Глава 2a (1117542), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Формулы Остроградского имеют следующий вид:∫p cos ( n, x ) dσ =∂p∫∆V ∂x dV ,∫p cos ( n, y )dσ =∂p∫∆V ∂y dV ,∫∂pp cos ( n, z )dσ = ∫ dV .∂z∆V∆S∆S∆SПоскольку pn = p cos ( n, x ) i + p cos ( n, y ) j = p cos ( n, z ) k , где i, j, k − единичныевекторы ортонормированного базиса, то, умножая первую формулу на вектор i, вторую навектор j, а третью на вектор k и складывая, получим формулу− ∫ pndσ =− ∫ grad p dV .∆S∆VУравнение движения для объема газа∆V :∂V− ∫ grad p dV + ∫ ρ FdV .∫∆V ρ ∂t dV =∆V∆V∂VПри вычислении ускорения ∂t некоторой частиц газа нужно учесть перемещение самойэтой частицы.
Траектории отдельных частиц определяются уравнениямиоткуда∂x∂y∂z= v=v=vz ,x,y,∂t∂t∂tdV ∂V ∂V dx ∂V dy ∂V dz= +++=dt∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt∂V ∂V∂V∂V∂V=+vx +vy +vz =+ ( V∇ ) V.∂t ∂x∂y∂z∂tОператорV∇ определяется следующим образом∂∂∂V=∇ vx+ vy+ vz .∂x∂y∂zПредполагая, что функции, входящие в интегральную формулу, являютсядостаточногладкими, применяя формулу среднего значения и переходя к пределу, стягивая объем в точку,получим уравнение движения газа форме Эйлера1Vt + ( V∇ ) V =− grad p + F.ρУравнение непрерывности. Выражает закон охранения вещества. Если в выделенномобъеме ∆V отсутствуют источники и стоки тепла, то изменение в единицу времени количествагаза, заключенного внутри выделенного объема, равно потоку газа через границу:dρ dV = − ∫ ρ Vndσ .dt ∆∫V∆SПреобразуя правую часть по формуле Остроградского – Гаусса∫ ρ Vndσ = ∫ div ( ρ V )dV ,∆Sполучим∆V ∂ρ+ρdivV0.( ) dV =∫∆V ∂tПрименяя формулу среднего значения и переходя к пределу, получим уравнениенепрерывности∂ρ∂t+ div ( ρ V ) =0.Термодинамическое уравнение состояния.
В наиболее общем виде имеет видp = C (ρ ),где С ( ρ ) - заданная функция.В результате получается замкнутая система из пяти скалярных уравнений относительно пятинеизвестных функцийvx , v y , vz , p, ρ − система уравнений газовой динамики1 ∂V ∂t + ( V∇ ) V =F − ρ grad p, ∂ρ0, + div ( ρ V ) = ∂t p = C ( ρ ).Колебательные движения газа с малыми амплитудами называются звуковыми волнами. Вкаждой точке звуковой волны происходит поперечное сжатие и разрежение газа.В силу малости колебаний в звуковой волне скорость V ней мала, так что в первомуравнении системы можно пренебречь членами второго порядка вида∂vxт.д.vx∂xОтносительные изменения плотности и давления газа также малы.
Положим:p (M ,t) =p0 ( M ) + p, ρ ( M , t ) =ρ0 + ρ , p p0 , ρ ρ0 .Здесь p0 ( M ) , ρ0 ( M ) - равновесные значения давления и плотности газа, а величиныp (M ,t), ρ (M ,t)- их изменения в звуковой волне.Величина p ( M , t ) называется звуковым давлением.Линеаризованная система уравнений. Пренебрегая в системе уравнений газодинамикичленами второго порядка, получим линеаризованную систему уравнений газодинамики.Функцию С ( ρ ) разложим в ряд по степенямρи учтем члены первого порядка:p0 +=p C ( ρ0 ) + C ′ ( ρ0 ) ρ . Так как p0 = C ( ρ0 ) ,то p = C ′ ( ρ ) ρ .Замкнутая система малых акустических колебаний в сплошной среде имеет вид: ∂V− grad p + ρ0 F, ρ0 ∂t = ∂ρ0, + div ( ρ0 V ) = ∂t p = C′ ( ρ ) ρ .Уравнение второго порядка относительно функции ρ . Продифференцируем второеуравнение системы по t : ρtt + div ( ρ 0 Vt ) =0 и подействуем оператором div на первоеуравнение системы: div ( ρ 0 Vt ) =−div grad p + div ( ρ0 F ) .Из третьего уравнения системы в линейном приближении получим:grad p = C ′ ( ρ0 ) grad ρ .Обозначим k ( M ) = C ′ ( ρ 0 ) , f ( M , t ) = − div ( ρ 0 F ) .
Тогда из трех последних уравненийполучаем уравнение второго порядка относительно функции ρ ( M , t ) :=ρtt div ( k ( M ) grad ρ ) + f ( M , t ) .Это уравнение является уравнением колебаний в трехмерном случае. Оно часто называетсяуравнением акустики. ρ γВ случае адиабатического процесса уравнение газового состояния имеет вид: p = p0 ,сp, c p - теплоемкость при постоянном ρ0 где постоянная γ - показатель адиабаты, γ =давлении,cVсV - теплоемкость при постоянном объёме.Линейное приближение:γ ρ ρ p = p0 + p = p0 ≅ p0 1 + γ,ρ0 ρ0 откудаp =γp0ρ0ρ,p0 ( M )и k (M ) = γ.ρ0 ( M )8) Динамика несжимаемой жидкостиПолученная система уравнений газодинамики описывает не только динамику газа, но идвижение жидкости, то есть является и системой уравнений гидродинамики. Будемрассматривать идеальную жидкость, то есть жидкость, в которой отсутствуют силывнутренней вязкости.В случае однородной среды =ρ ρ=const несжимаемой жидкости уравнения имеют вид:01 ∂V ∂t + ( V∇ ) V =F − ρ ∇p,0div ( V ) = 0.Последнее уравнение есть условие несжимаемости, то есть условие сохранение объемажидкости.Пусть внешняя сила потенциальнаяF=−1ρ0∇U ,где U ( x, y, z , t ) - некоторая скалярная функция, и рассматривается потенциальное движениежидкости, для которого вектор скоростиV может быть также представлен в виде градиентапо пространственным переменным некоторой скалярной функции Φ ( x, y, z , t ) , называемаяпотенциалом скоростей,V = ∇Φ.Первое уравнение системы приобретает вид∂Φ 11∇+ ∇p + ( ∇Φ∇ ) ∇Φ + ∇U = 0.∂t ρ0ρ0С помощью очевидного равенствапоследнее уравнение можно переписать в видеоткуда получается интеграл Бернулли-Коши21∇Φ∇∇Φ=∇∇Φ)(,2 ∂Φ 111 2p = 0,∇+ ∇Φ + U +ρ0ρ0 ∂t 211∂Φ 12p = С (t ).+ ∇Φ + U +ρ0ρ0∂t 2C помощью интеграла Бернулли-Коши давление p ( x, y, z , t ) определяется через потенциалскоростей Φ ( x, y, z , t ) с точностью до произвольной функции С ( t ) одной и той же для всегообъема жидкости.Для потенциалаΦ из второго уравнения системы получаем уравнение Лапласа:div ( V== 0.) div ( ∇Φ=) 0 ⇒ ∆ΦИнтеграл Бернулли-Коши и уравнение Лапласа описывают данный класс потенциальныхдвижений идеальной несжимаемой жидкости.Для однозначного определения потенциала скоростей уравнение Бернулли-Коши нужнодополнить начальными и граничными условиями.
Если стенка S твердая, то естественноеграничное условие равенства нулю нормальной составляющей скорости приводит коднородному граничному условию второго рода (условию Неймана):∂Φ= 0,∂n sгдеnt ∈ [0, ∞),- вектор нормали к поверхности S.На свободной поверхности жидкости граничное условие становится гораздо более сложным.Пусть в равновесном состоянии свободная поверхность жидкости совпадает с плоскостью z = 0декартовой прямоугольной системы координат ( x, y, z ) . Тогда в процессе движения свободнаяповерхность жидкости будет описываться неизвестной функциейz = η ( x, y, t ) . Граничныеусловия на этой поверхности должны устанавливать связь между функциямиΦ ( x, y, t ) z =η( x , y ,t )η ( x, y , t ) и.
Так как на свободной поверхности функция ς ( x, у=, z , t ) η ( x, y,=t ) − z 0,.то будет равно нулю и ее полная производная по времениd ς ∂ς ∂ς dx ∂ς dy ∂ς dz0.= +++=dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt∂ς ∂η∂x ∂y ∂z=Поскольку V = , , и, то последнее уравнение принимает вид:∂t∂t ∂t ∂t ∂t ∂η+ V∇ς =0.∂tУчитывая, что V = ∇Φ, первое (кинематическое) условие на свободной поверхностипринимает вид ∂η= 0, + Φ xη x + Φ yη y − Φ z ∂t z =η ( x , y ,t )t ∈ [0, ∞).Второе (динамическое) условие получим из интеграла Бернулли-Коши. Будем рассматриватьслучай, когда внешней силой является сила тяжести.
Тогда потенциал внешней силы имеет видU = gz , где g – ускорение силы тяжести. Условие равенства давления жидкости на свободнойповерхности заданному внешнему давлению (например, атмосферному) p0 ( x, y, t )используя интеграл Бернулли-Коши, можно записать в видеz =η ( x , y ,t ), ∂Φ 1p0g2+ ∇Φ + η ( x, y, t ) = − ( x, y, z , t ) z =η x , y ,t()ρ0ρ0 ∂t 2 z =η ( x , y ,t )Заметим, что полученное условие оказывается нелинейным, что сильно усложняет решениесоответствующих задач.Кроме граничных условий должны быть поставлены начальные условия:Φ ( x, y , z , t ) t = 0 = Φ 0 ( x, y , z ) ,η ( x, y , t ) t = 0 = η 0 ( x, y , t ) .9) Малые продольные колебания газа в трубкеПусть заключенный в цилиндрической трубке идеальный газ совершает малые продольныеколебания.
Сделаем следующие предположения: 1) поперечные сечения, состоящие изчастиц газа, не деформируются; 2) все частицы газа двигаются параллельно оси цилиндра.При описании процесса колебаний газа будем использовать переменные Лагранжа.Введем следующие обозначения:ρ ( x, t ) − плотность газа, p ( x, t ) −давление газа,φ ( x, t ) −потенциал скоростей газа,v ( x, t ) − скорость газа, u ( x, t ) − продольное отклонение частиц газа, S – площадьсечения трубки.Пусть p0 и ρ 0 - давление и плотность в невозмущенном состоянии, а p ( x, t ) и ρ ( x, t ) возмущения давления и плотности:p ( x, t ) =p ( x, t ) − p0 , ρ ( x, t ) =ρ ( x, t ) − ρ 0 .Для описания процесса колебания газа в трубке можно воспользоваться переменными Эйлера, илипеременными Лагранжа. Напомним, что в переменных Эйлера каждая физическая точка стержня вразные моменты времени характеризуетcя координатой x(t).
В переменных Лагранжа каждая физическаяточка стержня в течение всего процесса характеризуетcя одной и той же геометрической координатой x,которую эта точка имела в положении равновесия.Физическая точка, занимавшая в начальный момент (в состоянии равновесия) положение х, в любойпоcледующий момент времени находится в точке с координатой Х=х+u(х, t), где X – переменная Эйлера.Связь между переменными Лагранжа и Эйлера имеет вид: х=Х+U(X,t).В предыдущих разделах мы получили систему уравнений газовой динамики в формеЭйлера.Получим теперь систему уравнений газовой динамики (уравнение движения газа, уравнениенепрерывности, термодинамическое уравнение состояния) в форме Лагранжа.Уравнение движения газа в форме ЛагранжаДля получения уравнения движения газа используем закон об изменении количествадвижения. Направим ось Ох вдоль оси трубки.
Силой давления p называется проекция на осьОх силы p , с которой часть газа, лежащая правее выделенного сечения, действует на частьгаза, лежащую левее выделенного сечения. Выделим участок трубки, расположенный междусечениямиxиx + ∆x. Изменение количества движения выделенного участка равноимпульсу действующей силы (S – площадь сечения трубки):x +∆xS∫ {ρ (ξ , t + ∆t ) u (ξ , t + ∆t ) − ρ (ξ , t ) u (ξ , t )}dξ =ttxt +∆t= −S∫ { p ( x + ∆x,τ ) − p ( x,τ )}dτ .tПредполагая, что входящие в предыдущую формулу функции обладают достаточнойгладкостью( ρ ( x, t ) ∈ C [ x, x + ∆x ] , u ( x, t ) ∈ C ( 2) [ x, x + ∆x ] , p ( x, t ) ∈ C (1) [ x, x + ∆x ] ),применим формулу среднего значения:S { ρ ( x , t + ∆t ) ut ( x , t + ∆t ) − ρ ( x , t ) ut ( x , t )} ∆x = − S { p ( x + ∆x,τ ) − p ( x,τ )} ∆t ,гдеx ∈ [ x, x + ∆x ] , t ∈ [t , t + ∆t ] .Разделим в последней формуле обе части на произведение∆x ∆tи перейдем к пределу при∆x → 0, ∆t → 0.