Главная » Просмотр файлов » Т.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями

Т.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями (1118152), страница 30

Файл №1118152 Т.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями (Т.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями) 30 страницаТ.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями (1118152) страница 302019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

0To6pa311Tb KOHcpopMHO sepxHIOIO nonynJIOCKOCTb{z: Im z > O} Ha np5lMoyronhHHK c sepurnHaM11 A 1 = 1, A2 = 1 + iH,A 3 =-1 +iH,A4=-l.13.106. 0To6pa3HTb KOHcpopMHO Ha BHyTpeHHOCTh e)lHHli!qHQro Kpyra { w: JwJ < 1}:1rar.1) BHyTpeHHOCTh MHoroyroJibHli!Ka;2) BHellIHOCTb MHOroyroJibHli!Ka;3) mryrpeHHOCTb BbinYKJIOro npaBHJibHOro MHoroyrOJibHHKa;4) 3Be3)l006pa3HbIH )leC5lTHyroJibHHK;5) BHellIHOCTb KBa)lparn;6) BHyTpeHHOCTh napa60Jihl.13.107. HafiT11 KottcpopMHhIH 06pa3 Bepxttefi rronyrn10cKocT11{ z: Im z > 0}, ocyrn:ecrnn5leMhIH oT06pa:lKett11eMr:d;w = Jo (1- ;2 )213 ·13.108.

Hai1:m KOHcpopMHhIH o6pa3 BHyTpeHHOCTH e)lHHJ1qHoroz: Jzl < 1}, ocyrn:ecrnn5leMbIH oro6pa)f(em1eMKpyra {r:d;w =Jo (1- ;4 )112 .I'llaBa 14rAPMOHHqECKHE <l>YHKQHHu(x, y) .UBYX2apAw11u1.JecKoii B.[{eikTBl1TeJibHa.SI cpyHKUl1.SlMeHHhIXx11yHa3&rnaeTc.sr,UeHCTBl1TeJibHhIX nepeo6nacrnD,ecmru(x, y)B 3TOH o6Jiacm .llBa:>KJlhI )l11cpcpepeHu11pyeMa 11 Y.llOBnernop.sreT ypasttemuo JianJiaca.[{sa:>K.UhI )J.11cpcpepeHu11pyeMa.sr B o6JiacmKU11.SIv(x, y)Ha3bIBaeTC.SlCKOH cpyHKU11eHu(x, y),D)lei1crn11TeJihHa.sr cpytt-2apMOHU1.JeCKU conpfl:JICeHHOUc rapMOHl1':!e-eCJil1 B 3TOH o6Jiacm cnpase,UJI11Bhl COOTHO-UieHl1.SlUx<l>yHKUH.SIo6JiacmDv(x, y)(x0, y0)Uy=- Vx.TaK)Ke 51BJUieTC51 rapMOHH':!eCKOH B O)lHOCB513HOH11 MO)f(eT 6h1rh ttai1)letta no cpopMyJiev(x,y)r)J.e= V_n=t:·:',J)-uydx+u_,.dy) + C,- npo113BOJihHM cp11Kc11posaHHa.sr TO':!Ka 06JiacT11TerpaJI He 3as11c11T OT nyni:, coe)l11H.sr101uero TO':!Kl111 ueJI11KOM Jie)f(amero B 06Jiacn1(x 0 , y 0)D,a 11H-11(x, y)D.EcJI11 )lettcTBHTeJihHhie cpyttKU1111u(x, y) 11 v(x, y) .SIBJIHIOTC.SI rapD, ro cpyttKU11.SI f(z) = u(x, y)MOH11':!ecK11 conp.sr)f(eHHhIMl1 B o6JiaCTl1+ i v(x, y),z= x + iy,aHaJil1TH':!Ha B o6JiacmD.c .upyroi1 CTOpOHhl,f(z) = u + iv .SIBJI.SieTc.sr attaJI11T11':!ecKoi1 B 06JiacT11 D,u(x, y) 11 v(x, y) .SIBJI.SIIOTC.Sl rapMOHl1':!eCKl1 conp.SI)f(eHHhl06JiacT11 D.

