Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций (1118045), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Следовательно, решение x ( t ) задачи (3), (5) (еслионо существует) в силу Теоремы 3 отклонится от стационарного решения больше чем на ε =x ( t ) − x0 > α ( t ) − x0 >ρρ2:. Это и означает неустойчивость стационарного решения.2Остается проверить, что α (t ) удовлетворяет неравенству для нижнего решения. Имеемdα− V (α ( t ) ) = ρσ pe − pt − V (α ( t ) ) = ρσ pe − pt − V (α ( t ) ) + V ( x0 ) − V ( x0 ) =dt= ρσ pe − pt − ⎡⎣V (α ( t ) ) − V ( x0 ) ⎤⎦ − V ( x0 ) = ρσ pe − pt − ⎡⎣V (α ( t ) ) − V ( x0 ) ⎤⎦(по теореме Лагранжа)()= ρσ pe − pt − Vx x0 + θρ (1 − σ e− pt ) ρ (1 − σ e− pt ) =()= −Vx ( x0 ) ρ (1 − σ e− pt ) + ρσ pe− pt + ⎡Vx ( x0 ) − Vx x0 + θρ (1 − σ e− pt ) ⎤ ρ (1 − σ e− pt ) ,⎣⎦где 0 ≤ θ ≤ 1 .dα− f (α (t )) == −Vx ( x0 ) ρ (1 − σ e − pt ) + ρσ pe − pt + ⎡Vx ( x0 ) − Vx x0 + θρ (1 − σ e − pt ) ⎤ ρ (1 − σ e − pt )⎣⎦dtВыберем ρ столь малым, что(())⎦ρσ pe− pt + ⎡Vx ( x0 ) − Vx x0 + θρ (1 − σ e− pt ) ⎤ ρ (1 − σ e− pt ) < Vx ( x0 ) ρ (1 − σ e− pt ) . Тогда получим, что⎣dα− f (α (t )) < 0 .
Этим завершается доказательство второй части теоремы 5.dtПример.Рассмотрим уравнение (3) в случае, когда V ( x ) = x ( x 2 − 1)и исследуемустойчивость его стационарных точек. Получаем три стационарные точки: x = ±1 и x = 0 .Производная равна Vx ( x ) = 3x 2 − 1 . В стационарных точках Vx (±1) = 2 > 0 , Vx ( 0 ) = −1 < 0 .Следовательно, стационарные точкиасимптотически устойчивая.x = ±1 – неустойчивые, а стационарная точка x = 0 –Лекция 11§ 6.Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений спостоянными действительными коэффициентами.Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постояннымидействительными коэффициентами⎧ dx⎪⎪ dt = a11 x + a12 y(1)⎨dy⎪ =a x+a y2122⎪⎩ dtТочка покоя этой системы – начало координат x = y = 0 .
Характеристическое уравнениеимеет вид:a11 − λa21a12=0a22 − λ⇔λ 2 − ( a11 + a22 ) λ + ( a11a22 − a12 a21 ) ≡ λ 2 − λ Tr A + det A = 0При решении последнего уравнения возможны следующие варианты.1)Вещественные различные ненулевые собственные значения. В этом случае в некоторойсистеме координат общее решение системы (1) имеет видx = C1eλ1t ,⎛ x ⎞y = C2 eλ2t , где t = ln ⎜ ⎟λ1 ⎝ C1 ⎠1λ2⇒⎛ x ⎞ λ1y = C2 ⎜ ⎟ .⎝ C1 ⎠λ2 ⎛⎜ > 0,⎛ x ⎞ λ1 ⎜⎝а)Пусть λ1 < λ2 < 0 , тогда x = C1eλ1t → 0, y = C2 eλ2t → 0, y = C2 ⎜ ⎟t →+∞t →+∞⎝ C1 ⎠Точка покоя x = y = 0 – устойчивый узел – асимптотически устойчива.б)Пусть0 < λ1 < λ2 , тогда x = C1eλ1t → ∞,t →+∞y = C2eλ2t → ∞,t →+∞⎛ x ⎞y = C2 ⎜ ⎟⎝ C1 ⎠λ2 ⎞<1⎟λ1 ⎟⎠⎞λ2 ⎛λ⎜ > 0, 2 >1⎟⎟λ1 ⎜⎝λ1 ⎠Точка покоя x = y = 0 – неустойчивый узел – неустойчива.λ2в)Пусть λ1 < 0 < λ2 , тогда x = C1eλ1t→ 0,t →+∞y = C2 eλ2t→ ∞,t →+∞⎛ x ⎞ λ1y = C2 ⎜ ⎟⎝ C1 ⎠( <0).Точка покоя x = y = 0 – седло – неустойчива.Траектории решений системы (1) вблизи точек покоя представлены на рисунке...устойчивый узелнеустойчивый узелседлоКомплексно – сопряженные собственные значения λ1 = α + iβ , λ2 = α − i β .
