Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 12
Текст из файла (страница 12)
го ! — г,ь! Нормированные радиальные части волновых функций для водородоподобных атомов, как функции переменной р=Хг/ав, при некоторых значениях главного п н орбитального Х квантовых чисел представлены в табл, 1 4 64 ЧАСТБ У я 2я (г)А« = «ЗА+~0~ ~Ч'(«,О,гр)~ а1пЩгр = г Ягпг(г (1 69) о о 2 адает радиальное распределение электронной плотности илт («) = г Кт в атоме. На рисунке 1 — 3 представлены зависимости згяг (г) для атома водорода (У. = 1). Расстояние от ядра г указано в радиусах Бора. Цифры над кривыми соответствуют значениям квантовых чисел и и Х.
С ростом л максимум электронной плотности удаляется от ядра и становится более расплывчатым. Тяблнна 1-4 О.б 0.5 0.4 а 03 0.1 0 5 1О 1« 02 б 0.1 0 0 0 25 ЗО 5 2 5 1О 0.2 00 5 10 15 20 25 ЗО и В( 1'; т'; Радиальная часть волновой функции Ляг определяет характер изменения электронной плотности при удалении от ядра. Действительно, плотность вероятности ы„г(г) нахождения электрона в пределах сферического слоя (г, г.+«Ь.) равна )л Б Э, е тррлыечрстиоы Ап!оиы Рис. 1-3 Распределение эчсктроннои плотности ил (г) = г 1ЧГ лЛЯ атома 2 волородз (2 1) в зави симостн от Расстояния от центра ядра г, указанного в радиусах Бора. Цифры наа кривыми состяегствуют значениям кванто вых чисел я и Г члсты различными рис.
1 — 9. ,1с, с Рс (х)= .— (х — 1) . 2с ~с (с Таблица 1-5 Углоосся честь волновой сфуннсгии. Угловая часть волновой функции 1;ы(6,ср) = йс„,(6).Ф,„(ср) равна произведению функций Ос„,(6) и Ф (ср): Ф (ср) = — еы е, , А /2пп 2к+й (с-! ~).' Ост(0)= ..)' (соз6), (1.70)' ! (с+! !). ,ы/2,уЦ где Р' (х)=(1-х2) — Р (х), а Р (х) — полиномыЛежандра: — ) Таким образом, угловая часть волновой функции может быть записана в виде Усгл (6,ср) = Осе, (6) Фт (ср) = Ост (6). — ехр(1лсср) . (1.71) ' 1 2п Зависимость угловой части Юс (6) волновой функции от 6 двя раз- личных квантовых чисел Х и т представлена в таблице 1 — 5.
1л 1 ЭлеиентаРные чпстизСы. Атомы Для определения углового распределения электронной плотности, по аналогии с представлением радиального распрелелення (1.68), запишем вероятность обнаружения электрона в телесном угле с1ь2 = гйп 0 с1 6 сссрс жсгя (0,ср)сК2 = с(ИЦ Р( г,0,ср)~ г с(г = аисте(й, (1.72) о Угловое распределение электронной плотности т„, (6) для состоянии значениями квантовых чисел 1.' и лс представлено на Рис. 1-9.
Угловое распределение элекгронной плотности Ост(6) для электронов, находящихся в состояниях 1я 2р, Зо, 4Е", лри различных значениях квмпового числа т ЧАСТЫ Альтернативное представление атомных орбнталей. Каждому энергетическому уровню с н > 1 соответствует несколько разных орбиталей, то есть различных состояний электрона. Харакгерпстики орбитальных состояний электрона и число состояний на разных энергетических уровнях в атоме водорода представлены в таблице 1 — 6. Энергия состояний с одним и тем же главным квантовым числом и. но разными орбитальными квантовыми числами, соответствующими А р. 21 г"...
состояниям, одинакова для атома водорода (рис.!-6). Таблица 1-6 Возникает вопрос, какие волновые функции считать разными? Дело в том. что если две волновые функции Ч', и Ч'2 являются решением уравнения Шредингера с одним и тем же значением энергии Е, то любая их линейная комбинация Ч' = А,Ч', + А2Ч 2 (А, и Аг — некоторые численные коэффициенты) будет решением уравнения с тем же значением энергии.
Поэтому состояния элект онов можно описывать любыми комбина иями волновых нк ий пол ченных в ез льтате шенин авнения Ш е- инге а и и словцу их линейной независимости то есть при условии, что ни одна волновая функция не может быть представлена в виде линейной комбинации остальных. Число линейно независимых волновых функций определяет степень вы о ения соотв тв р жд етс ующего энергетического уровня. ;", ь Описанные выше волновые функции Чн<„,(г,В, р) = В„,(г).О... (О) — ен "~ э/гп содержат комплексные сферические функции. Поэтому более удобным является представление атомных орбиталей в виде функций, не содержащих комплексных сферических гармоник.
