В.Н. Жарков - Внутреннее строение Земли и планет (1119250), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Дебаевская частота ωД определяется как максимальная (предельная) частотав дебаевском спектре [формула (59)].Кванты тепловых колебаний в твердом теле называются фононами, в отличиеот световых квантов — фотонов. Энергию фонона с дебаевской частотой ωДможно записать в двух видах:εД = ℏωД = kΘ,()ℏ 6π 2 N 1/3Θ = v̄,kV(61)где ℏ — постоянная Планка, деленная на 2π , k — постоянная Больцмана (газоваяпостоянная, отнесенная к одному атому), Θ — дебаевская температура.
Таким образом, дебаевская температура — это измеренная в градусах энергия предельногодебаевского фонона. В предельном случае высоких температур T ≳ Θ тепловойэнергии достаточно, чтобы возбудить весь спектр тепловых колебаний атомов,и это соответствует классическому предельному случаю. Обращаясь к формуле(61), легко видеть, что данные сейсмологии позволяют нам определить дебаевскую температуру как функцию глубины в мантии Земли, т.е. Θ(l). Оказывается,что данные сейсмологии позволяют определить Θ(l) и для ядра Земли.
Так решается первая часть задачи определения функции Θ(l) для земных недр.Вторая необходимая нам функция — это параметр Грюнайзена γ (l). Эта функция характеризует изменение дебаевской частоты при изменении плотности иопределяется как логарифмическая производная дебаевской температуры Θ(ρ )по плотности:d ln Θ ρ (l) dΘγ (l) ==.(62)d ln ρΘ(l) d ρНам известны функции Θ(l) и ρ (l), поэтому формула (62) позволяет вычислить функцию γ (l). Как всякая логарифмическая производная, γ (l) — медленноизменяющаяся величина порядка единицы. Обе функции Θ(l) и γ (l) для мантиии ядра показаны на рис.
38 и 39.Чтобы рассчитать дебаевскую температуру по формуле (61), кроме среднейскорости v̄ (60), которая определяется по данным сейсмологии (см. табл. 5),необходимо еще знать средний атомный вес вещества Ā. Для мантии пиролитового состава Ā ≈ 22. Это дает для дебаевской температуры на глубине 100 кмзначение Θ100 ∼ 660 K.154Θ ⋅ 10−3 KγΘlΘ100γ=2.21.8211.4d ln Θd ln ρ2.21.41.01.81.40.81.01.00.610002000Глубина, км1.61.21.4021.210.42900 4000 5000 6000Глубина, км3000Рис. 38.
Изменение дебаевской температуры (1) и параметра Грюнайзена (2)в мантии Земли с глубиной1.00.8Рис. 39. Изменение дебаевской температуры (1) и параметра Грюнайзена (2)в ядре Земли с глубинойСоответственно можно считать, что классический предельный случай в недрах Земли реализуется для глубин, где T ≳ 1000∘ C, т.е. в большей части земныхнедр. В классическом предельном случае удельная теплоемкость при постоянном объеме cV дается законом Дюлонга и ПтиcV =3R3R,ν=MĀ(63)где R = 8.314 ⋅ 107 эрг/(моль ⋅ град) = 8.314 Дж/(моль ⋅ град) — газовая постоянная, M — относительная молекулярная масса, ν — число атомов в молекуле, Ā —средняя относительная атомная масса.Удельная теплоемкость при постоянном давлении c p равнаc p ≈ cV (1 + γα T ),(64)где T — абсолютная температура, а α — коэффициент теплового расширения,который может быть рассчитан по формуламcpρcV ⋅ ρα =γ=γ,(65)KSKTгде KS и KT — адиабатический и изотермический модули сжатия соответственно.
Адиабатический и изотермический, коэффициенты сжимаемости βS и βTсвязаны с теплоемкостями термодинамической формулойcpKSβT== .βSKTcV(66)155Вычислив по формулам (63)–(66) термодинамические коэффициенты, можнорассчитать адиабатической градиент температуры в мантии и ядре Земли поформуле( )gα TdT=,(67)dl адcpгде g — ускорение силы тяжести, l — глубина. Рассчитанные таким образомтермодинамические коэффициенты для разных глубин сведены в табл. 7 и 8.Принятые при расчете распределения температуры слабо влияют на значениячисел, приведенных в табл.
7 и 8.Поясним теперь подробно, как получают для мантии Земли распределениекоэффициента теплопроводности ϰ(l), что поучительно в методическом отношении. Коэффициент теплопроводности мантии Земли ϰ складывается из двухчастей: ϰр — решеточной части коэффициента теплопроводности, обусловленной обычным механизмом переноса тепла в диэлектриках за счет диффузиитепловых колебаний кристаллической решетки — фононов, ϰл — лучистой частикоэффициента теплопроводности, обусловленной переносом тепла инфракрасными электромагнитными волнами. Таким образом,ϰ = ϰр + ϰл .(68)Теоретически можно определить зависимость ϰр от температуры и плотностичерез известные нам функции Θ(ρ ) и γ (ρ ) дебаевскую температуру и параметрГрюнайзена:V 1/3 Θ3,(69)ϰр = A 2γ Tгде V — объем элементарной ячейки среды (V ∼ 1/ρ ), A — некоторая нормировочная постоянная, определяемая экспериментально.
