Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций (1118045), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В силу следствия из теоремы 8 формула (22), а, следовательно, и(21), дает общее решение НС (1).Покажем теперь, как с помощью представления (21) решить задачу Коши для системы(1). Пусть ищется решение x ( t ) , удовлетворяющее начальному условию x ( t0 ) = x0 . Полагая вформуле (21) t = t0 получим x0 = X ( t0 ) C0 , откудаC0 = X −1 ( t0 ) x0Таким образом, решение задачи Коши для системы (1) задается формулойx (t ) = X (t ) X−1t( t0 ) x0 + X ( t ) ∫ X −1 (τ ) F (τ )dτ ,t0илиx (t ) = X (t ) X−1t( t0 ) x0 + ∫ X ( t ) X −1 (τ ) F (τ )dτ .t0K ( t ,τ ) = X ( t ) X −1 (τ )называетсяматрицейКоши,"импульсной" матрицей или матрицантом. Она однозначно определяется как решениезадачи Коши:dK ( t , t0 ) = A(t ) K ( t , t0 ) , K ( t0 , t0 ) = E .dtЗамечание.
Для построения матрицы Коши надо решить n векторных задач Коши:⎛0⎞⎜ ⎟⎜:⎟•x k = A(t ) xk ,xk (t0 ) = ⎜ 1 ⎟ ← k ,k = 1, 2,..., n .⎜ ⎟⎜:⎟⎜0⎟⎝ ⎠Решение задачи Коши для системы (1) имеет видОпределение 7.Матрицаtx ( t ) = K ( t , t0 ) x0 + ∫ K ( t ,τ ) F (τ )dτ .t0••На практике бывает удобно решить систему (19) X ( t ) C ( t ) = F ( t ) и найти C ( t ) = B ( t ) .Тогда C ( t ) = ∫ B ( t )dt + C0 и общее решение для системы (2) имеет вид:⎛⎞x ( t ) = X ( t ) ⎜ ∫ B ( t )dt + C0 ⎟ ,⎝⎠а решение задачи Коши⎛t⎞x ( t ) = X ( t ) ⎜ ∫ B (τ )dτ + X −1 ( t0 ) x0 ⎟ .⎜t⎟⎝0⎠Теорема 10.ФСР однозначно определяет нормальную форму линейной ОС, т. е.матрицу A(t ) . Иначе говоря, зная фундаментальную матрицу X (t ) системы, можнооднозначно восстановить эту систему уравнений.Доказательство.
Пусть задана фундаментальная матрица X (t ) ОС (2). Тогда из (16)••X ( t ) = A ( t ) X ( t ) => A ( t ) = X −1 ( t ) X ( t ) .Замечание. Общее решение НС (1) однозначно определяет эту систему. В самом деле•A ( t ) = X −1 ( t ) X ( t ) . Далее, выбирая какое-нибудь частное решение x0 ( t ) системы (2), находим•вектор F ( t ) = x0 ( t ) − A ( t ) x0 ( t ) .Рассмотрим теперь вопрос о степени гладкости решения линейной НС (1). Поопределению решение x = x ( t ) является дифференцируемой вектор–функцией переменного tна всем отрезке [ a, b] .
Может ли решение обладать большей гладкостью?Пусть матрица A ( t ) и вектор F ( t ) k раз дифференцируемы на отрезке [ a, b] .Теорема 11.Тогда любое решение x = x ( t ) системы (1) k + 1 раз дифференцируемо.Доказательство.Так как x ( t ) — дифференцируемая вектор-функция, то в правой частисистемы (1) при k ≥ 1 стоит дифференцируемая вектор-функция. Поэтому•••••∃ x = A (t ) x+ A (t ) x+ F (t ) .Если k ≥ 2 то в правой части только что полученного равенства снова стоит дифференцируемая•••вектор-функция, и потому ∃ x ( t ) . Повторяя это рассуждение k раз, получим утверждениетеоремы.Замечание.Если матрица A ( t ) и вектор F ( t ) бесконечно дифференцируемы, т. е.имеют на [ a, b] производные всех порядков, то из доказанной теоремы следует, что и любоерешение системы (1) бесконечно дифференцируемо.20.Метод исключения для системы линейных дифференциальных уравнений.В § 2 было показано, что одно линейное уравнение n–то порядка сводится к линейнойсистеме из n уравнений.
