В.С. Захаров, В.Б. Смирнов - Физика Земли (1119252), страница 12
Текст из файла (страница 12)
3.1 мы отмечали, что сила нтлеести на Земле складывается м гРанитаиионнои силы Р и центуобезгеной силы Гн„(см. Рис. 3.1). Соо гветственно потенциал силы тяжести Я'складлывается из граеинтационного потенциала б н потенциала центробеленой силы (;). Я = (У+Д. 1рвгнтац ионный потенциал, согласно (3,1) о'=6~1 — — — — ггг', l =(х-х') ь(у-у') +(с — г') . гр(х "у с ) й г Потенциал центробе;кной силы (',)= — (х +у ~, илн в сфери- 2 ческих координатах (;) = — г Ип 6, й 2 здесь предполагается, что точка наблюдения вращается вместе с Землей вокруг оси Ус угловой скоросгью Й.
Гравитационный потенциал Уявляется решением уравнения Лапласа, поэтому мы используем для него выражение (3,7), Примем во внимание, что на бесконечности потенциал должен обращаться в ноль, т,е. Цг-+ ) = О, откуда следует, что и„= О. Тогда выражение для потенциала силы тяжести можно преобразовать к нилу 9 а' И' = 6 ~> —, ~ч~ ~()„'"созе+ Е„, а)птХ) Р„"'(совй)+ — гга)п~й, (3,9) „.„г" ' Ю Ф где первый член представляет собой гравитационный потенциал,, второй — потенциал центробежной силы. КоэФФициенты разложения В,", и Е, определяются выражениями Х~,", = ()„= ~р'(г')(г')" Р„(соей')сЛ"„ 0„'" = 2 ' ) р'Я(г')" солги),'Р,,"(соа6')г(У', (3,)О) (и+ т)! ( Е,'," = 2 ' ~р'(г'ф')" зпми) 'Р„"(соа6')ФГ'.
(и+т))„ Рассмотрим физический смысл некоторых коэффициентов ()," Й," =~Р'(~"=М, 0~' = (~р'гсовйй $" = ~ р'гт(У" = Мг, Е~ =) р'г'сов).'а)п6'И~" =) р'х И$" = Мхю Е~ =) р'г'а1п?'а1п6'а%" =) р'у'Л" = Му„, гле М вЂ” масса Земли; х, у, е — координаты центра инерции Земли. Аналогично где Š— момент инерции Земли относительно оси У; А и 6 — мо- менты инерции относительно осей Хи У(главных осей инерции). то Если при описании поля силы тяжести начало системы координат поместить в центр масс, а координатные оси направить вдоль главных осей инерции, то уравнение (3.9) можно записать так И'=6 — +б — ~ -С1Рз (созО)+ — 6 —,( — А)гйп 26соз22.+ М 1)А+В ) а 3.,1. л=2,е=з а.кт О (3,11) +б~~> —, ~~~~()2„'"сват),+ В~в(пой ~Р„;"(созО)+ — г гйп О.
Ф й~ „зг" Член с я =! отсутствует за счет выбора системы ксюрдинак Коэффициенты 2)„'" и Е,", могут быть опредемны по (3, 10) через распределение плотности в Земле. Однако функция плотности р = р(п 6, ).) нам неизвестна (наоборот, в следующих разделах мы рассмотрим, как гравитационные данные используются лля ее определения). Попробуем тогда подойти к решению проблемы с другой стороны. Для этого используем данные по экспериментальным измерениям силыигяжестя, полученные из наблюдений за искусственными спутниками Земли. При орбитальном движении спутника с выключенными двигателями по круговой орбите его механическая энергия сохраняется лгг 3 Е = — + тВ(В . + В) = — та(йя + Ь) = сопя!, 3 2 И'=б — ~1-~Ч~ ~ — ~ У,,Р„(совО)+ г~ „з,г р, г хл й +~ ~ ~ — ~ Р„"(созО)(А,",'соыяХ+ В,',"з)пи~А)~+ — г~з(п~О.
(3.12) где п — экваториальный радиус Земли. где я -- высота орбиты над поверхностью Земли, т — скорость движения по орбите. Если изменяется сила тяжести В, то соответственно, должна изменяться и высота Ь траектории движения спугника, которая определяется весьма точно. В случае более реалистичного движения спутника по эллептнческой орбите параметры орбиты также позволяют получить значения силы тяжести В в каждой точке, над которой пролетает спугник.
Разложение полученного таким образом потенциала силы тяжести И'по сферическим гармоникам, подобно (3.3), дает Таким образом, в разложении гравитационного потенциала вы делается часть, не зависящая от Х (те. обладающая осевой симмет рией). Коэффициенты (ь разложения называют зональныма, а А,", и В,', .-- тессеральными гравнтаяаоннымн моментами, Траектории искусственных спутников Земли достаточно плоти покрывают поверхность Земли, что дает возможность детально (го раздо детальнее, чем при наземных измерениях) опрелелить пол силы тяжести и получить оценки гравитационных моментов до до статочно высоких порядков. Данные для нескольких младших зо нальных моментов/в приведены в табл.
