Т.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями (1118152), страница 29
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,UoKa3aTh, qro cj:iyHKUH5! w = ztrl fJ KOHcpopMHO orn6pa)f(a< arg z < ~< 27C Ha BepXHIOIO ITOJIYITJIOCKOCTb.13.74. Orn6pa3HTh KOHcj:iopMHO Ha sepxHIOIO rronyITJIOCKOCTb { w:Im w > 0} cne.uy10mtte KpyroBbie "nyHoqK11":1) {z: izl < 1, jz-il < l};2) {z: izl < 1, jz-il > 1};4) {z: izl > 1, jz-ij > l};3) {z: izl > 1, jz-il < l};eT ceKTOp 0.J2.J2 }·5) {z: lzl > 2, jz I<13.75. Orn6pa3HTb KOHcpopMHO Ha sepxHIOIO rronyrrnocKOCTh{iv: Im iv> 0 }cne.uy10ru11e 06nacr11:I'J1aea 13188l)C\[-1, 1];2)C\[zi,z2];3)C\{(-oo,-R]LJ[R, +oo)};4) rrJTOCKOCTh c pa3pe30M no ,n:yre OKPY:>KHOCTH, coe,n:HH5!fOW.eiiTOqKH - 1, l H rrpOX0,[(5!W.eH qepe3 ToqKy ih, 0 < lz < l;5) o6JTaCTh { z: Im z > 0} \ [O, ilz], h > 0.13.76.
Orn6pa3HTh KottcpopMHO Ha sepxHIDID nonynnocKOCThCJie,n:yIOW.He o6JiaCTH:1) BHyTpeHHOCTb e,UHHHqHoro Kpyra c I.J,eHTpOM B Haqane KOOp.UHHaT, Jle:>Kamy10 B BepxHeH nonynJJOCKOCTH;2) BHeWHOCTb 0Tpe3Ka [O, 1];3) BHeWHOCTb o6ne,UHHeHH5! nyqeii: (- oo, - 1], [1, + oo);4) BHewHOCTh qacTH e.nHHHqHoii OKPY:>KHOCTH, KOTopa5! He ne)!{HT B HH:>KHeH nonyrrJIOCKOCTH;5) qacTh rrnocKOCTH C, JJe)!(ameH: Ha.a 061,e.u1rneHMeM cne.uy10W.HX KpHBbIX: rronynp5!Mh!X (- oo, - 1], [1, + oo) H qacrn e,UHHH4HOHOKpy:>KHOCTH c I.J,eI-ITpOM B HaqaJJe KOOp.UHHaT, JJe:>KameH: B HH)!{HeHOOJTYOJTOCKOCTH;6) BHyTpeHHOCTh o6nacrn, orpaHHqeHHOH 0Tpe3KOM (0, 1] HqacThIO 0Kpy:>K11ocTH, nepeceKa10meH: .ueiicTBHTeJibHYIO ocb B ToqKax0 H 1; OKPY)l<HOCTb JTe)l<HT B sepxHett nonynnocKOCTH H B Toqr<e 1cocTaBJI5!eT yron 311: I 4 c .uei1cTBHTeJJb11oi1 ocbfO.13.77. ,z:i:JT5! BC5!KOro HaTypanhHoro n E N Hattrn npoo6pa3 sepx-=11ei1 nonynnocKOCTH npH orn6pa)l(eHHH w(1 + z/n)" .
