Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций (1118045), страница 24
Текст из файла (страница 24)
предельный переход является равномерным относительно x на указанном множестве.Замечание (о геометрическом смысле термина “сингулярное возмущение”). Так как параметрμ считается достаточно малым, то левую часть уравнения (11) можно рассматривать какнекоторое “малое” возмущение к вырожденной задаче F ( z , 0) ≡ 2 − z = 0 , решение которойполучить существенно проще, чем решение полной задачи (11). Возникает вопрос: будет ли эторешение близко к точному решению (11)? Как установлено выше, при выполнении условийтеоремы А.Н.Тихонова (и, в частности, для задачи (11)), искомая близость имеет место, еслиисключить некоторую окрестность начальной точки.
Таким образом, отличие точного решенияот решения вырожденного уравнения носит сингулярный характер и проявляется лишь вокрестности одной точки. В случае же регулярного возмущения, решения задач при μ = 0(невозмущенной) и при малых μ > 0 (возмущенной) равномерно близки на сегменте,включающем начальную точку.Пример 2.Рассмотрим задачу Кошиdzμ = z 2 − z ≡ F ( z, μ ).dxz (0, μ ) = h ≠ 0Выясним, для каких начальных значениях z(0, μ ) = h точное решение z ( x, μ ) близко крешению вырожденного уравнения F ( z , 0) = 0 при x > 0 .Соответствующее вырожденное уравнение F ( z, 0) ≡ z 2 − z = 0 имеет два изолированныхкорня: устойчивыйϕ1 ( x) ≡ 0 , так какнеустойчивый ϕ2 ( x) ≡ 1 , так как∂F∂zz =ϕ1 ( x ) ≡ 0∂F∂zz =ϕ 2 ( x ) ≡1= ( 2 z − 1) z =0 = −1 < 0 , и= ( 2 z − 1) z =1 = 1 > 0 .Заметим, что областью влияния устойчивого корня ϕ1 ( x) ≡ 0 являются полуплоскостьz < 0 и полоса 0 < z < 1 .
Поэтому для начальных значений h < 0 и 0 < h < 1 в соответствии стеоремой А.Н.Тихонова при каждом 0 < x ≤ H имеет место предельный переходlim z ( x, μ ) = ϕ1 ( x) ≡ 0 . Если же h > 1 (начальное значение вне области влияния корня ϕ1 ( x) ≡ 0 ),μ →+0то условия теоремы нарушены, и предельный переход, вообще говоря, невозможен.Проиллюстрируем этот результат, выписав точное решение задачи Кошиhe − x μz ( x, μ ) = − x μ.he+1− hЕсли h < 0 или 0 < h < 1 , то знаменатель дроби не обращается в нуль на полупрямойx > 0 . Поэтому решение определено при всех x > 0 , и lim z ( x, μ ) = 0 . В случае z (0, μ ) = h > 1μ →+0знаменатель дроби обращается в нуль при x = x0 , где x0 - решение уравнения e − x μ = 1 −1h1< 1 ).
Это означает, что решение исследуемойhзадачи Коши z ( x, μ ) существует лишь на интервале 0 < x < x0 , а в точке x = x0 разрушается,(оно разрешимо для всех h > 1 , так как 0 < 1 −причем lim z ( x, μ ) = +∞ .x → x0 − 020.Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных задач. Методпограничных функций.Детальное рассмотрение этого вопроса выходит за рамки нашего курса. Его можнонайти, например, в книге А.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузова “Асимптотические разложениярешений сингулярно возмущенных уравнений”. Здесь мы ограничимся лишь описаниемосновных идей на конкретном примере.Рассмотрим задачу Кошиdzμ = 1 − z + μ ( z − 1) 2 ≡ F ( x, z, μ )dxz (0, μ ) = 2 + μ ≡ h( x, μ )Точным решением ее являетсяx>0.( μ + 1)e− x μz ( x, μ ) = 1 +.1 + μ ( μ + 1) ( e− x μ − 1)Заметим, что имеет место предельный переходlim z ( x, μ ) = ϕ0 ( x) ≡ 1μ →+0при каждомфиксированном x > 0 ,где ϕ0 ( x) ≡ 1 - устойчивый корень вырожденногоуравненияF ( x, z , 0) = 0 , что соответствует результату, сформулированному в теореме А.Н.