Имеет место и обратное утверждение, т.е. любой линейной системеможно сопоставить линейное уравнение n-го порядка. Этот способ решения системы линейныхдифференциальных уравнений называется методом исключения. Мы не будем обосновыватьтакую возможность в общем виде, а ограничимся лишь рассмотрением примера.Пример.Рассмотрим систему с постоянными коэффициентами⎧•⎪ x1 = a11 x1 + a12 x2 + f1 ( t )⎨•⎪ x2 = a21 x1 + a22 x2 + f 2 ( t )⎩и сведем ее к одному уравнению второго порядка относительно функциипродифференцируем первое уравнение и вместо производныхчасти исходной системы:•••••x1 и•x2x1 (t ) .
Для этогоподставим правые•x1 = a11 x1 + a12 x2 + f 1 = a11 ( a11 x1 + a12 x2 + f1 ) + a12 ( a21 x1 + a22 x2 + f 2 ) ≡ b11 x1 + b12 x2 + q1 ( t ) .Выразим x2 из первого уравнения исходной системы1 ⎛•⎞⎜ x1 − a11 x1 − f1 ⎟a12 ⎝⎠и подставим в правую часть записанного выше соотношения. Получим••b ⎛•⎞x1 = b11 x1 + 12 ⎜ x1 − a11 x1 − f1 ⎟ + q1 ,a12 ⎝⎠илиx2 =•••a12 x1 − b12 x1 + ( a11b12 − a12b11 ) x1 = g1 ( t ) .Записав общее решение этого уравнения, найдем x1 (t ) . Подставив его в выражение дляx2 , найдем общее решение системы { x1 (t ), x2 (t )} .§ 4.
Некоторые приемы, упрощающие решение линейных дифференциальныхуравнений и систем.В этом параграфе мы рассмотрим некоторые частные случаи, когда решениедифференциальных уравнений либо упрощается, либо сводится к квадратурам.10.Рассмотрим линейное однородное уравнение n-го порядкаx (n ) + a1 (t ) x (n −1) + ... + an (t ) x = 0 .Пусть известно частное решение ϕ(t) этого уравнения, отличное от нуля на рассматриваемомотрезке [a, b]. Сделав замену переменных x = y ϕ(t), получим следующее уравнение для y:•ϕ (t ) y (n ) + b1 (t ) y (n −1) + ...
+ bn −1 (t ) y + (ϕ (n ) + a1 (t ) ϕ (n −1) + ... + an (t ) ϕ ) y = 0Последнее слагаемое равно нулю, так как ϕ(t) — решение исходного уравнения. Обозначая•y = z , получим линейное однородное уравнение n-1 –го порядка (ϕ (t ) ≠ 0 )ϕ (t ) z (n −1) + b1 (t ) z (n −2) + ... + bn −1 (t ) z = 0 .20.Рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений•x = A(t ) x + F (t )с диагональной матрицей0 ⎞⎛ a11 ( t ) 0⎜⎟A ( t ) = diag ( a11 ( t ) ,… , ann ( t ) ) = ⎜ 00 ⎟⎜ 00 ann ( t ) ⎟⎠⎝В этом случае система распадается на n линейных уравнений первого порядка•xi = aii ( t ) xi + f i ( t )( i = 1, n )и потому интегрируется в квадратурах.30 .Рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений•x = A(t ) x + F (t )с треугольной матрицей⎛ a11 ( t )⎜⎜ a21 ( t )A ( t ) = ⎜ a31 ( t )⎜⎜…⎜ a (t )⎝ n10a22 ( t )a32 ( t )…an 2 ( t )00a33 ( t )…an 3 ( t )……………0⎞⎟0⎟⎟.0⎟…⎟ann ( t ) ⎟⎠В этом случае интегрирование системы также сводится к квадратурам.