Hai1TH rrpe.neJihHhIH npoo6pa3 Bepx11ei1 rronynnocKOCTM npH Tl-*+ oo.13.78. ,UoKa3aTb, qrn cpyHKI.J,115! w = e' KottcpopMHO orn6pa)!{aeT:1) 0 < Im z < 11: Ha sepxtt1010 nonynnocKOCTh;2) 0 < Im z < 11:, Re z > 0 Ha o6nacTh, JJe)!(all.lyIO BhIWe KpttBoi1:,KOTOpa5! eCTh 061,e.uirnemre (- 00, - l], (1, +co); 11 43CTH OKpy)l(HOCTHlivl = 1, Im iv 2: O;3) 0 <Im z < 11:, Re z < 0 Ha BHyrpeHHOCTb e.n11HH4HOro nonyKpyra c ue1-ITpOM B Ha4aJie KOOp.UHHaT, JJe)l(aw.ero B Bepxttei1 nonynnocKOCTH;4) 0 < Im z < 2n Ha KOMnJieKcHy10 nnocKOCTb c pa3pe30M noHeOTj)HUaTeJihHOH qacTH BemecrneHHOH OCH.13.79. Hai1T11 o6pa3bI rrp11 oTo6pa:>KeHHH w = e ', z = .r + iy:1) rrp5!l\1oyroJTbHOil ceTKH x = c, y = c, c E R;189KOH<DOPMHbIE OT05PA)J(EHl1512) rrp.ll:MbIX yrro= kx + b,k, b E R;3) flOJIOCbI a< y < ~, 0:::: a< ~ < 2n;4) flOJIOCbI Me)!{.uy rrp.ll:MhIMH y =X, y =x + 2n;5) flOJIYITOJIOChl x < 0, 0 < y < a :S 2n;6) flOJIYITOJIOCbI x > 0, 0 < y < a :S 2n;7) rrp.ll:MOyrOJibHHKa a< x < ~' y < y < o, o - y :S 2n, a, ~' y, o E R.13.80.
Hai1TH o6pa3bI rrp11 orn6pa)!{eHHH w = In z:1) fl01I51pHoi1 ceTKH izl =R, arg z =e;2) 11orapmpM11L1ecKoi1 crr11paJI11 r =Ai<P, A > O;3) yrna 0 < arg z < a :S 2n;4) ceKTopa jzj < 1, 0 < arg z <a :'S 2n;5) KOJihUa {z: r1 < jzj < r2} c pa3pe3oM no orpe3KY [ri, r2].13.81. ,L(OKa3aTb, qTO B KOMITJieKCHOH ITJIOCKOCTH c c pa3pe30MHeoTpHUaTeJihHOH qacTH .uettCTBHTeJihHOH oc11 ~YHKUH.ll: Ln zpacrra.uaeTC.ll: Ha CL!eTHOe L!HCJIO peryn.ll:pHbIX BeTBeHwk= (Ln z)k = In lzl + i arg z + 2n ki, k E Z, 0 < arg z < 2n,KOTOpbie KOH~OpMHO orn6pa'/KaIOT :ny o6JiaCTh Ha rronocy2nk <Im z <(2k + l)n.13.82.
,L(oKa3aTh,'1TO~YHKJJ;H.ll: )J(yKoBcKoro w= T 1(z+1z- )KOH~OpMHO orn6pa'/KaeT:1)BHYTpeHHOCTh (sHernHoCTh) e,n:11H11qHoro Kpyra Ha BHew-HOCTb 0Tpe3Ka2)(-1, 1];sepXHIOIO (mDKHIOIO) rronyrrJIOCKOCTb Ha fIJIOCKOCTb c pa3pe-(-co, - 1] 11 (1, + co);{Im z < 0, izl < 1} Ha BepXHIOIO{Im z > 0, izl > 1} Ha sepXHIOIO30M rro rroJiyrrp.ll:MhIM3)4)0611aCTb5)6)rroJiyKpyro6JiaCTh0611aCThIlOJIYITJIOCKOCTh;rronyrrJIOCKOCTb;lzl < 1, Im z > 0 Ha HH)!{HIOIO rronyrrnocKocTb;izl > p > 1 Ha BHellIHOCTb 3JIJIHrrca.J(z-•~:: +(i_,::+~-•J =I;7) Kpyr lzl < p < 1 Ha BHeillHOCTh 3JIJIHITCa, 3a.UaHHOro Brr. 6);8) ceKTOp a < arg z < n - a , 0 < a < n/2 tta BHernHOCTh rnrrep6oJibI (Re ivI cos af- (Im w I sin a/= l;Diaea 131909) ceKrnp 0 < arg z < a, 0 < a < rr/2, Ha BHyTpeHHOCTb npasoi1:22I cos a) - (Im w I sin a)1 c pa3pe30M no=sernH rnnep6011b1 (Re wJI)"IY[l,10)(Rew+oo);ceKTop 0 < arg z < a, lzl > 1, 0 < a < n/2, Ha o6nacTh22I cos a) - (Im w I sin a) = 1, Rew> 0, Im w > 0.13.83.
