Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций (1118045), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Следовательно,1 1⎧⎪ x ( s − 1) , 0 ≤ x ≤ sG ( x, s ) = ⎨⎪⎩ ( x − 1) s, s ≤ x ≤ 1Иногда бывает удобнее не использовать готовую формулу (6) ввиду ее трудной длязапоминания структуры, а действовать непосредственно по определению. Итак, используяполученные выше функции y1 ( x) и y2 ( x) , ищем функцию Грина в виде0≤ x≤s⎧⎪C1 ( s ) y1 ( x) = C1 ( s ) x,.G ( x, s ) = ⎨s ≤ x ≤1⎪⎩C2 ( s ) y2 ( x) = C2 ( s )( x − 1) ,Из условий непрерывности функции Грина и скачка ее производной в точке x = s получим⎧⎪C1 ( s ) s = C2 ( s ) ( s − 1)⎪⎧C1 ( s) = ( s − 1)⇒,⎨⎨C(s)Cs1CsC(s)1−=⇒=−C(s)s=()()⎪112⎩ 2⎩⎪ 2откуда тот же, что и выше, окончательный результат⎪⎧ x ( s − 1) , 0 ≤ x ≤ s.G ( x, s ) = ⎨⎪⎩ ( x − 1) s, s ≤ x ≤ 11Теперь решение задачи запишем в видеy ( x) = ∫ G ( x, s ) f ( s )ds .
Физический смысл0полученного решения – профиль струны при статической нагрузке f ( x ) .В частности, если нагрузка сосредоточена, например, в точке x0 =23, то интегралвычисляется. Точный ответ и соответствующий профиль струны приведены ниже:12⎧2⎞⎧⎛− x, 0 ≤ x ≤1⎪′′δy(x)xf(x)=−≡⎪⎛ 2⎞ ⎪33⎜⎟⇐⇒y ( x) = ∫ G ( x, s ) f ( s )ds = G ⎜ x, ⎟ = ⎨3⎠⎝⎨⎝ 3 ⎠ ⎪ 2 ( x − 1), 2 ≤ x ≤ 10⎪ y (0) = 0, y (1) = 0⎩⎪⎩ 33Лекция 9§ 2.Нелинейные краевые задачи10.Постановка задачи.Рассмотрим двухточечную краевую задачуd 2u= f (u , x),(1)x ∈ D = (0;1)dx 2u (0) = u 0 , u (1) = u 1 .(2)Если функция f (u , x) не линейна по переменной u , то решить задачу аналитическивесьма сложно и или вовсе невозможно. Поэтому основные методы решения таких задач –численные. В основном они основаны на конечно-разностных методах, и среди них можновыделить следующие.1)Разностные методы – производные заменяются конечными разностями, задачалинеаризуется, для ее решения применяется метод прогонки, а затем применяются методыпоследовательных приближений.2)Метод стрельбы – задается u '(0) = γ и решается начальная задача для u ( x, γ ) .Параметр γ подбирается так, чтобы u (1, γ ) = u1 .При этом необходимо установить разрешимость задачи (1)-(2), а при использованииметода стрельбы важно выделить классы нелинейностей, когда задача (1)-(2) разрешимауказанным методом.В последние годы важную роль в исследовании различных классов нелинейных задачприобрели методы качественной теории дифференциальных уравнений, в основе которыхлежат так называемые теоремы сравнения.
Этот подход носит также название методдифференциальных неравенств. Этот метод развивает и распространяет идеи С.А. Чаплыгинадля начальных задач на более сложные классы задач, в том числе краевые. Основной цельюнастоящего раздела курса ДУ является знакомство с этими эффективными подходами.В качестве вспомогательного результата нам понадобится теорема, доказательствокоторой основано на методе стрельбы и приводится в следующем разделе.20 .Существование решения в случае ограниченной правой части (метод стрельбы).Первый достаточно простой результат содержится в следующей теореме.Теорема 1.
Пусть f (u , x) непрерывна, ограничена и удовлетворяет условию Липшица при−x ∈ D ( D = [0,1]) , u ∈ R . Тогда задача (1) имеет решение.Доказательство.Рассмотрим начальную задачуu '' = f ( u , x ) , x ∈ (0,1],u (0) = u 0 , u ' (0) = γ(3)Докажем, что можно выбрать параметр γ так, что u (1, γ ) = u1 и, следовательно, решение задачи(3) будет являться решением задачи (1)-(2) (метод стрельбы).Лемма 1.Задача Коши (2) имеет единственное непрерывно зависящее от γ решение.Результат Леммы 1 является следствием известных теорем существования иединственности и непрерывной зависимости от параметров решения уравнения n -го порядка,разрешенного относительно старшей производной.Продолжим доказательство теоремы.