3.1 (лв = 1). таблица 3. Зональные грееитационнгне моменты 3„ Коэффициенты А,'," и В„'," прин >2имеюттакойжепорядокве личины, что и соответствующие У„. Сопоставляя (3.12) с (3,9) и (3. 10), можно убедиться, что: ') р'(г') -(г') Р,(соз9')г6" ~0 lь =- —" Ма" Ма" ) р'(г'). (г') созтл.'Р„'"(соь9')з)г' Ю'" А„ Ма Ма" ) р'(г'). (г') з(птл'Р„'н(соай')й(г' л Вн и Ма" Ма" (с- — ', е частности„ lз = — --; —.. Ма' Таким образом, отметим, что выражения (3,13) связывают распре деления плотности в Земле с величинами l„, А„и В,',", которые по лучаются из наблюдений, 3.3.2.
Нормальный потенциал сипы тяжести Основной вклад в поле силы тяжести дает нулевюг гармоника (которая соответствует полю шара и не зависит от О и ) ), Из табл. 3. ! значений У„видно, что лля части поля, зависящей от 6 и Х, следующий по порядку величины вклад (- 10 'з) дает еиюрая гармоника, а вклад гармоник высших порялков (и > 2) значительно меньше (- 10' з х г' ). Поэтому естественно разделить И' на главную часть и малые возмущения И' Иг = Иг„+ И'.
Главную часть И' называют нормальным полем Игщ И вЂ” аломйяькьгм полем, И'е- — б — !1-~ — ', УзР,(созО) + — г сзп О, (3.14) г( г/ ' ~ 2 где Р,(совО) = 1/2(Зсов-Π— 1). Далее индексом булем обозначать так называемые параметры норм~иеной Земли (силу тяжести, Фигуру и т.л.). Отметим, что центробежным членом пренебречь нельзя, так как он лает вклал в поле того же порялка, что и член с Х~. Действительно, на экваторе (О = 90') г = а, имеем 2 Ч М))уз 6 — ' — lз ! а 2 ! И~а где 4 = — — отношение центробежного ускорения к гравитацион- 8~„ ному на экваторе. (З а ь2~аз Ч Поскольку д= — — = — = 3,4676 х 10 -', то — -3, т.е.
цент- ,М 6М Лг „г робежный член имеет тот же порядок величины, что и гравпзационный член с,г*,. Заметим, что нормальный потенциал (3.14) не зависит от долготы )., те. нормальное поле симметрично относительно оси вращения Земли. В соответствии с нормальным потенциалом вводится и нормальное ускорение силы тяжести я„= -ггйггтг(г. Зермин фигура Зельги., как правило. обозначает форму ее уровелнои поверхности, ве, такой поверхности„относительно которой измеряются высоты ее физической поверхности. 3.4,1. Геоид Поверхность Земли имеет сложный рельеф, поэтому возникает вопрос, что принять за флгу ту (те.
фо)ьиу) Земли, В ) в73 г. немепкий геодезист Яисптилг предложил рассматривать в качестве фигуры Земли уровенную поверхность, ориентированную в каждой своей точке перпендикулярно направлению полного вектора напряженности паля тяжести (ускорения силы тяжести), Примерно 72% поверхности Земли покрыто океаном.
Поэтому естественно за форму Земли принять форгиу невозмушенной поверхности океана. Вода располагается в океанических впадинах под действием силы тяжести, Градиент Иг вдоль поверхности океана равен нулю, поэтому уравнение, позволяющее определить поверхность Земли, имеет внд ))г(г, 6, ),) — "- сонэк Решение этого уравнения описывает поверхность уровня г = г(0, ).) (эквипотенпиальную поверхность). Ограни генное этой поверхностью тело называют геоядом («зеи теподоблылг-).
Геоид не может бгять определен аналитически. поскольку нет формул, описываюших згу поверхность. Поверхность геонда связана только с Землей н обусловлена ее физическими свойствами„ее гравитапионным полем и вращением. Она совпадает с поверхностью океана, невозбужденной внешними воздействиями (приливами, волнами и т.п.). а на континентах может быть построена только аналитически (рис. 35).
! гл ! Рис. 3.5. Соотношения эллипсоида, геоида и поверхности Земли: Л вЂ” высота точки над поверхностье геоила; Лг -- высота геоида относительно ре$е- ренц-вллипсоида На практике часто используют хепзигеоид — поверхность, близкую к поверхности геоида, определяемую !олько по результатам измерений гравитационного поля на земной поверхности без привлечения данных по распределению масс внутри Земли. Разность высот геоида и квазигеоида: несколько сантиметров на равнинной местности„и не превышает 2 м в горах.
З.4.2. Нормальная фигура Земли (сфероид) Условие для нормально~о потенциала И' = К = сопя( позволяет из семейства поверхностей уровня выбрать такую, которой соответствует нормальная фигура Земли г =- г„(0, ),), Согласно (3. 14) имеем; М, а (2~ 6 — -6М вЂ” у РНсоаО)+ — г~~а(и~О= К„, (3,15) л) ге 2 или М ! 1, А+В)1 т 12~ 6 — -6 —,1С- — ! — (Зсоа 0- Н+ — лр!и О= К„. А+В Обозначим — — — = А, те. вместо трехосного эллипсоида исполь- 2 зуем эллипсоид вращения. Воспользуемся условием га!е , =а, чтобы выбрать наилучшее приближение к гсоилу. Тогда при 0=90 из(3.15) имеем дш А;, М С-А йа Ка — — 6 — + 6 — —.;-+ а 2аз 2 Подставляя ззо в (3.15) ле~ко убедиться, что выражение содержит лва малых параметра: отношение центробежного ускорения к гравитационному на экваторе () - 3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