Действительно, первоеуравнение системы•x1 = a11 ( t ) x1 + f1 ( t )— линейное уравнение с одной неизвестной функцией x1, и его решения находятся с помощьюквадратур. Второе уравнение системы, записанное в виде•x2 = a22 ( t ) x2 + ( f 2 ( t ) + a21 ( t ) x1 ( t ) )– также линейное уравнение с одной неизвестной функцией x2. Последовательно решаяполучившиеся линейные уравнения, найдем решение исходной системы.§ 5.Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.В случае системы двух уравнений удобно сводить к одному уравнению 2-го порядка истроить ФСР и общее решение для него, а затем и для системы (см.
пример в §3).10.Однородная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами.Рассмотрим однородную систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами•где A = ( aij ) ,x = Ax( i, j = 1, n ) , aij(1)- числа.Ее общее решение представимо в виде x = e At C , где C - произвольный вектор. Действительно,∞∞•dd ∞ tkt k −1t k −1x = e At C = ∑ Ak C = ∑Ak C = A∑Ak −1C = Ae At C = Ax1!1!dtdt k =0 k !k−k−))k =1 (k =1 (•x = Ax , x ( t0 ) = x0Решение задачи Коши1.имеет видx=eA( t −t0 )x0 .Случай невырожденного спектра собственных значений матрицы A.Теорема 1.
(о построении ФСР и общего решения однородной системы с постояннымикоэффициентами).Пусть: {λ j , j = 1, n} – невырожденный спектр собственных значений матрицы A, {ℑ j, j = 1, n} –соответствующие им собственные векторы матрицы A.λtТогда: ℑ je j , j = 1, n - ФСР системы (1). Общее решение (1) есть линейная комбинация ФСР:{}nx ( t ) = ∑c j ℑ je(λ jt= ℑeΛt C ,j =1)где ℑ = ℑ1 ,… , ℑn – квадратная матрица (n x n), составленная из собственных векторов,{}Λ = diag {λ1 , … , λn } , e Λt = diag e λ1t , … , e λnt , C = ( c1 , … , cn ) – вектор произвольных постоянных.Доказательство.Aℑ = ℑΛ⇒TПо определению собственного вектора и собственного значения имеем.••A = ℑΛℑ−1 . Подставив в (1), получим x = Ax = ℑΛℑ−1 x , или ℑ−1 x = Λℑ−1 x .•y = Λy , где матрица Λ = diag {λ1 ,… , λn }является диагональной. Легко видеть, что ее общее решение имеет видy ( t ) = e Λt C ,Сделав замену y = ℑ−1 x , приведем систему к видугде e Λt = diag {eλ1t ,… , eλnt } , а C = ( c1 , … , cn ) – вектор произвольных постоянных.