Каждая волновая функция тако- Пг 1 Элементарные частицы. Атамы го вари апта набора линейно независимых волновых функций, соответствующих со х состояниям с заданными н и с, получается из исходных волновых чунк ф нкций заменой каждой пары функций Ч',, Ч' „, при т я О (с теми же знач значениями и и 1) их линейными комбинациями. 1 / — ( +т+ — 2н) 2 ( -нн — т)- — — (Ч' — Ч' Волновые функции с н~ = О не изменяются: Ч' =Ч'„. П и таком варианте выбора линейно независимых волновых функций ри они характеризуются тремя квантовыми числами: и, с и спином л Четвертое квантовое число т определяет симметрию волновых функций. П наедем примеры волновых функций второго альтернативного набо- Р ра, полу полученных линейной комбинацией волновых функций первого типа, опуская запись главного квантового числап. Волновые функции, описывающие состояния с г = О (з-состояния) остаются прежними, без изменения и обозначаются Ч',. Состояния с 1 =! (р-состояния) имеют следующие орбитали (индексы у исходных волновых функций указывают значения орбитального Х и магнитного т квантовых чисел): 1 1 Ч' = — (Ч'1+~+Ч'2 2!, Ч' = — (Ч'~ы — Ч',,), Гг ' ' ' '",~г 'Рр =Ч'ьо.
Состояни4~1 = 2, называемые И-орбиталями, описываются следующими волновыми функциями: 1 1 ч „= — (ч „,+ч,), ч „= — (ч'„,-ч,); Гг '" ' ж,~г 1 хо Ч'л — — — — (Ч'з+г — 1 г,-г)- Гг 1 Ч2л = — (Ч г+г+Ч з 2) ° угловой части и, волновой функции в декартовых координатах прелстав- лены в таблице 1 — 7, а в сферических — в таблице 1 — В. В каждом из состояний может находиться два электрона с противоположно направленными спинами. Волновые функции второго набора также можно представить в виде произведения Ч'„г — — Я„г.пг(гр,в) = Ь'„г пг(х,у,г) радиальной части 71ы (см.
таблицУ 1 — 4), и Угловой части пг(х,У,г) миг(д,в) ВыРажениЯ длЯ 71 7л б ЭлементаРные частибы. Атомы ЧАСТЫ Твблнвя 1 — 7 Волновые функции Ч' = Яиг 'пг (гр,6) электрона в волородоподобном атоме в зависимости от р= Ъ/ав и сферических углов 6 и гг (~ — эарвд вдра, ав — боровский радиус) представлены в табл. 1 — 8. Таблица 1 — 8 ЧАСТЫ 74 75 Рис. ! — ! !. Полярная диаграмма (а! и угловое Распределение (б) электронной плотности атомной р- орбитвли а 66 7 7в--- во эа вв 6Р 46 эв 61 41 4р зд 4в зр Зв гв 2О 24.5 14 Плотность вероятности игл, (О,чу) об- наружения электрона в направлении (ц,чр) равна квадрату угловой части атомной арбитали и;,в (й, ср) . Распределение алек!Раиной плотности подобно соответствующей полярной диаграмме, но немного отличается по форме поверхности.
Для примера на рис. 1 — ! ! представлены как угловое распределение электронной плотности (а), так и полярная диаграмма (б) р, атомной орбитали. 1.5.5. Многозлектронные атомы 1! Простейшим многоэлектронным атомом является атом гелия, который состоит из ядра и двух электронов, находящихся в !з-состоянии. Используя выражение для уровней энергии электрона в водородоподобном атоме ! 1.5б) 1 т2е 1 ~л (4пво ) 2л и можно вычислить энергию основного уровня для иона гелия Не', который представляет собой одноэдектронную систему. Значение энергии в основном состоянии ( — 54,27 эВ) у электрона в ионе Не' в 4 раза меньше, чем у атома водорода, поскольку У=2, то есть (эл! энергия связи электрона с ядром в 4 раза уговевь вакуума больше (рис.
1 — 12). Естественно ожидать, что при добавлении второго электрона Н -1346 энергия связи с ядром первого электрона должна уменьшиться, так как между элек- 9 — — — ~-Ф-$- тронами действуют силы кулоновского отталкивания. не Из эксперимента известно, что первый потенциал нонизацни (энергия, необходимая для отрыва одного электрона) атома гелия равен 24,59 эВ.
Это значит, что энергия !з — состояния, заполненного двумя алек!ранами у атома Не, равна -24,59эВ, Рис. ! — 12. Первый потенциал что существенно меньше энергии связи нопизании в атомах Н, Не' 54,27 эВ одного электрона в ионе Не . и 11е Следовательног энергия кулоновского от- Тд б Элементарные наста!)ы. Аячамы талкивания более чем в два раза уменьшает энергию связи с ядром одного электрона в ионе Не'.
Как уже указывалось, необходимость учета взаимодействия электронов лелает практически невозможным точный расчет волновых функций и энергетических состояний электронов в многоэлектронных атомах. 1.5.б. Одноэлектронное приближение В одноэлекгронном приближении взаимодействие электронов друг с другом заменяется взаимодействием каждого электрона с усредненным полем всех остальных электронов. Это поле определяет не только движение данного электрона, но и само зависит от его движения, то есть является самосогласованным полем. Введение самосогласованного поля позволяет рассматривать электроны в атоме как почти не взаимодействую- е щие друг с другом частицы, находящиеся в некотором эффективном поле, включающем как потенциальное поле ядра, так и самосогласованное поле, создаваемое электронами.
Каждый электрон описывается своей волновой функцией. При этом полная энергия атома равна сумме энергий отдельных электронов. Такнлч образом, введение самосогласованного поля позволяет свести рассмотрение системы сильно взаимодействующих частиц к задаче о движении одного электрона (одноэлектронное приближение). Эффективное поле, в котором находятся электроны, имеет сферическую симметрию, аналогично полю ядра водородоподобного атома, что позволяет использовать для описания состояний электронов в многоэлектронных атомах (в первом приближении) состояния электрона в водородоподобном атоме (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