TaK11M o6pa3oM, JII06a.sr attaJI11T11':!ecKa.sr cpyHKU11.SIecJI11 cpyHKU11.SITO cpyHKUl111Ml1 BMO)f(eT 6hITh BOCCTaHOBJieHa no ee )J.eHCTBl1TeJihHOH (11Jil1 MHl1MOH)':!aCTl1 c TO':!HOCThIO .llO ':!11CTO MHl1MOH (11Jil1 )leHCTBl1TeJibHOH) KOHCTaHThl ..ZJ)rn cpyHKUHH, rapMOH11':!ecKoi1 B 3aMKHYTOM Kpyre pam1ycaueHTpOM B TO':!KeRc(x 0 , y 0 ), cnpase)lJil1Ba cpopMyJia cpe,nttero 3Ha':!ett11.sr1 r1,,.2n °.du(x0 ,y0 ) = - 1, u(x0 +Rcosq:i,y0 +Rsmq:i) q:i,I'Jiaea 14196T. e. 3Ha'Iemie rapMOHH'IeCKOH cpyHKUHH B TO'IKe orrpe.uem1eTCH ee3H34eHHHMH Ha OKpy)l(HOCTH c ueHTpOM B 3TOH TO'IKe.EcJm OTJIH'IHaH OT rrocTOHHHOH cpyHKUHH u(x, y) HBJrneTcH rapMo-D 11 HerrpepbIBHOH B D , TOD cpyHKUH5! u(x, y)He MO)l(eT .llOCTMraTb CBOero MaK-HH'IeCKOH s orpaHH'IeHHOH o6nacTHBHYTPH o6nacrnCHM3JihHOfO H MHHHMaJihHOfO 3H34eHHH (rrpHHUHIT MaKCHMyMa rapMOHH'IeCKOH cpyHKUHH).D cpyHKUH5! 6eCKOHe'IHO .umpcpepeH-rapMOHH'IeCKa5! B o6nacrnu11pyeMa s D, rrpH'IeM mo6a5! rrpOH3BO.UH35! rapMOHH'IeCKOH cpyHKu1111 TaK)l(e 5!BJIHeTCH rapMOHH'IeCKOH cPYHKUHeH.fapM0Hw:1ecKa5! B o6nacrn D cpyHKUH5! u(x, y) B OKpecrnocmmo6oi1: TO'IKH (x0 , y 0 ) Eu(x, y)D MO)l(eT 6hITh pa3JIO)l(eHa B CTerreHHOH pH.U=LL a,,,,,(x-x0)11(y- y 0 )"',11=0111=0KOTOpbIH paBHOMeptto H a6comOTHO CXO)lHTC}! BHYTPH Kpyra CXO)lHMOCTH.

PasHoMepHo cxo.uRm11i1:cHPM 113 rapMOHH'IecKHX cPYHKUMH}!BJI}!-ercH rapMOHH'IeCKOH d>YHKUHei1: B o6naCTH CXOLIHMOCTH 3TOro pMa.Crrpase.un11sa meope.Ma Jluyewurn )lJIH rapMOHH'IeCKHX cPYHKUHH:eCJIH cPYHKUH5! u(x, y) 5!BJI5!eTCH rapMOHH'IeCKOH cpyHKUHeH Ha ITJIOC-R 11 orpaHH'IeHa, TO u(x, y) = const.3ai:ta•rn ,II;upuxJie. ITycTh D - orpaHH'IeHHaHKOTOpow y HBJIHeTCH 33MKHYTOH KYCO'IHO-rna)lKOHKOCTH2o6nacTh, rpam1uaKpMBOH )l{op.uaHa.D cocTOHT BTOM, qTo6hr HaHTH cpyHKUHIO u(x, y), rapMott11qecKy10 B D, HerrpepbIBHYlO B D 11 rrp11tt11Ma10rn;y10 Ha y HerrpepbIBHhre 3Ha'IeHH5!cp(x, y), T. e.6.u = 0, (x, y) E D,3a.uaqa ,n:11p11xne .llJI5! orreparnpa Jlarrnaca B 06nacT11uj (x. v)Ey = m(x,y), (x, y) E y.'t'B cnyqae HeorpaHH'IeHHoif 06nacT11 D 3a.uaqa ,n:11p11xne cocTOHTB TOM, 'IT06br HaiiTH cpyHKUHIO, rapMOHH'IeCKYIO B D, orpaHH'IeHHYIO11 rrp11H11Ma10w;y10 3a.uaHHhie HerrpepbIBHhie 3Ha'IeHmr Ha rpaH11ue D.ITycTh D - orpaH11qeHHaH o6nacTh, rpaH11ua KOTopoii y HBJIHeTcH3aMKHyToi1: KycoqHo-rna.uKoii Kp11soii )l{opnatta.

