Глава 2a (1117542), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

В результате получим уравнение движения газа в форме Лагранжа:∂u ( x, t ) ∂p ( x, t )∂. ρ ( x, t )= −∂t ∂t ∂tУравнение непрерывности в форме ЛагранжаВыделим участок трубки между сечениями x и x + ∆x. Масса газа M , заключеннаямежду выделенными сечениями, не изменяется с течением времени. В положении равновесияM = S ∆x ρ0 . Рассмотрим момент времени t. Левое сечение займет положение x + u ( x, t ) , аправое x + ∆x + u ( x + ∆x, t ) . Еслиx - переменная Лагранжа, а ξ= x + u ( x, t ) -переменная Эйлера, то интегрируя по d ξ и применяя формулу среднего значения.

получимx +∆x + u ( x +∆x ,t )=M S∫x + u ( x ,t )ρ ( x,=t ) dξx +∆x + u ( x +∆x ,t )S∫x + u ( x ,t )ρ (ξ − u ( x,=t ) )d ξ u ( x + ∆x, t ) − u ( x, t ) = S ρ (ξ − u ( x , t ) , t ) ∆x 1 +,∆xгдеξ ∈ ( x + u ( x, t ) , x + ∆x + u ( x + ∆x, t ) ) , x= ξ − u ( x , t ) ∈ ( x, x + ∆x ) .Таким образом, получаем u ( x + ∆x, t ) − u ( x, t ) S ∆=x ρ0 S ρ ( x , t ) ∆x 1 +.∆xПереходя к пределу приЛагранжа∆x → 0 , получим уравнение неразрывности в=ρ0 ρ ( x, t ) (1 + u x ( x, t ) ) .формеТермодинамическое уравнение состоянияК полученным уравнениям необходимо добавить термодинамическое уравнение состояния(уравнение газового состояния).

Будем предполагать, что процесс колебания газа в трубкепроисходит без теплообмена с внешнейсредой, то есть является адиабатическим. УравнениеγСp ρ - показатель адиабаты.адиабаты имеет вид: p = p0   , где γ =ρCv 0Полная система уравнений газовой динамики в форме Лагранжа имеет следующий вид:( ρ ( x, t ) ut ( x, t ) ) = − px ( x, t ) ,t= ρ0 ρ ( x, t ) (1 + u x ( x, t ) ) ,γCp ρ =. ,γ0 p ( x, t ) p=Cv ρ0 Полученная система уравнений газовой динамики в форме Лагранжа является нелинейнойсистемой. В предположении малости колебаний проведем ее линеаризацию (отбрасываемыечлены отмечены красным цветом).а)ρ ( x, t ) = ρ0 + ρ ( x, t ) ⇒ ρ0 = ( ρ0 + ρ ( x, t ) ) (1 + u x ( x, t ) ) = ρ0 + ρ + ρ0u x + ρ u x ⇒ρ ( x, t ) + ρ0u x ( x, t ) =0.б)p ( x, t ) =p0 + p ( x, t ) , px ( x, t ) =p x ( x, t ) , ρ ( x, t ) =ρ 0 + ρ ( x, t ) , ρ t ( x, t ) =ρ t ( x, t ) ⇒− px ⇒ ρ t ut + ρ0utt + ρ utt =− p x ⇒ρt ut + ρ utt =ρ0utt ( x, t ) = − p x ( x, t ) .в)γγρ ( x, t ) ρ0 + ρ ( x.t )ρ ( x, t )  ρ  ρ ρ== 1+⇒   = 1 +  ≅ 1 + γ⇒ρ0ρ0ρ0ρ0 ρ0   ρ0 γρ ( x, t ) ρ ρ ρp = p0 + p = p0   ≅ p0 1 + γ.⇒ p ( x, t ) = γ p0 = p0 + γ p0ρ0 ρ0ρ0 ρ0 Полагаяa =γ2p0ρ0, получимp ( x, t ) = a 2 ρ ( x, t ) .Линеаризованная система:0, ρ ( x, t ) + ρ0u x ( x, t ) = ρ0utt ( x, t ) = − p x ( x, t ) ,p022=ρ ( x, t ) , a γp ( x, t ) a=ρ0.Уравнения для функций ρ , p, φ , v, u.Из линеаризованной системы уравнений газовой динамики можно получить уравнения дляфункций ρ , p, φ , v, u.