Пусть u ( x, γ ) - решение задачи Коши (3). Тогда,интегрируя дважды полученное тождество, будем иметьxξ00u ( x, γ ) = u + γ x + ∫ d ξ ∫ f (u, s)ds ,0откуда найдем1ξ00u (1, γ ) = u + γ + ∫ d ξ ∫ f (u , s )ds .0В силу условий Теоремы 1 существует постоянная M > 0 такая, что M ≥ f (u, x) приx ∈ [0;1] ,u ∈ R . Выберем теперь γ = γ 0 > 0 , тогдаu (1, γ 0 ) ≥ u 0 + γ 0 − M > u1 ,если γ 0 > 0 достаточно велико. Аналогичным образом получаем, чтоu (1, −γ 0 ) ≤ u 0 − γ 0 + M < u1при достаточно большом γ 0 (выбираем γ 0 так, чтобы выполнялись оба неравенства).Так как функция u (1, γ ) непрерывна, то существует такое γ ∈ (−γ 0 ; γ 0 ) , что u (1, γ ) = u1 .При этом значении γ решение задачи (3) является решением задачи (1)-(2).
Таким образом,Теорема 1 доказана.Замечание. Класс функций f в Теореме 1 достаточно узкий: в него не попадает дажефункция f = u . Поэтому область применимости изложенного метода весьма ограничена.Поэтому далее рассмотрим конструктивный подход, основанный на методе дифференциальныхнеравенств, предложенный японским математиком Нагумо (Nagumo) и являющийся развитиемидей С.А. Чаплыгина.30 .Теорема Нагумо.−Определение.Функции α (x ) , β ( x) ∈ C 2 ( D) ∩ C ( D ) называются соответственнонижним и верхним решениями задачи (1)-(2), если выполняются следующие неравенства:d 2αd 2β−f(α(x),x)≥0≥− f ( β ( x), x) , x ∈ Ddx 2dx 2α (0) ≤ u 0 ≤ β (0) , α (1) ≤ u 1 ≤ β (1) .Пусть существуют α (x ) и β (x ) - нижнее и верхнее решениеТеорема 2 (Нагумо).задачи (1), причем α ( x ) ≤ β ( x ) , x ∈ [0,1] , а функция f (u , x) - непрерывна и удовлетворяетусловию Липшица по переменной u при u ∈ [α , β ] , x ∈ [0,1] .Тогда существует решение задачи (1) u (x) , удовлетворяющее неравенствамα ( x ) ≤ u ( x ) ≤ β ( x ) , x ∈ [0,1] .Доказательство.
Рассмотрим модифицированную задачу (1)-(2):d 2u= h(u , x) , x ∈ (0,1)(1*)2dxu (0) = u 0 , u (1) = u 1 ,(2)где⎧ f ( β , x) + (u − β ) /(1 + u 2 ), u > β⎪h(u , x) = ⎨ f (u , x), α ≤ u ≤ β⎪2⎩ f (α , x) + (u − α ) /(1 + u ), u < α .Лемма 2.Задача (1*)-(2) имеет решение.Доказательство.Проверим, что h(u , x ) удовлетворяет условиям Теоремы 1, т.е. h(u , x ) непрерывна, ограничена и удовлетворяет условию Липшица при x ∈ [0,1] , u ∈ R .Ее непрерывность очевидна, а ограниченность немедленно следует из непрерывности исуществования предела при u → ±∞.Проверим выполнение условия Липшица в полосе x ∈ [0,1] , u ∈ R . Легко заметить, чтопроизводная функции h(u , x ) по переменной u при u ≥ β , 0 ≤ x ≤ 1hu (u , x ) = (1 − u 2 − 2u β ) /(1 + u 2 ) 2ограничена.
Тогда, как известно, функции h(u , x ) удовлетворяет в этой области условиюЛипшицаh(u1 , x) − h(u2 , x ≤ L1 u1 − u2 ,где в качестве постоянной Липшица L1 можно взять L1 = sup hu (u, x) , u ≥ β , 0 ≤ x ≤ 1 .Аналогично можно показать, что функция h(u , x ) удовлетворяет условию Липшица вобласти u ≤ α , 0 ≤ x ≤ 1.Пусть при α ( x) ≤ u ≤ β ( x ) функция h(u, x) ≡ f (u, x) удовлетворяет условию Липшица спостоянной L0 .