Тогда в2)некоторой системе координат общее решение рассматриваемой системы (1)x2 y 2x = C1eα t cos β t , y = C2 eα t sin β t ⇒+ 2 = e 2α t .2C1 C2а)Пусть α < 0 , тогда точка покоя x = y = 0 – устойчивый фокус – асимптотическиустойчива.б)Пусть α > 0 , тогда точка покоя x = y = 0 – неустойчивый фокус – неустойчива.в)Пусть α = 0 , тогда точка покоя x = y = 0 – центр – устойчива, но не асимптотически.Траектории решений системы (1) вблизи точек покоя представлены на рисунке.устойчивый фокуснеустойчивый фокусλ1 = λ2 = λ .
Тогда общее решениеПростые кратные собственные значения3)рассматриваемой системы (1) имеет видx = C1eλt ,y = C2 e λ tцентр⇒C2x.C1– устойчивый дикритический узел –y=а)Пусть λ < 0 , тогда точка покоя x = y = 0асимптотически устойчива.б)Пусть λ > 0 , тогда точка покоя x = y = 0 – неустойчивы дикритический узел –неустойчива.Непростые кратные собственные значения4)системы (1) выглядит так:x = C1eλt ,а)Пустьy = ( C2 + C1t ) eλt ,гдеλ < 0 , тогда точка покояλ1 = λ2 = λ . В этом случае общее решение⎛⎛ x ⎞C ⎛ x ⎞⎞ x⇒ln ⎜ ⎟y = ⎜⎜ C2 + 1 ln ⎜ ⎟ ⎟⎟λ ⎝ C1 ⎠λ ⎝ C1 ⎠ ⎠ C1⎝x = y = 0 – устойчивый вырожденный узел –t=1асимптотически устойчива.б)Пусть λ > 0 , тогда точка покоянеустойчива.x = y = 0 – неустойчивый вырожденный узел–Траектории решений системы (1) вблизи точек покоя представлены на рисунке.дикритический узелвырожденный узелнулевое с.з.5)Пусть имеется нулевое собственное значение λ1 ≠ 0,имеет видx = C1eλ1t , y = C2 .§ 7.λ2 = 0 .
Тогда решение (1)Консервативная механическая система с одной степенью свободы.Консервативная механическая система с одной степенью свободы (без трения)описывается уравнением второго порядка••Гдеx = f ( x) ,f ( x ) - функция класса C (a, b) . Тогда функция(1)1xU ( x ) = − ∫ f (ξ )d ξ ,c ∈ ( a, b )(2)cназывается потенциальной энергией механической системы.Уравнение второго порядка (1) эквивалентно системе уравнений•x= p•p = f ( x ) = −U ′ ( x ).(3)Непрерывность производной f ′( x ) обеспечивает, в силу соответствующих теорем,существование и единственность решения задачи Коши для системы уравнений (3).Положению равновесия x = x0 уравнения (1) соответствует точке покоя x = x0 , p = 0 системыуравнений (3). Положение равновесия x = x0 уравнения (1) является также стационарной точкойпотенциальной энергии U ( x) .
В самом деле, если x = x0 — положение равновесия, тоf ( x0 ) = 0 и, в силу (2), U ′( x0 ) ≡ − f ( x0 ) = 0 .В случае, когда x0 является точкой строгого экстремума потенциальной энергии U ( x) ,имеет место следующая теорема.Теорема.Пусть f ( x ) - функция класса C 2 (a, b) . Тогда,1) если x = x0 - точка строгого минимума потенциальной энергии U ( x) , то положениеравновесия x = x0 , p = 0 системы уравнений (3) устойчиво по Ляпунову;2) если x = x0 - точка строгого максимума потенциальной энергии U ( x) иположение равновесия x = x0 , p = 0 системы уравнений (3) неустойчиво.Доказательство.Без ограничения общности можно считать x0 = 0 , так какможно добиться заменой переменных y = x − x0 .Пусть x = 0 - точка строгого минимума потенциальной энергии, тогдаокрестности этой точки имеет место U ( x) > U (0) при x ≠ 0 .
