В.С. Захаров, В.Б. Смирнов - Физика Земли (1119252), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Так, французские ученые (например, Кассини) придерживались мнения О»яйцеобразности» Земли. Этот спор был сатирически изображен Д. Свиф1 ом в»/7)чиесиесслвии Гу~ыиеера» как война между «тупоконечниками» и»сэстроконечниками». Для проверки гипотез были огправлены экспедиции (1735 — 1742) в полярные и экваториальные ооласти (Лапланлию и Перу) лля измерения величины луги Г. В результате было получено, что на экваторе дуга 1 имеет длину 110 604 м, на широте 49" — 11! 256 м, на широте 66* -- 111 917 м. По этим данным легко определить н большую полуось общего земного зллипсоида.
и есо сжатие. В результате было получено подтверждение гипотезы Ньютона: полярная ось меньше экваториальной при- мернО на 20 км. Клеро, адин из участников лапланлской экспелинии, позднее расширил доказательство Ньютона, и в работе»Теория 4~иеуры Земли, оснониннин на началах гидроонатики» (1743) показал теоретически, что Земля будет иметь Форму зллипсоила и в случае, если плотссость меняется по радиусу (подробнее булет рассмотрено ниже).
Эллипсоид вращения — второе приближение фигуры Земли. Таким Образом, была установлена связь распределения шютности в Земле с ускорением л и форьсой Земли. 3.2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ И ПОНЯТИЯ 3.2, т. Гравитационный потенциал Рассмотрим основные характеристики, описывающие гравитаци нсное ссзаимолейсгвие: гравитационную силу, напряженность грас * витационного поля и гравитационный потенциал (рис, .2), Рис, 3.2. Описание гравитацьюнного взаимодействия точечной массы оа а †сточенн;6 — раснредененнаймессой М Точечные массы Е=6 —, (2 Распределенная масса Характеристика Р(г) =бьн~ —,=бтро†ь дМ' р'дг" г~г-г'~ Сига Р(г) Р(!) =6— М!и ! (з ! М л=6 —, М! я(!) = 6— )- ! Ианрнх еннасьнь гравитапионно- го поля л'= Р)т ()(~) = 6) — =- 6) —, . дМ' р'дГ (3.1) ! )г-г'~ )раантацнан- нын ноьнннцнаа Игь Л = -асад() ьдМ',ьр'д)" Ц(г) =.61 — =61 —, Здесь и далее величины со штрихами относятся к точкам внутри гравитируюшего тела„величины без штрихов — к точкам вне тела.
У~авнеыие лля гравитапионного потенпишш: 7'(! -- -- 4ябр(г) — внутри тела; Ч'() = Π— вне тела, (3.2) Зля гравитапионного потенпиала внутри тела справедливо уравнение Пуассона, Для потенциала вне тела справедливо уравнение Лапласа. Решения уравнения вне и внутри тела сшиваютсяь на границе. Это означает, что распределение янотносьии в рассматриваемом теле полностью определяет гравитационный потенциал, а значит, и граантацнонное нол» мого тела.
Плотность внутри тела входит в уравнение лля внешнего потенциала через граничные условия. 3.2.2. Решение уравнения Лапласа с помощью сферических функций Поскольку Земля имеет форму, близкую к сфере, удобно использовать сферические координаты !рис. 3.3). Соотношения между декартовой прямоугольной и сферической системами координат имеет вил х =ге)пйсоа), у =ггйпО ь)п)с, с =г ссай, гг')'= сгхгтуг)с =г а!пО г)гг)О с0., где Π— полярный угол; гр = яг2 — Π— широта; ) -- долгота. Рис 3.3, Декартова прямоугольная и сферическая системы координат Рассмотрим функцию 2(», О, Х).
которая является решением уравнения Лапласа где д.= — —, + — —, + —, — оператор Лагпаса, или в сферических ко- д д д' дх' ду) д ординатах ! д! гс1У1 ! д!'. дК) ! д'~ —; — —, гг — !+--,— — — ~а)пΠ— ~+ — „- — —,=О. )3,3) г! дт! г?г ) г'а)пОдО~ дО / гагйп8 дХ Это уравнение ре?цается методом Разде?епип переменных (Тихонов, Самарский,! 999). Пусть: У(г, О, Х) = У(г)Ю(О, Ц, где $ = Х„(О„)) — сферическая Функция (или гармопяка) порядка и — определенным образом выбранная функция О и ).. Сферические функции являются собсгпвеппыми (йупп?гаями оператора Лапласа. Использование сферических функций приводит к тому, что дифференциальное уравнение Ла?иаса в частных производных (3,3) распадается на два уравнения: дифференциальное уравнение в частных производных дяя собс?вениь?х функций о(О,'ь) и обыкновенное дифференциальное уравнение для у( ) Ау(О, Х ) = -п(п+ 1)Ж(О, Ц ? ?(?у г(у г —,+ 2г — -п(п+ !)У = О Й.