,l.loKa3aTb,'ITO perymrpHhie BeTBH cpyttKUHHw=z + .J z 2 -1'o6paTHOH K cpyHKUHH )KyKOBCKOro, KOHcpOpMHO orn6pa)!(aIOT:1)nJIOCKOCThc c pa3pe30M no 0Tpe3KY [-1, 1] COOTBeTCTBeHHOHa BHyTpeHHOCTb H BHeIIIHOCTb e,UHHHqHoro Kpyra c ueHTPOM B Haqane KOOp,UHHaT;2)IIJIOCKOCTbc c pa3pe3aMHno(-oo, -1] H [1, +oo) COOTBeTCT-BeHHO Ha sepXHIOIO H HH)!(HJOIO IIOJIYIIJIOCKOCTh;3) sepXHIOIO IIOJIYIIJIOCKOCTb Ha BepXHIOIO IIOJIYIIJIOCKOCTb 6e3e,UHHHqHoro Kpyra c ueHTpOM B Haqane KOop.uirnaT;4) sepxHIOJO rro11yrr11ocKOCTb Ha BHYTpeHHOCTb e,UHHHqHoroKpyra, Jie)!(aIII,yIO B HH)l(HeH rro11yrr110CKOCTH.13.84. 0To6pa311Tb KOHcpopMHO{w: Im w > 0} cJie.uy10nl11e o6JiaCTH:HaBepXHIOIOnonynJIOCKOCTb1) {z: lzl < 1 }\[112, l];2) {z: lzl< l}\{[-1,0]U[a, 1]},0<a< l;3) {z: lzJ > 1 }\{[-a, -1] U [l,+oo)},a> l;4) {z: Im z > 0, lzl < 1}\[0, ai], 0 < a < 1;5) {z: Im z> 0, lzl < 1 }\[ai, i], 0 <a< 1.13.85.Orn6pa3HTh KOHcpOpMHO BHyTpeHHOCTb e,UHHHqHoro Kpyra{z: lzl < 1 }\[(l -h)e;a, eia], 0 < h < 1, 0 :Sa< 2rr,Ha BHyTpeHHOCTb e,UHHHqHoro Kpyra { w:13.86.
HaH:rnlwl < 1 }.o6pa3 npH oro6pa)!(eHHH, ocywecrnmieMOM cpyHK-UHeH: )KyKOBCKOro:a,-1[1) OKpy)!(HOCTH, npOXO.UHllieH '-!epe3 TO'-IKH + 1 H -1 rro.u yrnoM<a< rr, K .ueHCTBHTeJibHOH OCH B TO'-!Ke 1; Ky.ua OT06pa)!(aeTCHBHeIIIttocn TaKOH oKpy)!(HOCTH?2)OKPY)KHOCTH, npoxo.uHrneH: '-!epe3 TO'-IKY z.ueH:crnHTeJibHOH ocH, -rr< a < rr,=lno.u yrnoM a KH co.uep:»<aIUeH: BHYTPH TO'-IKY -1;Kyna orn6pa)KaeTCH BHeIIIHOCTb TaKOH OKpy)!(HOCTH?KOHctJOPMHblE OTOEP A)]{EHI15119113.87. ,[(oKa3aTh, 'ITO c11e.uy10mHe cpyHKU:HH ocymecTBJJ.slfOT KOHcpopMHOe orn6pa:>Kemre yKa3aHHhIX 0611acTeif:1) w = ch z, 0 < Im z < n:, Re z > 0, Ha sepxH!OfO rronyrrnocKocTh;2) w = cos z, -n: < Re z < 0, Im z > 0, Ha sepxHIOIO rro11yrr11ocKocTh;3) w = sin z, jRe zj < n:/2, Im z > 0, Ha sepxHIOIO rronyrrnocKOCTh;4) w = tg Z, !Re zl < n:/4, Ha BHYTpeHHOCTh e,L{HHH'IHOfO Kpyra.13.88.
HattTH o6pa3hI rrp11 orn6pa:>KeH1111 w =cos z, z = x + iy:1) rrp.siMoyronhHOH ceTKH x = c, y = c, c E R;2) rro11yrro11och1 0 < x < n:, y < 0;3) rro11yrronocb1 0 < x < n/2, y > 0;4) rro11yrro11ocb1 - n:/2 < x < n/2, y > O;5) ITOJ10Chl 0 <X< n;6) rrp.siMoyronhHHKa 0 < x < n, - h < y < h, h > 0.13.89. HaM:T11 o6pa3hI rrp11 OT06pa:>Kemm w = tg z, z = x + iy:1) rrp.siMoyronhHOH ceTKH x = c, y = c, c ER;2) rro11yrro11ocb1 0 < x < n, y > O;3) ITOJ10Chl 0 < X < n;4) ITOJlOChI 0 < X < n:/4;5) IIOJlOChI - n:/4 < X < n/4.13.90.
