Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций (1118045), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Основы теории устойчивостиЛекция 10§ 1.Постановка задачи. Основные понятия.Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ•x = f ( t, x )(1)непрерывно зависит от начальных условий при t ∈ [ a, b] , если правая частьf ( t, x )удовлетворяет условиям теорем существования и единственности . В этой главе мы исследуемзависимость решения задачи Коши от начальных условий, когда t ∈ [t0 , +∞ ) .Будем предполагать, что для системы уравнений (1) выполнены условия теоремсуществования и единственности на множестве таких точек ( t, x ) , что t ∈ (α , +∞ ) , x ∈ D , гдеD — открытое множество в пространстве переменного x .Пусть x = ϕ ( t ) — .решение системы уравнений (1) определенное при t ≥ t0 .Определение.
Решение x = ϕ ( t ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для∀ε > 0 ∃ δ (ε ) > 0 : ∀ x0 : ϕ ( t0 ) − x0 < δ , решение x = ψ ( t ) : ψ ( t0 ) = x0 определено при t ≥ t0и ψ (t ) − ϕ (t ) < εt ≥ t0 .Если, кроме того, lim ψ ( t ) − ϕ ( t ) = 0 то решение x = ϕ ( t ) называется асимптотическиt →∞устойчивым.Исследование устойчивости решения x = ϕ (t ) системы уравнений (1) может бытьсведено к исследованию устойчивости тривиального решения, т. е. некоторого положенияравновесия другой нормальной системы.
В самом деле, введем новую неизвестную функцию(2)y (t ) = x (t ) − ϕ (t ) ,которая удовлетворяет следующей системе уравнений•( )y = f ( t , y + ϕ ) − f ( t, ϕ ) = f1 ( t, y ) ,(3)где f1 t, 0 = 0 . При этом устойчивость (по Ляпуновy или асимптотическая) решения x = ϕ (t )равносильна устойчивости решения y = 0 системы уравнений (3).В дальнейшем будем считать, что замена (2) уже сделана. Тогда система уравнений (1)имеет решение x ≡ 0 , т.е. f t, 0 = 0 .( )§ 2.Однородная система линейных дифференциальных уравнений спостоянными коэффициентами.
Устойчивость тривиального решения.Рассмотрим однородную систему из n линейных дифференциальных уравнений•x = Ax ,где A — постоянная действительная матрица. Пусть λk = μk + iν k ,собственные значения матрицы A.k = 1, 2,..., m,(1)m≤n —Лемма 1.Пусть Re λk = μk < 0, k = 1, 2,..., m , тогда существуют постоянные α > 0, R > 0такие, что при всех t ≥ 0 для решения системы (1) x = ϕ (t ) справедлива оценкаϕ ( t ) ≤ Re −α t ,где норма вектор-функцииm∑( y )y ≡ y Rm =i 2.i =1Как было показано ранее, любое решение x = ϕ ( x ) системы уравнений (1)Доказательство.имеет видmϕ ( t ) = ∑ g k ( t ) eλ t ,(2)kk =1где g k ( t ) — вектор-функция, каждая координата которой есть некоторый многочлен.По условию леммы Re λk = μk < 0, k = 1, 2,..., m . Поэтому существует константа α > 0такая, чтоRe λk = μk < −α < 0, k = 1, 2,..., m(3)Из (2) следует, чтоmϕ ( t ) ≤ ∑ g k ( t ) e( μk+ iν k )tk =1k =1mϕ (t ) e ≤ ∑ gk ( t ) eαt( μk + iν k )tk =1⇒limt →0⇒≤ ∑ gk ( t ) e∑ g (t ) e( μk +α )t<0kk =1m∑ g ( t ) e( μ∃R > 0 :( μk +α )t<0 ( 3 )⇒kk+α )t=0≤ R,⇒t≥0⇒ϕ ( t ) eα t ≤ R ⇒ ϕ ( t ) ≤ Re−α t⇒Пустьmk =1mk =1Лемма 2.m≤ ∑ g k ( t ) e μk t × eα tRe λk = μk < 0,k = 1, 2,..., m ,тогда для любого решения системы (1)x = ϕ ( t , x0 ) , удовлетворяющего начальному условию ϕ ( 0, x0 ) = x0 , выполнена равномерная напромежутке t ≥ 0 оценкаϕ ( t , x0 ) ≤ r x0 e −α t , t ≥ 0 ,где α > 0, r > 0 - некоторые постоянные.Доказательство.Пусть x = ϕ j ( t ) — решение системы уравнений (1) , удовлетворяющееначальному условию ϕ j (0) = e j = {δ 1j , δ j2 ,… , δ jn } — единичный координатный вектор.
