В.С. Захаров, В.Б. Смирнов - Физика Земли (1119252), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Зля упругих материалов относительно велика зона упругих леформаций. Хрупкими называют материалы, у которых участок пластичности мал (или отсутствует). Повышение температуры Т ведет к усилению пластических свойств. Повышение давления способствует повышению предела прочности материала. Увеличение скорости нагружения приводит к усилению хрупких свойств. Наоборот, ллительные нагрузки приводят к проявлению процессов течения (за счет механизма ползучести), лаже в твердых телах. 2.3. УПРУГОСТЬ И ВЯЗКОСТЬ 2.3Л.
Упругосп Упругое поведение описывается законом Гука, который утверждает пропорциональность напряжений и деформаций, Для компонент тензоров напряжений и деформаций закон Гука имеет вид о . =ХО+2ре. о„= ).О+ 2раг„ а„=2О+2ре о„= 2рао о =2ре. оп =2ре где Π— днлатансия (2.5); ). и р — параметры Лама (упругие модули): р — мод)ль сдвига. При одноосном сжатии (растяжении) е =е. =-аа.
р(3) + 2р) где Е = — — — модуль Юнга, Х+р ), У=- в коз44ециент Пуассона. 2(2,+)ь) При всестороннем сжатии (2,П) 2 где А' = Х+ — р — модуль всестороннего снсатин. 3 Уравнения движения получаются ггз второго закона Ньютона (Г = = та, где с'- сила, т — масса, а — ускорение). Приведем упрощенный вь~юд, который, однако„дает представление о способе 1юлучения уравнений. Для силы, действующей на элементарный обьем среды ЛУ имеем: )) И где и = — — ускорение; и — смещение; г — время; Лн( = рЛе' = э(' = рЛхЛуЛ;, р -- плотность, Для х-компоненты силы можем записать Гсм. рис, 2,). б) М', =Ла,Л5, + Ла „,Л5 + ба „.Л5„ где Л5, — плошадь стороны элементарного объема, перпендикуЛярипй ОСИ ) (Л5н = ЛуЛСЛ5Х = ЛХЛт Л5 = ЛХЛу).
ДЛя Х-КОМПОНЕНТЫ силы, приложенной к единйце обьема, в пределе имеем; ЛР эа эо'„эа ы:зхм О Топ(а,ъш уравнения движения по оси х получаем эа Эа,„Эа . Э'и, дх эу де эг Действуя аналогично, получаем уравнения для других компонент. Таким образом, уравнения движения сняои(ной уиругои среды имеют вид Подставляем в зту систему выражения (2.6), связывающие компоненты тензоров напряжения и деформации и выражения (2.4) лля компонент тснзора деформации через смешения. Получаем уравнение для вектора смешений и рЛи+ — + К)~спи =р —, ~р '( эи где Л = %" — оператор Лапласа. 2 Вектор смещения всегда можно представить в виде двух независимых компонент и=и,+и,, + + ! Эа Эахх Эа — + — +— эх эу эх ! Эа„. эа„, да э эу э Э и„ =Р „," Эи =Р—,' Э~и( =р= дг~ таких„что пи и, = О, д)т и, = О, В )м:зультате имеем два независимых Водиооих уравнения ди, "2 рт и,=р— дг' Уравнении (2.14) описывают два вида волн — продольльа (Р) и поперечиых (Я.
Для одномерного случая имеем 4 ')д'и, д'и, д'+-р — — =р —,,- 3 / дхт дг~ д'ив д из Р— '=р— дх дг Обычно решение записывают в виде гармонической функции 1'2я ~ 2к и =по сов~ — х- озг ~= ив сов — (х- тг) = ив савв(х- тг), Е где А = 2/Е -- волновое число; Х. — длина волны; т — частота; го — круговая частота; о = Ех — скорость распространения волньь Подставляя это выражение в уравнения (2,14), получаем выражения для скорости продольнык и поперечных волн +/ЗА Р 2.3.2, Вяаиость Соотношение для ньютоновской (линейной) вязкой жидкости имеет вид т.е.
напряжение пропорциональна скорости деформации а= деl Коэффициентом пропорциональности является ц — дипозгичесии олзкосгпа. )ц) = 1 Па.с в системе СИ, Здесь и далее тачка над переменной обозначает производную по времени: д1 да '» д»'ди) ди дг),дх) дхтдг~ дх ' Для компонент тензоров напряжений и скоросгии деформаций можно Записи»ъ д»„, ду„, д»е 1~ дгх д»у» где 11' дг, д»с '» 11'ди. дг„) 21, д; дх,)' "' 21, ду д- ) компоненты»иеизора скороса»и деформаци с Для несжикгаемой жидкости (О = О) соотногпения (2.16) имеют вид: (У = 2т)е ох» =2»)е,, о„= 2»)с. о'„, = 2т)й, о„= 2»)й„ а„= 2»)й„, В случае аросквого сдвига 1см.
рис. 2.2, б) имеем »'д»,, дту '» о„=2пе,, =т)~ —.' + — ' ,'=»)-,— *. 1 ду дх )~ ду поскольку второй член в скобках в этом случае равен О. Лействуя аналогично тому, как мы делали при выводе уравнений движения упругой среды, и, пренебрегая и~ерннонными членами 1что обосновано низкой скоростью геологических движений), получаем ураваеяия движения для вязкой среды дт рЧ т,+рХ=р —" дг дюг рт' т„+ру=р —, дг дФ рР '. +РХ=р — ' дг гле (Х, К 2) — компоненты массовых сил, в геомеханике обычно— компоненты силы тяжести ря, В векторной форме можно записать рй=ру э+ри, 2 Это уравнение Навье — Сглокса (в приближении Стокса). 2.4.