Покажем, что все они имеют видw tt = a w xx .2а) уравнение для плотности газа:ρtt =− ρ0u xtt , ρ0uttx =− p xx ⇒ ρ tt =p xx , p xx =a 2 ρ xx ⇒( )=ρtt a2 ρ xx , x ∈ 0, l , t ∈( 0, ∞ ) tt ρtt , ρ=ρ=ρ xx ⇒xx( )=ρtt a2 ρ xx , x ∈ 0, l , t ∈( 0, ∞ )б) уравнение для давления газа:1ρtt =a ρ xx , p ( x, t ) =a ρ ( x, t ) ⇒ p xx = ρ tt = 2 p tt ⇒a=p tt a2 p xx , x ∈ 0, l , t ∈ 0, ∞ ,2=ptt a2 pxx ,2( )x ∈( 0, l ) ,( )t ∈( 0, ∞ ) .в) уравнение для смещения частиц газа:ρ + ρ0u x = 0 ⇒ ρ x = − ρ0u xx , ρ0utt = − p x = −a ρ x ⇒ −2( )=utt a2uxx , x ∈ 0, l , t ∈( 0, ∞ ) .ρ0a2utt = − ρ0u xx ⇒г) уравнение для скорости газа:utt a u xx ⇒v=ut ,=2( )=vtt a2 v xx , x ∈ 0, l , t ∈( 0, ∞ ).д) уравнение для потенциала скоростей:v= φx , vtt= a v xx ⇒ φttx= a φxxx ⇒ (φtt − a φxx ) = 0.222xТак как φ ( x, t ) определяется с точностью до произвольной функции от0⇒φtt − a 2φxx =( )=φtt a2φxx , x ∈ 0, l , t ∈( 0, ∞ ).t , то:Граничные условияРассмотрим различные типы граничных условий на левом правом концах трубки.а) закрытые концы:α ) u ( 0, t )= 0, u ( l , t )= 0, t ∈ [ 0, ∞ ) ., t ) 0, t ∈ [ 0, ∞ ) .t ) 0, v ( l=β ) ut ( 0, t )= 0, ut ( l , t )= 0 ⇒ v ( 0,=γ ) utt ( 0, t ) = 0, utt ( l , t ) =− ρ0utt ( x, t ) ⇒ p x ( 0, t ) =− ρ0utt ( 0, t ) ,0, p x ( x, t ) =p x ( l , t ) = − ρ0utt ( l , t ) , =p x = px ⇒ px ( 0, t ) 0, px ( l , t ) = 0, t ∈ [ 0, ∞ ) .δ ) φx= v ⇒ φx ( 0, t )= 0, φx ( l , t )= 0, t ∈ [ 0, ∞ ) .1p x ⇒ ρ x ( 0, t )= 0, ρ x ( l , t )= 0, t ∈ [ 0, ∞ ) .ε ) p = a ρ ⇒ ρ x == ρ x2a2б) открытые концы:На концах трубки нет возмущения давления:( )( )1β ) p =a ρ ⇒ ρ=p ⇒ ρ ( 0, t ) =0, ρ ( l , t ) =0, t ∈ 0, ∞ );a1⇒ ux ( 0, t ) 0,=γ ) ρ +ρ u =− ρ =0⇒u =ux (l, t ) 0, t ∈ 0, ∞  ;ρδ ) v=u ⇒ v =u ⇒ v x ( 0, t ) = 0, v x (l , t )= 0, t ∈ 0, ∞ ) ;α)p ( 0, t )= p0 , p l, t = p0 , t ∈ 0, ∞ ) ; p ( 0, t )= 0, p l, t = 0, t ∈ 0, ∞ ) ;220 xx0txtxε ) v=ut =φx , ρ0utt -p x ⇒ ρ0φxt +p x =0 ⇒ ( ρ0φt +p ) x =0 ⇒ ρ0φt +p =f ( t ) .Так как f ( t ) определяется с точностью до произвольной функции отt , то получаем:0 ⇒ ϕt ( 0, t ) =0 ⇒ ϕ ( 0, t ) =A; ϕt ( l , t ) =0 ⇒ ϕ (l, t ) =B.ρ0φt =− p ; p ( 0, t ) =Учитывая специфику φ , можно положить:A= 0, B= 0 ⇒φ  0,t = 0, φ  l, t = 0, t ∈ 0, ∞ .в) концы трубки закрыты поршнями:α)Рассмотримлевыйконецтрубки.Пустьприx=0в трубку вставленгазонепроницаемый поршенёк с пренебрежимо малой массой, насаженный на пружинку скоэффициентом жесткостиν и скользящим внутри трубки без трения.