Следовательно,Tобщее решение (1) имеет видnx ( t ) = ℑy ( t ) = ℑeΛt C = ∑c j ℑ jeλ jt(2)j =1T⎛⎞Подставляя в (2) Ck = ⎜ 0,…1, 0… 0 ⎟ k = 1, n и используя теорему линейной алгебры оk⎝⎠линейной независимости собственных векторов, соответствующих различным собственнымλtзначениям, получим, что ℑ je j , j = 1, n - ФСР системы (1).{}•Решение задачи Коши x = Ax , x ( t0 ) = x0 имеет видx ( t ) = ℑe2.Λ ( t − t0 )ℑ−1 x0Случай вырожденного спектра собственных значений матрицы A.Теорема 2.Пусть λs , s = 1, 2,..., m – собственные значения матрицы A,кратности (напомним, что k1 + … + km = n ).Тогда общее решение задачи (1) может быть записано в видеks – их⎛ tp p ⎞x ( t ) = ∑∑ ⎜ Bs ⎟ Cs eλst ,(3)s =1 p = 0 ⎝ p !⎠где Bs = A − λs E , а Cs – общее решение уравнения Bsks Cs = 0 (корневой вектор матрицы A).m ks −1Доказательство.k s −1 pk s −1 pm ⎡ k s −1m ⎡ ks − 2 p•⎤⎤t p −1tttx (t ) = ∑ ⎢∑Bsp + ∑ Bsp λs ⎥Cs eλs t = ∑ ⎢ B ∑ Bsp + λs ∑ Bsp ⎥Cs eλs t =s =1 ⎣ p =1 ( p − 1) !p =0 p !s =1 ⎣p =0 p !p =0 p !⎦⎦⎡⎤⎥ks − 2 pks − 2 pks −1k s −1m ⎢tttt= ∑ ⎢ Bs ∑ Bsp + λs ∑ Bsp +Bsks −1λs +Bsks ⎥Cs eλst =⎢−−ppkk!!1!1!( s )( s ) ⎥p =0p =0s =1⎢⎥Bsks Cs = 0⎣⎦ks − 2 pm ⎡⎤tt ks −1Bsks −1 ⎥Cs eλs t == ∑ ⎢( Bs + λs E ) ∑ Bsp + ( Bs + λs E )( ks − 1)!s =1 ⎣p =0 p !⎦k s −1 p⎤m ⎡m⎡ ks −1 t p⎤t= ∑ ⎢( Bs + λs E ) ∑ Bsp ⎥Cs eλs t = A∑ ⎢ ∑ Bsp ⎥Cs eλst = Ax⎥⎦s =1 ⎢p =0 p !s =1 ⎣ p = 0 p !⎦A⎣⎧⎪ x = x − 2x⎪Пример.Найти общее решение системы уравнений ⎨ x = x + 3 x + x.⎪⎪ x = −2 x − 2 x − x⎩⎛ 1 −2 0 ⎞⎜⎟,31Решение.Матрица системы имеет вид A = 1⎜⎟⎜ −2 −2 −1⎟⎝⎠ее собственные значения: λ1 = 1, k1 = 3 ;.•11212•23•312⎛ 0 −2 0 ⎞⎛ −2 −4 −2 ⎞B1 = A − λ1 E = A − E = ⎜⎜ 1 2 1 ⎟⎟ , B12 = ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟ ,⎜ −2 −2 −2 ⎟⎜ 2 4 2⎟⎝⎠⎝⎠⎛ 0 0 0⎞⎛0⎞⎛ c1 ⎞B13 = ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟ , B13C1 = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⇒ C1 = ⎜⎜ c2 ⎟⎟ ;⎜ 0 0 0⎟⎜0⎟⎜ ⎟⎝⎠⎝ ⎠⎝ c3 ⎠−2c1⎛⎞⎛ −2c1 − 4c2 − 2c3 ⎞⎟;B1C1 = ⎜⎜ c1 + 2c2 + c3 ⎟⎟ , B12C1 = ⎜⎜0⎟⎜ −2c − 2c − 2c ⎟⎜ 2c + 4c + 2c ⎟123⎠23 ⎠⎝⎝ 13⎧⎛ c1 ⎞ ⎛−2c1⎞ 2 ⎛ −2c1 − 4c2 − 2c3 ⎞ ⎫⎪⎜ ⎟ ⎜⎟ t ⎜⎟⎪ tx ( t ) = ⎨⎜ c2 ⎟ + t ⎜ c1 + 2c2 + c3 ⎟ + ⎜0⎟⎬ e⎪⎜ c ⎟ ⎜ −2c − 2c − 2c ⎟ 2 ⎜ 2c + 4c + 2c ⎟ ⎪123⎠23 ⎠⎭⎝ 1⎩⎝ 3 ⎠ ⎝20.Неоднородная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами.•x = Ax + F (t )гдеA = {aij } - постоянная матрица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