Покажем, что она удовлетворяет условию Липшица в полосе x ∈ [0,1] , u ∈ R .Рассмотрим лишь случай u2 > β , α ≤ u1 ≤ β . Положим u0 = β , тогдаh(u1 , x) − h(u2 , x) = h(u1 , x) − h(u0 , x) + h(u0 , x) − h(u2 , x) ≤ h(u1 , x) − h(u0 , x) + h(u0 , x) − h(u2 , x) ≤≤ L0 u1 − u0 + L1 u0 − u2 ≤ L u1 − u2 ,где L = max( L0 , L1 ).Таким образом, все условия Теоремы 1 выполнены и, следовательно, задача (1*)-(2)имеет решение u = u ( x ) .
Лемма 2 доказана.Покажем теперь,что это решение удовлетворяет неравенствам α ≤ u ≤ β .Предположим, что нарушается первое неравенство, т.е. существует точка x* ∈ (0,1) такая, чтоα ( x* ) − u ( x* ) > 0 . Тогда существует точка x 0 ∈ (0,1) , в которой разность α ( x) − u ( x) достигаетположительного максимума и, следовательно,(5)(α ( x) − u ( x))' ' x = x ≤ 0 .0В этой точке u (x) удовлетворяет уравнению−u ''( x0 ) = − f (α ( x0 ), x0 ) + (α ( x0 ) − u ( x0 )) /(1 + u 2 ( x0 )) ,А α (x ) - дифференциальному неравенствуα ''( x0 ) ≥ f (α ( x0 ), x0 ) .Складывая два последних соотношения, получим(α ( x) − u ( x))' ' x = x ≥ (α ( x0 ) − u ( x 0 )) /(1 + u 2 ( x0 )) > 0 ,0что противоречит (5), а значит α ( x ) ≤ u ( x ) для всех x ∈ [0,1] . Аналогично показывается чтоβ ( x ) ≥ u ( x ) при x ∈ [0,1] .Заметим, что если α ( x) ≤ u ≤ β ( x ) , то имеет место h(u , x) ≡ f (u , x ) , следовательнорешение модифицированной задачи (1*)-(2) является также решением задачи (1)-(2).
Этозавершает доказательство теоремы.40.Примеры.Пример 1.Рассмотрим задачу (1)-(2) с кубической нелинейностьюd 2u= u (u − ϕ1 ( x))(u − ϕ 2 ( x)) ,x ∈ (0,1)dx 2u (0) = u 0 , u (1) = u 1 ;u 0 , u1 > 0 ,предполагая, что ϕ1 ( x) < 0 , ϕ 2 ( x) > 0 – непрерывные при x ∈ [0,1] функции.Докажем существование решения. Очевидно, что α ( x ) ≡ 0 - нижнее решение. Пустьϕ2 = max ϕ2 ( x) .
Тогда в качестве верхнего решения можно взять любую постоянную[0,1]C = β ( x) ≥ max[ϕ 2 , u 0 , u1 ] . Действительно, в этом случаеследовательно,f (C , x) ≥ 0(см. рисунок) и,d 2β− f ( β , x) ≤ 0 .dx 2Тогда по теореме Нагумо существует решение краевой задачи u ( x) , удовлетворяющеенеравенствам0 ≤ u ( x ) ≤ β ( x ) = max[ϕ 2 , u 0 , u1 ] .В качестве нижнего решения можно выбрать такжеα ( x ) = δ > 0 , гдеδ ≤ min(min ϕ 2 ( x), u 0 , u1 ) , оставив верхнее решение прежним.
Таким образом, можно показать[0,1]существованиеположительногорешенияудовлетворяющегонеравенствамu ( x) ,δ ≤ u ( x) ≤ β ( x) .????????????? График иллюстрирует построение функций α ( x ) и β ( x ) ??????? какой ???????.Пример 2.Рассмотрим задачу (1)-(2) со степенной нелинейностьюd 2u= u p , x ∈ (0,1)dx 2u (0) = u 0 , u (1) = u 1 ; u 0 , u 1 > 0 ,где p > 1 .В этом случае α ( x ) ≡ 0 - нижнее решение. В качестве верхнего решения можно взятьлюбую постоянную C = β ( x) ≥ max[u 0 , u1 ] . Тогда по Теореме Нагумо существуетнеотрицательное решение краевой задачи u ( x) , удовлетворяющее неравенствам0 ≤ u ( x ) ≤ β ( x ) = max[u 0 , u1 ] .Глава 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
