Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций (1118045), страница 19
Текст из файла (страница 19)
V ( x, y ) ≥ 0 для всех ( x, y ) и обращается в нуль только приx = y = 0 . Кроме того,∂V 4 ∂V 2xy −x y = −2 x 2 y 4 ≤ 0 .∂x∂yПоэтому, в силу доказанной выше леммы Ляпунова, положение равновесия x = y = 0рассматриваемой системы устойчиво по Ляпунову.§ 4.Исследование на устойчивость по первому приближению (первый методЛяпунова). Теорема Ляпунова.Пусть x = 0уравнений-положение равновесия нормальной системы дифференциальных•x = f ( t, x ) ,(1)правая часть которой удовлетворяет условиям теорем существования и единственности и имеетвидf ( t, x ) = A ( t ) x + F ( t, x ) ,где A(t ) = a ij (t ) - квадратная матрица. Пусть такжеlimF ( t, x )x →0x=0.•x = A ( t ) x называетсяпервым приближением или линеаризацией исходной системы уравнений (1) в окрестности∂f iточки x = 0 .
Заметим, что согласно предположениям F t , 0 = 0, a ij (t ) = j t , 0 – матрица∂xЯкоби.Линейная однородная система дифференциальных уравнений( )( )Рассмотрим частный случай, когда матрица A(t ) = a ij (t ) постоянна.Пусть имеется нормальная система уравненийТеорема Ляпунова.•x = Ax + F ( t, x ) ,( F ( t, 0 ) = 0 )(2)где A — постоянная матрица, все собственные значения которой имеют отрицательныедействительные части. Пусть также при всех t ≥ t0 и достаточно малом xF ( t, x ) ≤ M x1+α, α, M > 0 .Тогда положение равновесия x = 0 системы уравнений (2) асимптотически устойчиво.Пусть x = x (t ) — решение системы уравнений (2). ВведемДоказательство.вспомогательную (вообще говоря, комплексную) вектор-функцию y ( t ) : x ( t ) = Ry ( t ) , где R—невырожденная постоянная матрица.Тогда•y ( t ) = By + G ( t , y )(3)B = R −1 AR, G ( t , y ) = R −1 F ( t , Ry )Из курса линейной алгебры известно, что матрицу R (вообще говоря, комплексную) можноподобрать так, чтобы матрица В имела вид⎛ λ1 b21 … bn1 ⎞⎜⎟0 λ2 … bn2 ⎟⎜B=(4)⎜… … … … ⎟⎜⎜⎟⎟⎝ 0 0 … λn ⎠()λ1 ,… , λn — собственные значения матрицы A, а элементы bij < b b > 0, i < j , i, j = 1, n помодулю меньше заданного числа b>0.В силу условий теоремы1+α1+α1+α1+αG ( t , y ) ≤ R −1 ∗ F ( t , Ry ) ≤ R −1 ∗ M ∗ Ry ≤ R −1 ∗ M ∗ R∗y= M1 y ,где M 1 = R −1 ∗ M ∗ R1+α.
Рассмотрим функциюnnV ( x ) = ∑ yi ( yi ) = ∑ yi = y .−1()i =1*()Здесь y = R x , поэтому V x ≠ 0 > 0, V 0 = 0i =122(5)∂Vn∑ ∂xДля вычисленияi =1fiiвоспользуемся замечанием, сделанным в конце § 3, и темобстоятельством, что в силу теоремы существования и единственности через любую точку(t , x ) можно провести интегральную кривую x = x ( t ) системы уравнений (2). Поэтому*⎫∂V i dd n i i * n ⎧ i * d idfVxy ( y ) = ∑ ⎨( y )y + yi ( yi ) ⎬ .==()∑∑idtdt i =1dtdt⎭i =1 ∂xi =1 ⎩Используя (3) и (4), получимdy i= λi y i + ∑ bi j y j + G i ,dti< jnd ( yi )*= λi* ( ydt(6)(7)) + ∑ (b ) ( y ) + (G )i *j *j *i *ii< jПодставляя (7) в (6), найдемnnn∂V i nii ** ii *j ii *j * ii *ii *i * iλλf=yy+yy+byy+byy+Gy+G()()()()()()()y =∑∑∑∑∑iiiiii =1 ∂xi =1i =1 i < ji =1{} {= ∑ ( λ + λ ) y ( y ) + ∑∑ ( b + ( b ) ) y ( y ) + ∑ {G ( y ) + ( G ) y }ni =1*i}ini *iiПо условию теоремыRe λi ≤ − a,i = 1, 2,..., n .Gi = (Gi ) ≤ G ≤ M1 y*j *ji =1 i < j{iRe λi < 0, i = 1, 2,..., n ,*i(8)Всилуоценки(5)имеем, поэтому из равенства (8) вытекает{nnn∂V ii 2i 2f≤−ay+y+Gi2∑∑∑∑∑ii =1 ∂xi =1i =1 i < ji =12i *т.е.