ОЦЕНКА ВЯЗКОСТИ АСТЕНОСФЕРЫ ПО ПОСЯЕЛЕДНИКОВО(ИУ ПОДНЯТИЮ 2.4.т. Послеледиаиовое поднятие Вертикальные движения, связанные с восстановлением нзостатического равновесия после снятия (полного или частичною) ледниковой нагрузки носят устойчивый характер. Подробнее изостазия булет рассмотрена в следующих разделах, а злесь мы используем ланные по величине и динамике постгляционных лвижений для оценки вязкости в верхней мантии — в астеносфере, В Скандинавии, Карелии и на Кольском полуострове сокращение и уменьшение мощности ледникового покрова последнего оледенения вызвали быстрое поднятие территории в зиле енола.
Вздымание шло быстро сразу же после таяния и отступления льда ('10 — 13 см/юд). но впослелствии оно замедлилось и сейчас составляет не более 1,2 см/гол. На рис. 2.5 представлены данные поднятия Скандинавии по геолого-геоморфологическим данным (Никонов. 1977), рис. 2.5, а, и по данным ОРВ с учетом звстатического изменения уровня моря ()опапазоп е( а1., 2002), рис. 2.5, б. На рис, 2.6 представлена геодинамическая схема линамики коры, связанной с гляциацией и дегляциацией. 2.4.2.
Модель вязках течений в встеносфере Используем модель течения вязкой зкидкосии в асгеносфере (верхней мантии) для описания динамики послеледникового поднятия, Тогда скорость течения должна удовлетворять уравнению Навье — Стокса лля несжимаемой жилкостн (2.18). 40 )ИИИ)~ T Т, -З,г 1л сз хб чл хв гл 7.6 за КО ччг я О 6 Рис. 2,5.
Данные по послеледниковому поднятию Скандинавии: а — в течение последних х 5000 — 7000 лет (и зол инин — в метрах) по геолого-геоморфологическим данным (по Никонов, 1077; Короновский, 20 .. ); б 001 С. 75г б — скорости современного поднятия (изолинии — в мм(год), рассчитанные по данным 6Р5 на основании моделей изостазии, с учетом звстатического изменения уровня моря (из )опапмоп ет а)., 2002, Р Етб 3 — 16 с изменениями) Рассмотрим случай пространственно-периодической нагрузки (рис.
2,7), ке, поверхностный рельеф описывается функцией вида Г 2к Н=Н сов~ — х, е где А — пространственная длина волны; ̈́— амплитуда рельефа. Рис. 2.6. Геодинамическая схема динамики земной поверхности при оледенении и исчезновении ледника: а — до оледенения; б — опускание поверхности, вызванное весом ледника, а — положение поверхности после тал е таяния ледника; г — изостатическое восстановление 41 Рис, 2.У.
К модели вязких течений в астеносфере Решение уравнения Навье — Стокса ищем методом разделения переменных, Тогда прогибание после снятия этой нагрузки будет иметь вид (2я 6 = йое сох~ — х ~л где е™ описывает вязкую релаксацию прогибания с течением времени; ст — параметр релаксации, который зависит от вязкости вещества. Попробуем выявить эту связь и определить вязкость по наблюдаемым данным. Выражение для вертикальной скорости е, имеет вид гтл, Зяс(з е = — е * сй -зхиз где член е"-™ описывает затухание вязкого течения с глубиной, которое имеет характерный пространственный масштаб Л; знак -» здесь поставлен потому что ось с направлена вниз.
Подставляя сюда выражение для л, имеем стиве-исоа х е-зятьях оле-тх;-~л (2я ~л 1 Рассмотрим теперь граничное условие для компоненты напряжений о„при с = 0 а .~ =-р=-рай, дтт ~де, согласно(2.17), о =2рез =2т1 — ", Эх Тогда, подставляя это выражение в граничное условие, имеем -ря)т=о ~ = — 2т) — ст)те= 2я зд~~х( л — — в В результате получаем следующее соотношение, связывающее и н т! р„). ! 4пт! и= —" или т)= — =- — —.
время релаксации. 4пт! и рхЛ 2.4.3. Экспериментальные даттные и оценка вязкости астеносферы На поверхности зависимость максимального прогибания от времени имеет вид -,и ) г~и На рис. 2.8 предстаю!сна зависимость прогибания )т(г), построенная по геологическим и тес!того-геоморфологттческим данным (Теркот, Шуберт, !985; Капа)!1, 1995).
Если прогибание представить в логарифмическом масштабе, то зависимость имеет линейный вид: )п(т =- !тт(тв — ит. где !п — натуральный логарифм. По этим данным, проведя линейную регрессию методом наименьших квадратов, получаем значение па- раметра и = 0,4 1/тьтс, лет, или г= 2500лет, Из выражения, связывающего время релаксации и вязкость, ряЛ рядт имеем т)=— Яки 4я Тогда при р = 3,35 г/см и Л вЂ” 1000 км, получаем оценку для вязкости верхней мантии 0=4 10!в Пас.
Тут важен только порядок величины вязкости т) — 10! Па с. И!..4)таломковмлт (Артюшков. 1979) получена оценка вязкости 10'"- 10!в Пас, В этой оценке не учтено ограничение ьтощт тост тт астеносферы (т е. она считается бесконечной). а также упругость лнтосферы. Однако эти эффекты дают противоположные вклады, так по порядок оценки можно считать верны и. Для сравнения приведем значения вязкости некоторых веществ. Вязкость воды при комнатной температуре равна 10 т Па с; глицерина — 0,7 Па с', базальговых расплавов, в зависимости от тсмпера- ЗОО 250 а. !50 и (ОО ~ Р 0 9 8 7 б 5 4 3 2 ! О Время, тые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
