Г.А. Миронова - Конденсированное состояние вещества - от структурных единиц до живой материи. Т1 (1119317), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ою приближенных равенства (!20) н (1.22) являются частными слу° акми соопюшеляй неопределенностей, атнрытыь в 1027 г. неысцким фшиком В. Гейзенбергом: 43 Г . /. Элен»клар ме таски« . Аеюмы о ге таких аггрплкиий, как, напРиыеР. шлекгрон дни«отса ла Щб' гавай орбите» и «плотность элок»рическога заряда эшктрона е('Р) распре«сесна в сфарнческам слое».
1.2.4. Ствцыовериак состояния микречастни В статических щкаюк рассматриваются атацнанарные состояния инврачмтиц Параметры, карактернзуюшне стационарные состояния, не зависят ат време»»и. Каждой фгпичесюгй величине, ооределюашей состояние ча и им, в квантовпи механике атавится в спответствне определенный опер»тар. Действие оператора иа жюнавую функцию 'юстины (системы»астна) оп- ределяет среднее зшчение этой физической величины в стационарноь» состоянии. Оператор кннетичесшй энергии имеет вид 2»г 2ю~ Ьг ду бх Для свободной мшщочастиць», оонсываешгй волной дс Бра»з໠— — ' -з,мк,г-т,г !'я Ч'(г,г)рб е ( г,действиеаператара Т 7т(мг)= — (-е„' — 1 -йз)т(гг)= »Р(г,г) при псслелующеы уь»полинин на намплексно-с«приданную волновую фупкцию и ииюгриршюиин по всему пространству (гр), дает, с учетам (1.В), значение кинетнчесшй энергии свободной микрочастннь» ) Ч" (г,г)ТТ(гтг)йт=— 2ю Одиаш кинстичесшя энергия »власте» параметром юлька д»я сво- бодных юс~иц.
В области микромира выражение «импульс частицы в тачкееэиеимеегсмь»ела,носко«ькуизса о с и лепрой (1,7)сл- лует, что в«пулю р= 2«Л/Ь нс вы«ется функнней шордииат, так «ак !пима волны явюктся ршмериым параметром (юрмм волны, а не «аордн- иаты частнны. В квантовой механике шьж» ие ппределена частою шле- баний (н сеязаннаа с ней юи»шичсская эн«ргзм) а данный момент времени, а поэтому кинетическая и г»атенцлшьная энсрпы не могут быть измерены па отделы»ссги. В сб»ием случае определяется только полная энергия, из- меряемая как единое целое н зала«»смея аперюороы полной зиерпш, на- зываемым функцией Гамильтона (или гамильтоииаиам): ЙмТ+О (л,у,х), 45 ЧАСТБ 1 (1.28) 'У (1)Ч'„(2) (1.29) ч. (2)ч,(1).
81.3. Статистика частиц гле (/ = (/Бт, у, о г) — потенциальная энергия системы как функция коор-- динат. Оператор смешения во времени (И)д/Й определяется в квантовой механике из условия, чтобы решением уравнения Шредингера ЭЧ~ )Б — = Йчи а (1.25) лля свободно движущейся частицы с заданными значениями энергии Е и: Е„~ — Ь вЂ”" импульса р была бы волна де Бройля 'Р(г,г) = Ч'(г)-е В стационарном случае, когда Е= сопзЬ подставляя волновую функ- ' цию де Бройля в (1.25), получаем уравнение Шредингера в виде ЙЧ'(г) = ЕЧ'(г) . (1.2б) В лальнейшем прн рассмотрении стационарных состояний мы будем называть волновой функцией частицы функцию Ч'(г), опуская сомножитель, зависящий от времени.
Стационарными, состояния называются потому, что для ннх плотность вероятности местонахождения частицы и(г,г)=~ч'(г,г( =)Ч'(г( = и(г) не зависит от времени, а следовательно, н распределение средней плотности электрических зарядов не зависит от времени. Это означает, что рассматриваемая система является системой статически распределенных зарядов. Рассмо1рнм системы, состоящие нз большого (б» 1) числа независимых (не взаимодействующих) идентичных микрочастиц. В таких системах проявляются определенные статистические закономерности распределения частиц, входящих в систему, по энергетическим состояниям. Практически все свойства веществ в конденсированном состоянии (электрические и магнитные, теплоемкость и теллопроводность) определяются статистикой ансамблей частил, составляющих вещество. Все известные частицы делятся на два класса в зависимости от величины собственного механического момента количества движения частиц.
Собственный механический момент количества движения является внутренним свойством частиц н называется спнном (от английского слова ьр(п — «веретено»» Проекцию спина электрона на выделенное направление (например, направление напряженности магнитного поля — ось с) е » обычно измеряют в еднннплх, равных постоянной Планка л: е, = Ле. гэь Б Элементирные чаеяшцы. Атомы Частицы, у которых проекция спина е, может принимать только по- 3 5 чення, равные е, =+ — )ь + — й, + — )ь...