HattTH o6pa3hI rrp11 orn6pa)!{emm w = ch z, z = x + iy:1) rrp.siMoyronhHOH ceTKH x = c, y = c, c E R;2) ITOJlOChI 0 < y < n:;3) rronyrro11och1 x > 0, 0 < y < n.13.91. HaifTH o6pa3hI rrp11 orn6pa)!{eHHH w = cth z, z = x + iy:1) ITOJ10Chl 0 < y < n:;2) rro11yrro11ocb1 0 < y < n:, x > 0.13.92. HattTH o6pa3hI rrpH orn6pa:>KeH1111 w = arcsin z, z = x + iy:1) sepxHeH: rro11yrr11ocKocTH;2) C \ {(- oo, - 1) U [1, +oo)};3) x > 0, y > O;4) {z: Rez<O} \(-oo,-1].192T!laBa 1313.93.
Orn6pa3HTh KompopMHO cJie.uy10mHe o6JiacTH Ha BepxHIOIO r10Jiyrn10cKOCTh { w: Im w > 0}:1) nJIOCKOCTb- oo < a < b < + oo;c c pa3pe3aMHno JiyqaM (- oo, a], [b, + oo),2) noJiynJIOCKOCTh { z: Im z > 0} c pa3pe3oM no .uyre lzl = 1,0 :S arg z :S a, 0 < a < n:;3) rroIIocy { z: 0 < Im z < n:} c pa3pe30M rro oTpe3KY [O, ia],0 <a< n:;4) rroJiocy {z: -n: <Im z < n:} c pa3pe30M rro nyqy [a, +oo), a ER;5) rroJiyrroJiocy { z: 0 < Im z < n:, Re z > 0} c pa3pe3oM rro OTpe3KY [i n:/2, a+ i n:/2], a> O;6) BHelllHOCTb Kpyra c u;eHTPOM B rnqKe 1 H c pa.u11ycoM, paBHbIM e.u11H11u;e, Jie)KamYJO B rrpaBoH rronyrmocKOCTH { z: lz - 1I> 1, Re z >0}, c pa3pe30M ITO 0Tpe3KY [2, 3];7) o6JiaCTh { z: lz - 1I> 1, lz - 21 < 2, Im z < 0};8) IIJIOCKOCTh Cc pa3pe30M rro OTPe3KY [a, b], ---oo< a< b < +oo;9) BHyrpeHHOCTb e,[(HHHLJHOrO Kpyra { z: lzl < 1} c prope30M no OTpe3KY [-1, a], -1<a<0;10) BHelllHOCTb e.uHHHqHOro Kpyra { z: lzl > 1} c pa3pe3aMH rroOTpe3KaM [a, -1], [l, b], ---oo <a <-1, 1 < b < oo;11) BHyTpeHHOCTh e.UHHHqHoro Kpyra { z: lzl < 1} c pa3pe30M rroOTPe3KY [0, l].13.94.
0To6pa3HTb KOHcpOpMHO Ha BepXHIOIO ITOJJYIIJJOCKOCTb{ w: Im w > 0} rrnocKOCTh C c pa3pe30M rro Jiyqy [-4, +oo) 11 OTPe3KY[-3i, 3i].13.94.1. Orn6pa3HTh KOHcpopMHO o6nacTh, KOTopy10 qacTOHa3bIBaIOT "BtternHOCTb KpeCTa": C\{y = 0, x E [-1, l]; y E [-1, 1],x = 0} Ha BepxHIOIO rroJiyITJIOCKOCTh Im w > 0.13.95. 0To6pa3HTb KOHcpopMHO Ha BepXHIOIO noJiyrrJIOCKOCTb{ w: Im 1v > 0} BHYTPeHHOCTb rrpaBoH Bern11 rnnep6oJibI { z: z =x + i y,222x > 0, (x cos a -/sin a) > 1 }.13.96. 0To6pa3HTb KOHcpopMHO Ha BHelllHOCTb e.u11m1qHoroKpyra { w: lwl > 1} IIJ10CKOCTb c c pa3pe3aMH ITO OTpe3KaM[O, e2krriIn], k=O, l, ... ,n- l.13.97. Orn6pa3HTh KOHcpopMHO Ha BepxHIOIO rroJiyrrJIOCKOCTh{ w: Im 1v > 0} cJie.ny10m11e 06JiacT11:193KOH<I>OPMHhlE OTOEP AJKEH!1511) BHyTpeHHOCTh 3Jimmca;2) BHyrpeHHOCTb napa60JihI;3) BHyrpeHHOCTb rrpaBOH BeTBH paBHOCTOpOHHeH rHnep60Jihl22{z: (Re z) -(Im z) = 1, Re z > O}.13.98 .