Рассмотрим функциюf ′( x0 ) > 0 , тоэтого всегдав некоторойp2V ( x, p ) = U ( x ) − U ( 0 ) +2- полная энергия механической системы. Тогда∂V∂Vp+( −U ′ ( x ) ) = 0 ,∂x∂pследовательно, в силу леммы Ляпунова, положение равновесия x = x0 , p = 0 устойчиво поЛяпунову.Пусть x = 0 - точка строгого максимума потенциальной энергии U ( x) и f ′(0) > 0 ,тогда U ′(0) = 0 , U ′′(0) = − f ′(0) < 0 и11U ′ ( x ) = U ′ ( 0 ) + U ′′ ( 0 ) x + U ′′′ (θ x ) x 2 = U ′′ ( 0 ) x − f ′′ (θ x ) x 2 ,0 < θ < 1.N22=0− f ′′(θ x )F ( x)Система (3) принимает вид••p = −U ′′ ( 0 ) x + F ( x ) ,x = p,(4)1f ′′ (θ x ) x 2 , и при достаточно малых x имеет место оценка F ( x) ≤ Mx 2 .2Линеаризуем систему уравнений (4):где F ( x ) = −••p = −U ′′ ( 0 ) x .x = p,Матрицасистемы1⎞⎛ 0A=⎜⎟ имеет действительные собственные значения′′−U(0)0⎝⎠λ = ± −U ′′(0) , одно из которых положительно.Поэтому, в силу теоремы о неустойчивости,положение равновесия x = 0, p = 0 .Теорема доказана.3амечание.
Как видно из доказательства, первое утверждение теоремы остаетсясправедливым также в случае, когда f ( x ) - функция класса C1 (a, b) . Можно показать, что ивторое утверждение теоремы остается верным при этих же предположениях.§8.Фазовая плоскость для нелинейного автономного уравнения 2-гопорядка.10.Постановка задачи.Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение••x = f ( x)Этоуравнениеэквивалентноследующейнормальнойдифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка:••системе(1)обыкновенныхx = p,p = f ( x ) = −U ′ ( x )Точки покоя этой системы ДУ определяются из системы алгебраических уравнений(2)⎧⎪p = 0⎨ f (x ) = 0 .⎪⎩Пусть уравнениеимеет n корнейf (x ) = 0x =x ,0ii = 1,2,..., n .Тогда точки(x , 0)0i(3)фазовой плоскости ( x , p )являются точками покоя системы (2).
Ниже будем предполагать, что корни уравнения (3)простые, т.е. fx′ ( x i0 ) ≠ 0,i = 1, 2,..., n .На практике бывает нужно не только исследовать устойчивость точек покоя, но и знатьрасположение всего множества траекторий на фазовой плоскости. Напомним, что фазовойтраекторией называется проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. Фазовыетраектории могут быть эффективно использованы для качественного описания поведениярешения. Для уравнения вида (1) это описание будет достаточно простым и полным.
Крометого, оказывается, что расположение фазовых траекторий в малой окрестности точек покояуравнения (1) полностью аналогично расположению фазовых траекторий для линеаризованногоуравнения (1) (линеаризованной системы (2)).20.Система первого приближения.Выберем одну из точек x = xi0 и разложим функцию f ( x ) в ряд Тейлора в окрестностиэтой точки с точностью до членов первого порядкаf (x ) = f ( x i0 ) + fx′ ( x i0 )( x − x i0 ) + ο ( x − x i0 ) .N=0Сохраним в правой части системы (2) только линейные слагаемые и получим•x = p,систему первого приближения.Обозначим x − x i0 = x .•p = f x′ ( xi0 )( x − xi0 )-В новых переменных ( x , p ) исследование точки покоя( x, p ) = ( x , 0 ) сводится к исследованию точки покоя ( x , p ) = ( 0, 0 ) системы0i•x = p,p = fx′ ( x i0 ) ⋅ x .•Исследуем характеристические числа этой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