где и = О, 1, 2, ..., — номера сферических гармоник, Для каждого значения и есть свое решение уравнения Лапласа (3.3), т.е. имеем набор ре ?пепи й. Частное решение уравнения для у,(г) имеет для каждого и вид мм? ' Где и, и ))и — константы, опредедяемые из г!?аничных условий. С:4ерипческая функция Х (О, К) для каждого п выражается ыедующим об)тазом: Х,'," = Р„(созй)(!),',"созп?) + Ьмз(п?п).~, (3.3) где (?,'," и Е'„— козффициенты развожения, гп = О, „и; Р„(х) — при- соединенные полиномы Лежандра Р,'"(х) = (х — !)"'? —, Р„(х), где Р„(х) — пол ином ы Лежандра. Пол иномы Лежандра вши ются ре- п?енйями уравнения ?( ?' ? г(Р') — ~(1-х ) — ~+п(п+1)Р=О.
4(х Ж Полипом Лежандра Р»(х1 — это полипом порядка л опреле- ЛЕННОГО Вида Ра(х) -= 1: Р,(х) = х, Р (х) '= 1/2х(Зх~ — 1); Р (х) = 1/2 (5х' — Зх).... И Т,Л. Отмегнм, что полиномы с четным л содержат только четные степени х, с нечетным — только нечетные. Обиднее реюенне урйвнения Лйплйсй можно теперь зйпнсйть в виде » г(,б,23= ч Ц „" —,~~"„, Ь„",(В,).). гс» / Чаким образом, используя решение уравнения Лапласа с помогцью сферических Функций, можно записать рец1ение уравнения (3,2) лля гравитационного потенциала. Однако нам неизвестны априори козФФнцненты о» и (Зк Полойлем к эхзй проблеме с другой СТОРОНЫ, 3.2З.
Понятие о разложении по ореричесним Функциям В выражении ля я сферических Функций входят синус и косинус, т,е, ортогонйльные Функции. Свойство ортогональности сферических Функций позволяет использовать их лля аналитического прелстйвлення Физического поля, рельефа или других величин, заданных в виде карты на сферической гюверхности. Сферические Функции играют ту же роль, что н тригонометрические лля приближенного представления произвольной Функции, заданной на отрезке 1й рядом Фурье ( х .
х) Р(х) = ч~~ р»соз2ял — + я»з(п2ял — 1, ».=й 1» 1» .) гле р» н д» вЂ” коэфФициенты разложения, л = 1, 2, 3„..., Если Р(0, х) — известная„кусочно-непрерывная Функция, заданная на некоторой поверхности Х в сферических коорлинатах, то ее можно представить в виде разложения по е4ерическим гпрмояяк»ьн с соответствующими ймплитудами Р((),).)= ~Х»(6, Х) = „'> ~~, Р„"(созй)(о„"сойти+6,';з(пгиА), (3 8) ».
в где коэффипиенты разложения опрелеляются следуюгцим об- разом: и,'," =/с ~Г(6", >с')сох>лх'Ртх(созй')>УХ', Ь„" = х„( Р(6', Х")мвту'Ри(совй')с(Х', 2 л+( т=О Л~~-т)! (2л+)) — ' л>з>О ' (л+ и>)! интегрированна проводится по поверхности Х. На практике иащльзуется конечный ряд, содержащий й>сферических гармоник, В случае осевой сизсиел>рия„когда функция Р' не зависит от ), имеем >л = 0 и Ю„~ = Х„= Рк(свай).
В этом случае Р(6)=~ СаРх(соаО). к-.а Коэффициенты с„можно вычислить как С, = — (2л+()~Р(6')Р„(сохО' )>(6'. а Сферические функции Хы которые обращаготся в О на широтных окружностях, называготся золать»ыни (рис. 3,4). Функции Х„",, которые обращакугся в 0 на мерндиональных линиях окружностях, называк>тся се>с>лориаеьлынп функциями.
Функции Ю„, которые обращаготся в О на последовательности 2>п равноотстоящих друг от друга мериднональных линий и на последовательности л-л> ши- Рис.3.4. К понятию сферических функций: показаны области, в которых принимают положительные (черные области) и отрицательные (белые области) значения: а — зональные; б — секториальные; а — тессеральные функции.
На линиях сфери- ческие функции обращается в О ротных кругов„называются тессеральными (от латинского гехгега — 'плитка в мозаике»). Соответственно, коэффициенты разложения с, называют зональными, а а," ,и Ь„" — тессеральными коэффициентами (или моментами), Таким образом, разложение г(6) по сферическим функциям — зто представление Р(6) в виде суммы гармоник с длинами 6„= 2я/н, н = О, 1, 2, .... Например, если г(6) = (??6) — расстояние от центра Земли до ее поверхности (т.е.
Я(6) — рельеф поверхности Земли), то разложение )?(6) по сферическим функциям -- это представление рельефа Земли в виде суммы гармоник с длинами (ь = 2кгн )? ., где )? . = св — средний радиус Земли. При разложений Г(6) по сферическим гармоникам более высокие гармоники (с большими и) характеризуют более мелкие особенности »профиля» Р(6), Итак„гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа вне тела, и решение имеет вид (38), те. выражается через сферические функции. С другой стороны, любую, в том числе наблюдаемую, функцию можно разложить по сферическим функциям (3.9). Тогда можно использовать знгнерииентальные данные для определения теоретических ноэ44ициеннгон разголсения ноля. 3.3. ПОТЕНЦИАЛ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ З.З,З, Разложение потенциала силы тяжести по сферическим функциям В раза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