Тогда, потеореме единственностиmϕ ( t , x0 ) = ∑ ϕ j (t ) x0j , x0 = { x01 , x02 ,… , x0n } ,k =1так как в правой части последнего равенства записано решение системы уравнений (1),удовлетворяющее при t = 0 тому же начальному условию, что и ϕ ( t , x0 ) .В силу Леммы 1 существуют постоянные α , R j > 0 такие, что при всех t ≥ 0 верноϕ j ( t ) ≤ R j e −α t ,j = 1, 2,..., n .Положим R = max { R1 ,…, Rn } , тогдаϕ j ( t ) ≤ Re −α t ,j = 1, 2,..., n .Следовательно, при всех t ≥ 0mmk =1k =1ϕ ( t , x0 ) ≤ ∑ ϕ j ( t ) x0j ≤ ∑ Re −α t x0 = nR e −α t x0 = re −α t x0 .rУстановим теперь необходимые и достаточные условия устойчивости положенияравновесия x = 0 системы уравнений (1).Теорема.Для того чтобы положение равновесия x = 0 системы уравнений(1) былоасимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значенияматрицы A имели отрицательные действительные части.Доказательство.ε > 0 — произвольное положительное число, а1)Достаточность.Пустьx = ψ ( t ) = ϕ ( t , x0 ) — решение системы уравнений (1), удовлетворяющее начальному условиюψ ( 0 ) = x0 .
В силу Леммы 2 справедлива равномерна при t ≥ 0 оценкаψ ( t ) ≡ ϕ ( t , x0 ) ≤ r x0 e −α t ,где α > 0, r > 0- некоторые постоянные.εПусть δ = ε / r , тогда если x0 < δ , то ψ ( t ) < r e −α t ≤ ε при всех t ≥ 0 , т.е. положениеrравновесия устойчиво по Ляпунову.Так как lim e−α t = 0 , то lim ψ ( t ) = 0 , следовательно, положение равновесия x = 0t →+∞t →+∞асимптотически устойчиво. Достаточность доказана.2)Необходимость.Пусть существует k такое, что Re λk = μk ≥ 0 , тогда положениеравновесия x = 0 не может быть устойчивым по Ляпунову.В самом деле, положим Re λ`1 = μ1 ≥ 0 и рассмотрим h ≠ 0 - собственный вектор(матрицы A , т.е.
Ah = λ`1h . Тогда x = Re heλ`1th = h1 + ih2 , тогда(()))- решение системы уравнений (1). Пусть()x = Re h1 + ih2 e( μ1 +iν1 )t = e μ1t h1 cosν 1t − h2 sinν 1t →/ 0.Этим же свойством, очевидно, обладает любое решениеt →+∞x = c Re( he λ`1t ) , которое придостаточно малом c сколь угодно близко в момент t = 0 к положению равновесия x = 0 , нопри t → +∞ не стремится к нулю. Следовательно, положение равновесия x = 0 не будетасимптотически устойчивым. Необходимость доказана.Замечание. Для устойчивости по Ляпунову положения равновесия x = 0 системы уравнений(1) необходимо (но не достаточно!), чтобы все собственные значения матрицы А имелинеположительные действительные части.§ 3.Второй метод Ляпунова.
Лемма Ляпунова.Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений•x = f ( t, x )(1)Будем предполагать, что x = 0 — решение этой системы. Такое предположение, как былопоказано в § 1, не нарушает общности. Из него, в частности, следует, что f t, 0 = 0 .( )Лемма Ляпунова.D : x ≤ r , t ≥ t0 .единственностии,Пусть правая часть системы уравнений (1) определена на множествеПредположим, что выполнены условия теорем существования икрометого,приx ≤rопределенанеотрицательнаяфункцияV ( x ) ≥ 0, V ( x ) ∈ C1 ( x ≤ r ) , обращающаяся в нуль только при x = 0 , причем на множестве D()ngradV , f = ∑i =1∂V if ≤ 0.∂x iТогда решение x = 0 системы уравнений (1) устойчиво по Ляпунову.Если, кроме того, на множестве Dn∂VgradV , f = ∑ i f i ≤ −W ( x )i =1 ∂x()где W ( x ) ≥ 0 — некоторая непрерывная функция, обращающаяся в нуль только при x = 0 , торешение x = 0 асимптотически устойчиво.Доказательство.Зададим произвольное ε ∈ (0; r ) и обозначим Sε поверхность шара x ≤ ε .ПустьVε = min V ( x ) .(2)x∈SεВыберем δ > 0 таким образом, чтобы приx ≤δвыполнялось неравенствоV ( x ) ≤ Vε .(3)Такое δ существует, поскольку функция V ( x ) непрерывна при x ≤ ε и V (0) = 0 .Покажем, что всякое решение x = ϕ ( t ) , для которого выполнено ϕ ( t0 ) < δ , определенопри всех t ≥ t0 и удовлетворяет неравенству ϕ (t ) < ε , т.
