбужденные состояния. хотя большая часп. частиц все сшс находится в низшем энергетическом состоянии: в — истощение конлснсата прн Т= 0 с переходом часпш на виртуальные уровни энергии Выше температуры вырождения число частиц на низшем энергетическом уровне мало и частицы описываются классической статистикой Максвелла — Больцмана. Для идеального бозе-газа темпе ат а вы ож ения может быть оценена по формуле г, 'гг,н) (1.48) где т — масса бозе-частицы, з — ее спин, а и — концентрация бозе- частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