3aoal/a Heil.Mm-taLIJIH orrepaTopa Jlarrnaca B o6naCTH D COCTOHT B TOM, 'IT06hr H3HTI1cPYHKUHIOpyeMy10 Bu(x, y), rapMottw:1ecKy10 s D, tterrpephIBHO .u11cpcpepeHu11D 11 y.uosnernopH10my10 ycnos1110r APMOHl14ECKl1E <t>YHKU1111~:Jr.1)ED = \jf(X, y),aan -rAe -197(x, y)E y,-npoH3BOAHall no ttanpasnemno BHerrrne11 HOpMaJIH Ky.<I>yHKUHSI rp11ua 3a;::i:a11u ,LI;upuxJie. IIyen, D - orpaHHlJeHHaJIo6nacn,, rpami:ua Kornpow llBJilleTCll 3aMKHYTOH KycotJHO-rnanKoii:Kp11soi1: )Kopnatta. <DyttKu11ei1: fp11Ha 3aAatJH .LJ:11p11xne AJill oneparnpa J1annaca tta3brnaeTcll cpyttKUHll1G(z,s) =-log Iz-s I+g(z,s),z,sE D,2nrAe cpyttKUHll g(z,s) yAosnernoplleT ycnos11llM:1) np11 Ka)f(,UOM cp11Kc11posaHHOM ~ E D cpyHKUHll g(z, ~) llBJilleTcllrapMOHHtJecKow B 06nacT11D no nepeMeHHOH z, T.

e.!J., g(z,~)= 0, z E D;2) npH KroKAOM cpHKCHpOBaHHOMno z B DH~ cpyHKUHll g(z, ~) HenpepbIBHa=14.1. IIycn, cpyttKUHllf(z) u +iv aHaJIHTHlJHa s o6nacTH D . .LJ:oKa3aTb, 'ITO cpyttKUHH u(z) 11 v(z) JIBJillIOTCll rapMOHHtJeCKHMH B D.14.2 . .D:oKa3aTb, qTo aHaJIHTHtJecKall B OAHOCBll3HOi1: 06nacT11 Df(z) = u + iv MO)!(eT 6bITb BOCCTaHOBJieHa no ee AeHCTBH-cpyHKUHllTeJibHOH qacTH c TOlJHOCTbIO AO aMHTHBHoi1 lJHCTO MHHMOH nocToHHHOH c no cpopMynef(z) = u(z) +it (-u,dx+ u,dy) + c,rAe z= x + iy, Zo = Xo + iyo -npOH3BOJlbHa5! cpHKCHpOB3HH3ll TOlJKao6nacTH D, a HHTerpan He 3aBHCHT OT nyTH, coeAHHmoiuero TO'IKHz 0 11 z 11 uen11KOM Jie)Kaiuero s D.14.3 . .D:oKa3aTb, lJTO aHaJIHTHlJeCKall B OAHOCBJl3HOHcpyHKUH5! f(z) = ll + iv MO)KeT 6bITb BOCCTaHOBJieHa no eeo6naCTHMHMMOHlJaCTH c TOlJHOCTblO AO aMHTMBHOH AeHCTBHTeJibHOH noCT05!HHOH.Ha/;lrn: cpopMyny, BOCCTaHaBJIHBaIOIUYIO f(z) ITO cpyHKUHHv(z).T!iaea 1419814.4.