Оценим теперь изменениеϰр с глубиной. Обозначим индексами “l” и “100” величины, относящиеся к глубинам l и 100 км соответственно; тогда (69) перепишется следующим образом:()() () ()ρ100 1/3 γ100 2 Θl 3T100.(70)ϰрl = ϰр100TlρlγlΘ100Для определения ϰр100 предположим, что мантия состоит из дунита (ультраосновная горная порода, близкая по своим физическим свойствам к мантийнымпородам), и воспользуемся экспериментальным значением для средней теплопроводности дунита при 0∘ C, ϰр (T = −273 K) = 1.24 ⋅ 10−2 кал/(см ⋅ с ⋅ град).Далее, из (70) следует, что на протяжении первых 100 км влияние температуры на изменение ϰр более существенно, чем влияние давления (или измеconst.нения плотности). Поэтому ϰр100 можно найти из соотношения ϰр =T156Таблица 7Значения термодинамических величин мантии Землипри распределении температур вдоль адиабатического градиента()Tl /T100 адГлубина, смT, Kα ⋅ 106, град−1c p /cV10020060010001800290015001575180019502160240068.162.525.516.911.09.501.191.191.061.041.021.0211.0511.2051.2951.441.61Таблица 8Значения термодинамических величин земного ядрапри распределении температур вдоль кривой плавленияГлубина, смT, Kα ⋅ 106, град−1c p /cV29003600440050006371430049005650605063001.080.790.670.6160.5771.071.0551.051.051.05()Tl /T100 ад11.141.261.311.37Определив постоянную из условия ϰр = 1.2 ⋅ 10−2 при T = 273 K, получим3.4.
Подставляя это в (70), определим оконconst = 3.4 кал/(см ⋅ с), ϰр100 =T100чательное выражение для решеточной части коэффициента теплопроводностимантии:ϰрl =⎧ 3.4⎨ Tпри l ⩽ 100 км,()() () ()ρ100 1/3 γ100 2 Θl 23.4 T100при 100 < l ⩽ 2900 км.⎩T100 TlρlγlΘ100(71)При температурах порядка 2000–5000 K в неметаллах заметный вклад в коэффициент теплопроводности может давать механизм лучистого переноса тепла.157Выражение для ϰл имеет видϰл =16 σ ∗ n̄2 T 3,3ᾱ(72)π 2 k4= 1.37⋅10−12 кал/(с ⋅см2 ⋅град4 ) — постоянная Стефана – Больц60ℏ3 c2мана, ᾱ — коэффициент поглощения, n̄ — показатель преломления, c — скоростьсвета в пустоте, ℏ — постоянная Планка, деленная на 2π , k — постоянная Больцмана.
Основная неопределенность в ϰл заключена в ᾱ . По-видимому, выборподходящего значения ᾱ для земных недр еще долго будет оставаться неопределенным. Пока подходящей оценкой можно считать ᾱ ∼ 100 см−1 .Качественно изменение ϰ в мантии Земли можно описать так. Вначале коэффициент теплопроводности убывает примерно по закону T −1 [формула (71)].На глубинах 100–200 км темп нарастания температуры замедляется, а самитемпературы становятся весьма высокими.
В значении ϰ (68) становится заметным вклад ϰл . Таким образом, где-то на глубинах 100–200 км расположенминимум коэффициента теплопроводности; другими словами, здесь находитсятеплозапирающий слой, препятствующий выходу тепла земных недр наружу.Мы здесь отвлекаемся от конвективного переноса тепла в этой зоне. Однаконизкие значения ϰ в наружной зоне Земли в любом случае затрудняют выносвнутреннего тепла Земли наружу. По тем же причинам у Луны, Венеры, Марсаи Меркурия примерно на тех же глубинах также должен располагаться аналогичный теплозапирающий слой.
Значение ϰ в нижней мантии по крайней мерена порядок больше, чем в верхней.Вопрос о теплопроводности земного ядра не требует специального рассмотрения. Дело в том, что в металлах коэффициент теплопроводности ϰ связанс коэффициентом электропроводности σ законом Видемана – Франца( )ϰ π2 k 2=T = LT,(73)σ3 eгде σ ∗ =где k — постоянная Больцмана, e — заряд электрона, L = 5.86 ⋅ 10−9 кал ⋅ Ом/(с ⋅град2 ). Значение σ ∼ 3 ⋅ 103 Ом−1 ⋅ см−1 (см. §4.3) и величина T ∼ 5 ⋅ 103 Kпозволяют с помощью формулы (73) оценить коэффициент теплопроводностиземного ядра:ϰ ∼ 5.86 ⋅ 10−9 ⋅ 3 ⋅ 103 ⋅ 5 ⋅ 103 ∼ 0.1 кал/(см ⋅ с ⋅ град).(74)Важным параметром физической модели Земли является вязкость. Значениеэтого сложного и еще плохо определенного параметра для физики планетныхнедр столь велико, что этот вопрос выделен в отдельный параграф.1587.6.Реологическая модель коры и мантииВ этой книге мы ограничили себя в основном рассмотрением вопросов, связанных со строением Земли и планет.
Однако при переходе к более фундаментальным проблемам эволюции планет и течений в их недрах перед нами встаетпроблема выбора физических параметров, определяющих законы таких течений. В обобщенном смысле эти параметры можно назвать «вязкостью» земныхнедр. Часто говорят о значениях «эффективной вязкости» земных недр. Однако дать четкое определение вязкости земных недр все еще трудно. Проще датьопределение вязкости жидких ядер Земли, Венеры и Меркурия или вязкостижидких планет-гигантов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