.IJ:oKa3aTb,'ITOcc\{Zo}HHeJih351 KOHcpOpMHO OT06pa-3HTb Ha BHyTpeHHOCTb e,UHHH'iHOro Kpyra.13.99.ITycTh rpattHUhI O.UHOCB513HhIX o6nacrei1:DHGcocro-5IT 6011ee qeM H3 O,UHOH TO'iKH . .D:oKa3aTb, 'ITO cymeCTByer O,UHaw = f(z), KOTOpa51 KOHcpOpMHO OT06paw0 = f(z 0), argf'(z 0) =a, r.ue z 0 ED, WoEG,H TOJlhKO 0,UHa cpyHKUH51)KaerDHaG raK,'ITOa E R 3a,n:aHhI.13.100. ITycThrpami:uo1 o,n:HOCB513HhIX o6nacTettD H G cocTo-5IT 6onee 'ieM H3 O,UHOH TO'iKH .
.D:oKa3aTb, 'ITO cyruecTByeT O,UHaH TOJlhKO 0,UHa cpyHKUH51)KaeT D Ha G raK, 'ITOw=f(z),KOTOpa51 KOHcpOpMHO OT06pa-f(z 0 ) = w0 , f(z 1) =Wi. r.ue z 0E D, wo E G,z1 E aD, w1 E aG.13.101. IIycThrpaHHUhI O.UHOCB513HhIX o6nacTett D H G cocTo-.llT 6onee qeM H3 O,UHOH TO'iKH . .IJ:oKa3aTb, 'ITO cyrueCTByeT O,UHaH TOJibKO O,UHa cpyHKUH51)KaeTw=f(z),KOTOpa51 KOHcpOpMHO OT06pa-D Ha G TaK, 'ITO./(zk) =Wk. k = 1, 2, 3,r,n:e Zi, Z2, Z3 - pa3JIH'iHble TO'iKH rpaHHUhIJIH'iHbie TO'iKH rpaHHUbIa Wi, W2, W3 - pa3-BG, 3aHyMeposaHHoie B nop.ll,n:Ke noJIO)KH-TenhHOH optteHTaUHH rpaHHU13.102 . .D:oKa3aTbOD,BD H BG.cpopMyny KpHCTOcpcpem-lllBapua (CM.
BBe,Ue-HHe K rnase).13.103. ITycTbcpyHKUH51w=./(z)KOHcpopMHO oro6pa)KaeT sepx-Im z > 0} Ha orpaHH'ieHHbIH MHoroyroJihHHK M, Jie)KaIUHH B w-rrnocKOCTH C TaK, 'ITO ak =f. oo, k = 1, ... , n - 1,HIOIO nonyn11ocKOCTh { z:a 11 = oo . .D:oKa3aTh, 'ITOf(z) =cf_' ci;-a,)°'- 1... (i;-ak-l)ak-l-l di;+ c,--0(cM. sse.uettHe K rnase).13.104 . .IJ:oKa3aTh,'ITO cpyHKUH51194Diaea 13w(z) =1B(a" a 2 )fo: f''-1 (l-;r-1 d;,r)le B(a,, a2) - 6ern-cpyHKUH5l, KOHcpopMHO oro6pa)f(aeT BepXH!OIOnonyrnrncKocTb { z: Im z > 0} Ha BHyTpeHHOCTh TpeyronhHHKa Bw-nnocKOCTH Cc sepunrnaMH A1 = 0, A 2 = 1, Im A 3 > 0 11 yrnaMHna2, na3, a1 + a2 + a3 =1.13.105.
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