,Il.oKa3aTb,qrn rapMOH11:qecKa5! B o6nacrnD cPYHKUH5! 6ec-KOHeqHo .u11:¢¢epem:~11:pyeMa B D.14.S. IlycTb,D.eMCTBHTeJibHhie cPYHKUHHpeHuwpyeMhl B o6nacTHu(x, y) H v(x, y) .u11:¢¢e-D tt BCIO.D.Y B D y.uosnernop5!IOT ycnoBH5!M:fJulfJx = fJvlfJy, 8v/8y = - fJulfJy. ,Il.OK333Th, qTQ cpyHKUHH u H v 5!BJl5!IOTC5! rapMoH11:qecKHMH B D.14.6. ,Il.oKa33Th,qTo KOHeqHa5! JlHHeMH35! KOM6HH3UH5! c !10CT0-5!HHhIMH K03cpcpHUHeHT3MH rapMOHHqecKHX cpyHKUHM 5!BJI5leTC5! TaK)!{e cpyHKUHeM rapMOHHqecKOM.14.6.1.

IIoKa3aTh,qrn rrpoH3Be.uemre rapMOHHqecKHX cpyHKUHMHe o65!33HO 6hITh rapMOHHqeCKOM cpyHKUHeM.14.7. ,Il.OKa3aTb,qTQ eCJIH cPYHKUH5!u(x, y) 5!BJI5!eTC5! rapMOHHqe-au+mCKOM B o6nacTHD, TO r+.yHKUH5!'!'u , m, n = 0,1, ... , TaK)!{e 5!BJI5!ax ay11111eTc5! rapMOHHqecKoi1 B D.14.8.

IlOCTPOHTh cpyttKUHIO, rapMOH:HqeCKH C011p5!)!{eHHYJO c ll3HHOM:22x , ;I)u(x,y)=xy; 2)u(x,y)=x -y +xy; 3) u(x,y)= ,x-+ y4) u(x, y)=_.!:.log(x 2+ /); 5) u(r, <p) = r <p cos <p + r log r6) u(x, y) =2?'x--y-,, , ;(x-+ Y-t7) u(x, y)sin <p;=y cos y ch x + x sin y sh x;=log(x2 + /) - x1 - / ;9) v(x, y) =x cos x ch y + y sin x shy.8) v(x, y)14.9.BoccTaHOBHTh attanwrnqecKyIO cpyttKUHIO fiz) no 3a11aHHO-MY MonynIO 11: apryMeHTy:I= (x2 + y2)e'; 2) argf(z) =xy;3) jf(z) I= e''coslqi (z=re;"' ); 4) argf(z)=<p+rsin<p(z=re;"').1) jf(z)14.10. IlycTh u(x, y)H v(x, y)-corrp5!)!{eHHhie rapMoH11:qecK11ecpyttKUHM . ,Il.oKaJaTh, qro cpyttKUHH U(x, y) H V(x, y) cnenyIOmero s1111a5!BJI5!IOTC5! TaIOKe conp5!)!{eHHhIMH rapMOHHqeCKHMH cpyttKUH5!MH:1)u =au+ bv, v =bu+ av,a H b - KOHCTaHThI;r APMOHVil.JECKI1E <llYHKUI1l12)Hv,,u =au, + bu2, v =av, + bv2,199a H b - KOHCTaHTbl, cPYHKUHH u,U2 H 112 rrorrapHO 5!BJUHOTC5! corrpIDKeHHb!MH rapMOHH'ieCKHMHcPYHKUH5!MH;3)u = e" cos v, v =e" sin v; 4) u = U1U2 -5) U = u2 - v2 V = 2uv·''6) U =V1V2,au+mu(x, y)dx" dyv = U1V2 + U2V1;v = d + v(x, y)11111dx" ay"'111'(11, m - Heorp11uaTeJibHn1e ueJI&Ie q11cJia).14.11.Hai1TH rapMoHH'ieCKHe cPYHKUHH cJie.uy10ruero mma:1) u(x, y)3) u(x, y)5)= cp(x);=cp(x2 + /);2u(x, y) = <p[ x : y2 J;14.12.= cp(ylx);2) u(x, y)4) u(x, y)=cp(x2 -6) u(x, y)= cp(.xy).y2);Hai1TH rapMOHH'ieCKHe cpyHKUHH, coxpaH5!IOIUHe rrocrn-5!HH&1e 3Haqemrn Ha Ka)K,llOH KpHBOH CJie,llyIOIUHX ceMeHCTB KpHBbIX:1) x= e;14.13.2) y =ex;4) x2+ y2 = ey.fiyCTb cpyHKUH5! ./CZ) amUIHTH'iHa B o6JiaCTl1 D:now o6naCTH ftz)argftz), log lf(z)j?14.14.23) x +/=ex;::f.