Тихонова.Однако если x > 0 является асимптотически малым (т.е. 0 < x < x0 , где x0 ∼ μ ), то величинаe − x μ конечна, и отличие решения z ( x, μ ) от корня ϕ0 ( x) ≡ 1 вырожденного уравнения не мало.Поэтому в областях 0 < x < x0 ∼ μ и x x0 разложения в точного решения z ( x, μ ) в ряд постепеням малого параметра μ > 0 будут различны.Пусть x > 0 фиксировано и не является асимптотически малым (т.е. x x0 ). Тогда приμ → +0 имеет место e − x μ = o( μ n ) , где n - любое натуральное число, и для точного решенияполучаем “регулярное разложение” (регулярный ряд) z ( x, μ ) = 1 + o( μ n ) , или с точностью дочленов первого порядка z ( x, μ ) = 1 + o( μ ) .Вблизи начальной точки, т.е.
при 0 < x < x0 ∼ μ величина e − x μ ∼ 1 , поэтому разложениев ряд точного решения будет содержать кроме регулярной части еще “пограничные функции”,зависящие от “быстрой” переменной ρ =xμ, которые убывают при x → +∞ . Действительно,соответствующий ряд с точность до членов первого порядка по μ имеет вид:z ( x, μ ) = 1 +( μ + 1)e− x μ= 1 + o( μ ) + e− ρ + μ ⋅ (2e − ρ − e −2 ρ ) + o( μ ) ≡ z ( x, μ ) + Π z ( ρ , μ ) .1 + μ ( μ + 1) ( e− x μ − 1)Возникает вопрос: можно ли получить асимптотическое разложение решения (т.е.
членызаписанного выше ряда), не находя точного решения в явном виде, а решая, как и в случаерегулярного возмущения некоторую последовательность более простых задач? Оказывается,что при определенных условиях это возможно. Представив решение в виде суммы двух рядовпо степеням малого параметра - регулярного z ( x, μ ) и пограничного Π z ( ρ , μ ) ,- подставляя этиряды в уравнение и начальное условие и приравнивая коэффициенты при степенях параметраμ отдельно в регулярной части (зависящей от переменной x ) и погранслойной (зависящей от“быстрой” переменной ρ =xμ), получим последовательность задач для определения членовразложения.
Указанный метод носит название метода пограничных функций А.Б. Васильевой иподробно описан в упомянутой выше книге А.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузова “Асимптотическиеразложения решений сингулярно возмущенных уравнений”.Глава 8.Уравнения в частных производных первого порядка.Лекция 13Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид⎛∂z∂z ⎞,… ,F ⎜ x1 , , xn , z ,или F ( x , z, grad z ) = 0 .⎟=0∂x1∂xn ⎠⎝Проблема существования и единственности решения в общем случае окончательно нерешена.