Пружинка будет действоватьна поршенёк с добавочной силой упругости, равной −ν u ( 0, t ) при отклонении поршенька, равномu. Речь идет о добавочной силе упругости, так как в положении равновесия на поршенёк ужедействует сила упругости, уравновешивающая невозмущенное давление p0. .Рассмотрим участок трубки, длиной ∆x, расположенный между сечениями x = 0 и x = ∆x.В сеченииупругостиx = 0 действует сила упругости −ν u ( 0, t ) + p0 S ,− p ( ∆x, t ) S .а в сечении x = ∆x силаЗапишем закон изменения количества движения выделенного участка трубки по действиемсил упругости:∆xs ∫ { ρ (ξ , t + ∆t ) ut (ξ , t + ∆t ) − ρ (ξ , t ) ut (ξ , t )} d ξ =0t +∆t=∫ {−ν u ( 0,τ ) + p S − p ( ∆x,τ ) S }dτ .0tПрименим к последней формуле формулу среднего значения:S { ρ ( x , t + ∆t ) ut ( x , t + ∆t ) − ρ ( x , t ) ut ( x , t )} ∆x ==−{ ν u ( 0, t ) + p0 S − p ( ∆x, t ) S } ∆t.Поделим обе части последнего равенства на ∆t и перейдем к пределу при ∆t → 0 :S ( ρ ( x , t ) ut ( x , t ) )t ∆x =−ν u ( 0, t ) + p0 S − ( p0 + p ( ∆x.t ) S ) .Перейдем к пределу при ∆x → 0 :0=−ν u ( 0, t ) + p0 S − p0 S − p ( ∆x, t ) S ⇒ p ( 0, t ) +p ( 0, t ) = −a ρ0u x ( 0, t ) ⇒ a = γ22p0ρ0νSu ( 0, t ) =⇒0⇒ −γ p0u x ( 0, t ) +νSu ( 0, t ) = 0.Положив h =Робена:ν, получим однородное граничное условие третьего рода - условиеS γ p0u x ( 0, t ) − hu ( 0, t )= 0, t ∈ [ 0, ∞ ) .На правом конце аналогично получается однородное условие Робена:u x ( l , t ) + hu ( l , t ) = 0, t ∈ [ 0, ∞ ) .β ) Так как v = ut , то из полученных в пункте α ) формул сразу следуют условия:v x ( 0, t ) − h v ( 0, t )= 0, t ∈ [ 0, ∞ ) ,νv x ( l , t ) + h v ( l , t )= 0, t ∈ [ 0, ∞ ) , h =.S γ p0γ ) Имеем цепочку формул:0 u xtt − hutt =0; ρ + ρ0u x =⇒0 u xtt =u x − hu =⇒−1ρ0ρtt − hp xx = 0; p = a 2 ρ ⇒ ρtt − a 2 hρ xx = 0; h = a 2 h = γρtt ; ρ0utt =− px ⇒ utt =−1ρ0ρtt ⇒νν; ρ tt = ρtt , ρ xx = ρ xx ⇒=ρ0 Sγ p0 S ρ0p0ρtt − h ρ xx = 0, x= 0, t ∈ 0, ∞ ) ,ρtt + h ρ xx = 0, x = l, t ∈ 0, ∞  , h =ν .S ρ0δ ) Так как ρtt − h ρ xx =0, p =a 2 ρ ⇒ptt − hpxx= 0, x= 0, t ∈ 0,∞ ,ν.ptt + hpxx = 0, x = l, t ∈ 0,∞ , h =S ρ0ε ) Так какρ0φt =− p , ptt − hpxx =0 ⇒ (φtt − h φxx ) =0, то, учитывая свойстваtпотенциальной функцииφ , получим граничные условия:φtt − h φxx = 0, x= 0, t ∈ [ 0, ∞ ) ,νφtt + h φxx = 0, x = l , t ∈ [ 0, ∞ ) , h =.S ρ0.

Характеристики

Список файлов лекций