е. решение x = 0 будет устойчивым поЛяпунову.В самом деле, пусть непродолжаемое решение x = ϕ ( t ) определено на интервале (ml,m2),где m2 < +∞ . Тогда по свойству непродолжаемых решений это возможно лишь, если траекторияx = ϕ ( t ) пересекает поверхность Sε (в противном случае при всех t0 ≤ t < m2 выполняетсянеравенство ϕ ( t ) < ε и график решения x = ϕ ( t ) не может выйти за пределы замкнутогоограниченного множестваповерхность Sε .Обозначим t1x ≤ ε , t0 ≤ t < m2 ). Таким образом, траектория x = ϕ ( t ) пересекает(t1 > t0 ) - наименьшее значение параметра t, при котором траекториявпервые достигает поверхности Sε . Рассмотрим сложную функцию V (ϕ ( t ) ) .
В силу условийлеммыт. е. функция V (ϕ ( t ) )•nnd∂V∂VV (ϕ ( t ) ) = ∑ i (ϕ ) ϕ i ( t ) = ∑ i ( ϕ ) f i ( t , ϕ ) ≤ 0 ,dti =1 ∂xi =1 ∂xне возрастает. Но тогда в силу (2) и (3)Vε > V (ϕ ( t ) ) ≥ V (ϕ ( t1 ) ) ≥ Vεчто невозможно. Следовательно, решение x = ϕ ( t ) определено при всех t ≥ t0 и его траекторияне может достигать поверхности Sε т. е. при всехверно неравенство ϕ ( t ) < ε .Первоеутверждение леммы доказано.Докажем второе утверждение. Зададим произвольное ε > 0 .
Выберем δ > 0 так же, какэто делалось выше. Тогда для любой траектории x = ϕ ( t ) , для которой ϕ ( t0 ) < δ , имеет местонеравенство ϕ ( t ) < ε .Рассмотрим снова функцию V (ϕ ( t ) ) . Покажем, что lim V (ϕ ( t ) ) = 0 . В самом деле,t →+∞допустив противное, мы придем к заключению, что у невозрастающей неотрицательнойфункции V (ϕ ( t ) ) существует положительный пределlim V (ϕ ( t ) ) = A > 0 .t →+∞(4)Заметим, что тогда V (ϕ (t ) ) ≥ A, t ≥ t0 , а значит существует постоянная σ > 0 такая, чтоϕ (t ) > σ ,которойt ≥ t0 . Действительно, если это не так, найдется последовательность tk ≥ t0 , дляϕ ( t k ) → 0 ⇒ V (ϕ ( t k ) ) → 0поскольку V (0) = 0 , что противоречит (4).
Такимобразом, для всех t ≥ t0 верно σ ≤ ϕ ( t ) ≤ ε .По условию леммы W (σ ≤ x ≤ ε ) > 0 . Поэтому существует постоянная α > 0 такая, чтоW (σ ≤ x ≤ ε ) ≥ α и•nnd∂V∂VV (ϕ ( t ) ) = ∑ i (ϕ ) ϕ i ( t ) = ∑ i (ϕ ) f i ( t , ϕ ) ≤ −W (ϕ ) ≤ −α .dti =1 ∂xi =1 ∂xИнтегрируя неравенство (5) в пределах от t0 до t , получим(5)V (ϕ ( t ) ) − V (ϕ ( t0 ) ) ≤ −α ( t − t0 ) ⇒ lim V (ϕ ( t ) ) = −∞ ,t →+∞что противоречит V ( x ) ≥ 0 .
Таким образом,lim V (ϕ ( t ) ) = 0 .(6)t →+∞Докажем теперь чтоlim ϕ ( t ) = 0 .t →+∞Предположим противное, тогда существуютпостоянная η > 0 и последовательность tn → +∞ , для которых ввиду V (0) = 0 верно ϕ ( tn ) ≥ η .Функция V (η ≤ x ≤ ε ) > 0 , поэтому найдется постоянная β > 0 , для которой имеет местонеравенство V (σ ≤ x ≤ ε ) ≥ β > 0 , откуда следует V (ϕ (t ) ) ≥ β > 0 , что противоречит (6).Итак, lim ϕ ( t ) = 0 , т.е. положение равновесия x = 0 асимптотически устойчиво.t →+∞Замечание. Для облегчения последующих вычислений заметим, что, каково бы ни былорешение x = x (t ) системы уравнений (1), имеет место тождествоn∂Vdx (t ) ) f i ( t , x (t ) ) = V ( x (t ) ) .∑i (dti =1 ∂xПример.Рассмотрим динамическую систему•x = xy 4 ,•y = − x2 y .Положим V ( x, y ) = x 2 + y 4 , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