найдется число a > 0 такое, чтоbij = ( bij ) ≤ b .n≤ −2aV + 2b yi *ii =1Пусть1+αni *i}∑1 + 2 Mi< j1y2 +αnRi *∑1 = −2aV + 2bi =1= −2aV + bn ( n − 1) V + 2 M 1nVПодберем матрицу( y ) + (G )1+i *}yi ≤n ( n − 1) 22 +αy + 2 M 1n y=2α2.так, чтобы выполнялось b ≤(9)a, а x будем считать2n ( n − 1)αa.
Тогда из (9) получим4 M 1nn∂V iaaf ≤ −2aV + V + V = − aV .∑i22i =1 ∂xДалее, обозначив −aV ( x ) = W ( x ) , из последнего неравенства на основании леммыЛяпунова делаем заключение об асимптотической устойчивости положения равновесиясистемы (2).настолько малым, что V 2 ≤Пример.Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений вида (2):••xyy2.,x = −x − y +y = 2x − 3y +1+ t1+ t⎛ −1 −1 ⎞При t ≥ 0 выполнены все условия теоремы Ляпунова, так как матрица A = ⎜⎟⎝ 2 −3 ⎠имеет собственные значения λ1,2 = −2 ± i .Поэтому положение равновесия x = y = 0асимптотически устойчиво.Замечание 1.Имеет место следующее утверждение о неустойчивости.Теорема (о неустойчивости).Пусть задана нормалъная система уравнений (2) спостоянной матрицей A , имеющей хотя бы одно собственное значение с положительнойдействительной частью.
Пусть при t ≥ t0 для достаточно малых значений x выполненонеравенство F ( t, x ) ≤ M x1+α, где α , M > 0 .Тогда положение равновесия x = 0 системы уравнений (2) неустойчиво.Замечание 2.При исследовании устойчивости положения равновесия по первомуприближению важно иметь возможность установить тот факт, что все собственные значениядействительной матрицы A , т. е.
все корни характеристического многочлена, имеютотрицательные действительные части. Известна следующая терема.Теорема (Гурвица).Для того чтобы у многочлена Pn ( z ) = z n + a1 z n −1 + … + an −1 z + an сдействительными коэффициентами все корни имели отрицательные действительные части,необходимо и достаточно, чтобы все главные (угловые) миноры матрицы100… 0 ⎞⎛ a1⎜⎟a2a11… 0 ⎟⎜ a3⎜ a5a4a3a2… 0 ⎟,( ak = 0, k > n )⎜⎟………… …⎟⎜…⎜a⎟⎝ 2 n −1 a2 n − 2 a2 n −3 a2 n − 4 … an ⎠были положительными, т. е.
чтобыa 1Δ1 = a1 > 0, Δ 2 = 1> 0, … ,a3 a2a1a3Δ n = a5…a2 n −1100… 0a2a4…a1a3…1a2…… 0… 0 = Δ n −1an > 0… …a2 n − 2a2 n −3a2 n − 4 … anПоследнее условие можно заменить условием an > 0 , т.е. для многочлена второй степениP2 ( z ) = z 2 + a1 z + a2имеемa1 > 0, a2 > 0 ,аP3 ( z ) = z 3 + a1 z 2 + a2 z + a3 нужно a1 > 0, a1a2 − a3 > 0,§5.длямногочленатретьейстепениa3 > 0 .Применение теорем Чаплыгина в некоторых задачах теорииустойчивости.Пусть задано автономное уравнениеdx(3)= V ( x) ,dtт.е. уравнение, правая часть которого не содержит t явно. Каждый корень уравнения V ( x ) = 0является решением уравнения (3).
Не ограничивая общности, будем считать, что уравнение (3)имеет стационарное решение x = x0 , т.е. V ( x0 ) = 0 . Стационарное решение является решениемзадачи Коши, когда для уравнения (3) задается начальное условиеx(0) = x0 .(4)Естественным является вопрос об устойчивости этого решения по Ляпунову, т.е.устойчивости относительно малых возмущений начального условия, когда вместо условия (4)для уравнения (3) ставится дополнительное условиеx(0) = xδ(5)Стационарное решение x(t ) = x0 задачи (3), (4) называется устойчивымОпределение.∃δ (ε ) такое, что при xδ − x0 < δ для ∀ t ≥ 0 ∃ x(t ) –по Ляпунову, если для любого ε > 0решение задачи (3), (5), такое, что x(t ) − x0 < ε .Стационарное решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчивои удовлетворяет дополнительному требованию x(t ) → x0 при t → ∞ .Решение, не являющееся устойчивым, называется неустойчивым.