Далее мы рассмотрим только линейные и квазилинейные уравнения 1–го порядка.§1. Линейное однородное уравнениеОпределение 1.Линейным однородным уравнением в частных производных первогопорядка будем называть уравнение вида:n∂z∂z∂z∂zXi ( x)= X1 ( x )+ X2 (x)+ + Xn (x)= 0 илиX ( x ) , grad z ( x ) = 0 ,(1)∑∂xi∂x1∂x2∂xni =1(x = ( x1 , x2 ,гдеОпределение 2., xn ) ,X ( x ) = ( X1 ( x ) , X 2 ( x ) ,), X n ( x ))Решением (1) называется функция z ( x ) = z ( x1 , x2 ,, xn ) , обладающаянеобходимыми частными производными и обращающая (1) в тождество, ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ D .Далее будем считать, что коэффициентыX i ( x1 ,, xn ) , i = 1, 2,..., n в уравнении (1)удовлетворяют следующим условиям:1) X i ∈ C 1 ( D);2)n∑ X ( x ) ≠ 0,i =12i(У1)∀x ∈ D.Определение 3.Характеристической системой,система из n-1 уравненийdxndx1dx2== =X1 ( x ) X 2 ( x )Xn ( x)Определение 4.соответствующей(1)называется(2)Характеристиками уравнения (1) называются решения системы (2).Будем считать, что через каждую точку области D может проходить единственнаяхарактеристика – интегральная кривая системы (2), и характеристики можно задать впараметрической форме⎧ x1 = x1 ( t )dxndx1dx2⎪(У2)== == dt⇒⎨ …………X1 ( x ) X 2 ( x )Xn (x)⎪ x = x (t )n⎩ nОпределение 5.Первыминтегралом(2)принимающая постоянное значение, когда точканазывается( x1, x2 ,, xn )функцияΨ ( x1 , x2 ,, xn ) ,пробегает интегральнуюкривую (2).
Первым интегралом также называется само выражение Ψ ( x1 , x2 ,, xn ) = C .§2. Общее решение линейного уравнения в частных производных.Теорема 1. Пусть выполнены условия (У1) и (У2).Тогда1)любое решение однородного уравнения (1) является первым интегралом системы (2);2)любой первый интеграл (2) является решением (1).Доказательство.1)Пусть функция z = Ψ ( x1 , x2 , , xn ) - решение уравнения (1), т.е.∂Ψ∂Ψ+ + Xn≡ 0 ∀( x1 , x2 , , xn ) ∈ D .∂x1∂xnВ силу (У2)∂Ψ dx1 ∂Ψ dx2∂Ψ dxnd++ +≡0 ⇒Ψ ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ,∂x1 dt ∂x2 dt∂xn dtdtи Ψ ( x1 , x2 , , xn ) есть первый интеграл системы (2).X12)Пусть Ψ ( x1 , x2 ,Ψ ( x1 (t ), x2 (t ),xn ( t ) ) ≡ 0 ⇒ Ψ ( x1 , x2 ,, xn ) = C, xn ) - первый интеграл (2), т.е. при всех t выполнено тождество, xn (t ) ) = C .
Дифференцируя его по t , получим∂Ψ dx1 ∂Ψ dx2∂Ψ dxn∂Ψ∂ΨX1++ +=0 ⇒+ + Xn≡ 0.∂x1 dt ∂x2 dt∂xn dt∂x1∂xnУказанное тождество выполняется вдоль характеристики. Так как в силу (У2) через каждуюточку D проходит характеристика, то последнее равенство выполняется тождественно в D, т.е.функция z = Ψ ( x1 , x2 , , xn ) – решение уравнения (1).Замечание. На каждой характеристике решение линейного уравнения (1) принимаетпостоянное значение.Теорема 2. Пусть известны n − 1 независимых первых интегралов системы (2)Ψ1 ( x1 , , xn ) = C1 ,… , Ψ n −1 ( x1 , , xn ) = Cn −1 ,причемD ( Ψ1 , , Ψ n −1 )≠ 0,D( x1 , , xn −1 )( x1 ,, xn ) ∈ D ., Ψ n −1 ) , где Φ - произвольнаяТогда общим решением уравнения (1) является z = Φ ( Ψ1,дифференцируемая функция n − 1 аргументов. Другими словами, общее решение уравнения (1)есть дифференцируемая функция n − 1 независимых первых интегралов системы (2).Доказательство.1)Докажем, что функция z = Ψ ( x1 , x2 , , xn ) удовлетворяет уравнению (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