(ферми-частицы) подчиняются принципу запрета Паули н статистике Ферми — Дирака. Для электр ктрона например, спин может принимать два значения я= — =+— (1.27) й 2 Частицы с целым спинам, называемые бозе-частицами или бозонвми, подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Ферми- н бозе-частицы различаются симметрией полных волновых функций. Симметрия волновых функций определяется при перестановке двух частиц. Поскольку частицы идентичны, то обмен парь| частиц не меняет физических параметров системы.
Однако тип симметрии волновых ф р делает принцип заполнения частицами квантовых состоя- функции опред ля ний. П сть Для примера рассмотрим систему из двух одинаковых частиц. усть первая частица находится в состоянии Ч'„(1), а вторая — в состоянии Ч' (2), причем обе волновые функции учитывают все параметры (как Ьь е ° координатные, так и спиновые). Прн отсутствии взаимодействия между частицами состояние всей системы может быть представлено как или, учитывая возможность перестановки идентичных частиц„как Таким образом, полная волновая функция системы, как линейная комби- нация (1.28) и (1.29), может быть записана в виде симметричной волновой функции: зР— (~Р (1)ч'ь(2)+Ч'„(2)Чь(1)), (1Э ) «Гг илн в виде асимметричной волновой функции: Ч и» (Ч и (1)ч Ь (2) 1 и (2)Ч Ь (1)) «Гг Множитель 1/«Гг соответствует условию нормировки (1.8).
Если состояния а и Б являются одним и тем же состоянием, то Ч' =зГгч' (1)Ч' (2), а Ч' =О. Это означает, что если две идентичные и итз и«и ии частицы находятся в одном и том же состоянии, то они могут описываться ЧАСТБ 2 47 Гл. Б Элементарные частицы.
Атомы только симметричной полной волновой функцией. Это бозе-частицы. Ферми — частицы описываются антисимметричнымн волновыми функциями. так что две ферми-частнцы не могут находиться в одном и том же состоянии. В этом заключается сущность принципа Паули. Принцип Паули (принцип запрета), вводииый для ферми-частиц, зплре!цвел! дтш !и более) тождественны.и чвстицпи с пазуцелыи спинам гюнввремс!!но находиться в идиом состоянии.
Для свободного электрона состояние залается значением волнового вектора к. Поэтому в состоянии с заданным вектором и могут находиться только два электрона с разной ориентацией спина. Таким образом, принцип Паули вносит корреляцию между частицами. Вероятность какой-либо частице занять то илн иное состояние зависит от степени заполнения состояний остальными частицами. Следует отметить, что квантовые свойства и статистические закономерности для ансамблей тождественных частиц начинают проявляться нцже определенной температуры Ть называемой температурой вырождения.
При этой температуре длина волны де Бройля, соответствующая энергии теплового движения частно„становится сравнимой со средним расстоянием между частицами. При Т» Тд ллнна волны де Бройля частиц значительно меньше среднего расстояния между ними и квантовые свойства не оказывают заметного влияния. 1.3.1. Функция распределении Ферми-Днрака Для вывода функции распределения Ферми-Дирака можно рассмотреть систему ферми-частиц, находящуюся в термодинамическом равновесии прн температуре Т и содержащую и, частиц в состояниях с энергией Е, н и частиц в состояниях с энергией Е!.
Пусть энергии Е, соответствует число вознажных соппояний я! (у! степень вырождения энергетического уровни Е!), а энергии Е!. — число состояний яз (яз — степень вырожления энергетического уровня Еи). Термодинамическая вероятность Г! заполнения уровни энергии Еь то есть число различных вариантов звпохчтния, при конюрых из я! состояний п, зонин!ы, а р, = я! — п, сосяюя!ей свободны, равно числу сочетаний С ': я! ! Г =С"' = ! (Х! — и! )'и ! р! 'и! ! А~~~ог~~~о, число Г2 вазмажнь!х ~~~~~~~ий ~и~~с~~, ~о~да из цз состояний с энергией Ез частигьзми занято нз состояний, а рз — — я, — пз состояний своболны, равно ! Г =С"з = г= м2 (л д! )!па ! р„!н При этом учитывается, что в каждом состоянии может находиться только одна ферми-частица с заданным направлением спина.
Число способов, которыми осуществляется такое распределение всей системы частиц по состояниям (термодинамическая вероятность данного распределения частиц), когда одновременно из в! и йз состояний с энергиями Е, и Ез заполнено частицами соответственно и, и лз состояний, определяется как произведение термодинамических вероятностей Г, и Гз! Г=Г1Г2 = К! Я2 л!!Р1!г!2 Р2 ° Термодинамически равновесное состояние соответствует наиболее вероятному распределению и! и пь при котором функция Г (1.32) имеет максимум. Абсолютная температура, как параметр термадинамического равновесия двух систем, в статистической термодинамике определяется соотношением (1.33) г(Е йвТ Считая заданной температуру Т, для определения равновесного распределения и, и пз воспользуемся соотношением (!.33).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