Определениенеустойчивости решения может быть дано как отрицание приведенного выше определенияустойчивости.Ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости стационарного решения задачи(3), (4) следует из более общей теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.Теорема 5.Пусть V ( x0 ) = 0 и функция V ( x ) непрерывна вместе с производной в некоторойокрестности x − x0 ≤ μ .Тогда решение задачи (3), (4) x = x0 будет устойчивым, если Vx ( x0 ) < 0 , и неустойчивым, еслиVx ( x0 ) > 0 .Доказательство.Асимптотическая устойчивость.Пусть Vx ( x0 ) < 0 . Тогда для ∀ ε > 0 выберем1.δ > 0 так, что δ < min( μ , ε ) . Определим функции α (t ) и β (t ) с помощью следующихвыражений:α (t ) = x0 − δ e − pt , β (t ) = x0 + δ e − pt ,где p > 0 – постоянная.
Покажем теперь, что при достаточно малых δ и p функции α (t ) иβ (t ) являются соответственно нижним и верхним решениями задачи (3), (5), если xδ − x0 < δ .Тогда, в силу Теоремы 4 решение задачи (3), (5) существует и удовлетворяет неравенствамα (t ) < x (t ) < β (t ) при 0 ≤ t < ∞ ,из которых следует, что для x = x0 выполняется определение асимптотической устойчивости.Проверим выполнение соответствующего дифференциального неравенства для β (t ) .Имеем, учитывая, что V ( x0 ) = 0 :dβ− V ( β ( t ) ) = −δ pe − pt − V ( x0 + δ e − pt ) = −δ pe − pt − V ( x0 + δ e − pt ) + V ( x0 ) − V ( x0 ) =dt= −δ pe− pt − ⎡⎣V ( x0 + δ e− pt ) − V ( x0 ) ⎤⎦ − V ( x0 ) = −δ pe − pt − ⎡⎣V ( x0 + δ e− pt ) − V ( x0 ) ⎤⎦ ==0(по теореме Лагранжа)= −δ pe− pt − Vx ( x0 + θδ e− pt ) δ e− pt = δ e− pt − p − Vx ( x0 ) − Vx ( x0 + θδ e− pt ) + Vx ( x0 ) =(())= δ e− pt − p − Vx ( x0 ) − ⎡⎣Vx ( x0 + θδ e− pt ) − Vx ( x0 ) ⎤⎦ .где 0 ≤ θ ≤ 1 .
Выберем δ таким малым, чтобыVx ( x0 + θδ e− pt ) − Vx ( x0 ) ≤ η <тогдаВыберем 0 < p <−Vx ( x0 ),2V (x ) ⎞⎛dβ− V ( β ( t ) ) ≥ δ e − pt ⎜ − p − x 0 ⎟ .dt2 ⎠⎝−Vx ( x0 )2. Тогда, поскольку Vx ( x0 ) < 0 , получим, чтоdβ− V ( β (t ) ) > 0 , т.е. β (t )dt- верхнее решение.dα− f (α (t )) < 0 (сделайте это самостоятельно),dtт.е. α (t ) – нижнее решение. Первая часть теоремы 5 доказана.Аналогично проверяется неравенство2.Неустойчивость.Пусть Vx ( x0 ) > 0 .
Покажем, что ∃ ε > 0 такое, что для ∀ δ > 0∃ xδ , xδ − x0 < δ такое, что ∃ t > 0 , при котором решение задачи (3), (5) x ( t ) отклонится отстационарного решения больше чем на ε : x ( t ) − x0 > ε . Это будет означать, что стационарноерешение задачи (3), (4) является неустойчивым.Рассмотрим интервал xδ − x0 < δ и построим нижнее решение задачи (3), (5) в видеα (t ) = x0 + ρ (1 − σ e − pt ) ,где 0 < ρ < μ , 0 < σ < 1 , p > 0 – постоянные.Поскольку α (0) = x0 + ρ (1 − σ ) , то выбирая σ достаточно близким к единице, можнополучить α (0) меньше ∀ xδ :xδ − x0 < δ . При t → ∞ α (t ) → x0 + ρ снизу, и, следовательно,при t больших некоторого t * α (t ) > x0 +ρ2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