0.HBCIO.L\Y BbY.llYT JIH rapMOHHqeCKHMH cpyHKUHH Jf(z)j,flycTb u(x, y) - rapMOHHqecKa5! cpyHKUH5!. ,ll.JI5! KaKHX .ueH:-CTBHTeJibHbIXcpyHKUHHf(t)O)lHOfOrrepeMeHHOfOtcpyHKUH5!f(u(x, y)) 6y.ueT rapMOHH'IeCKoi1? Ey.ueT JIM rapMoH11qec1<0H cpyHKUH5! u2(x, y)?14.15. ,ll.oKa3aTb,liTO rrpH HeBblpO)l{,lleHHOM rrpeo6pa30BaHHH ne-peMeHHb!X (x, y) rapMOHHqecKa5! cpyHKUH5! nepeXO.llHT B rapMOHH'ieCKyIO.14.16.3arrHCaTb ypaBHeHHe Jlarrnaca82uf8x2 +8 2uf8y2= 0 B IT0-1I5!pHOH CHCTeMe KOOp.llHHaT 11 Hai1TH ero peweHHe, 3aBHC5!IUee TOJibKO OTr.14.17.

,ll.oKa3aT&cpopMyJiy cpe.uHero 3HalieHH5! )lJI5! rapMOHH'ie-cKoH cpyHKUHH.14.18.flycTb cpyHKUH5! u(z) orrpe;::i:eJieHa s o6JiaCTH D. ,ll.oKa3aTh,liTO ecJIH .llJI5! mo6oH: TO'iKH z0 ED H n106oro Kpyra { z: jz - zol< r} EDcnpase;::i:nwsa cpopMyna cpe;::i:Hero 3HalieHH5! ,llJI5! cpyHKUHH u(z), TOu(z) 5!BJI5!eTc.sI rapMOHH'ieCKO~ cpyHKUHeH: s o6JiaCTH D.I':wea 1420014.19. ,[(oKa3aTb np11mvm MaKCHMyMa rapMOHl1'-IeCKOH cpyHKU1111.14.20. ,[(oKa3aTh e.n11HcTBeHHOCTh peweH115! 3a.naq:11 .[(11p11xne.14.20.1. IlycTh cpyHKU:115! u(x, y) rapMOH11qHa B o6nacrn D 11 paBHa Hymo Ha ee rpaH11u:e. Cne.nyeT JIM OTCIO.D.a, qrn u(x, y)= O?14.20.2. IlycTh cpyHKUl15! u(x, y) rapMOHl1Y:Ha B 3aMKHYTOH o6nacTl1B11 orpaH11qeHa BB,a Ha rpaH11ue 06nacT11 D 06paIUaerc51 BHYJih. Cne.nyeT n11 OTcIO.na, 'ITO u(x, y)=O?14.20.3.

BepHO Jil1 yrBep)K,ll.eHtte: ecn11 cpyHKU1151 u(x, y) rapMoHMY:Ha 11 orpaH11'IeHa B 3aMKHyroH: o6nacrn B , TO iQ.f u ( x, y) .nocDT11raeTc5I Ha rpaH11ue 06nacT11D?14.20.4. IlycTh u(x, y) - rapMoH11l!eCKa5I cpyHKU:1151 B o6nacTM DM cymecrnyeT nocne.noBaTeJihHOcTh TO'IeK {x"' y11 } E D, n E N, KOTopa5! cxo,n:MTC5! K TO'IKe (x0 , Yo) E D M .llJI51 KOTopoi1 u(x0 , y 0 )0.Cne.n:yeT JIM 0Tc10.n;a, 'ITO u(x, y)0 B 06nacT11 D?==14.21.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6455
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее