Глава 2a (1117542), страница 4

Файл №1117542 Глава 2a (А.Н. Боголюбов - Презентации лекций) 4 страницаГлава 2a (1117542) страница 42019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Формулы Остроградского имеют следующий вид:∫p cos ( n, x ) dσ =∂p∫∆V ∂x dV ,∫p cos ( n, y )dσ =∂p∫∆V ∂y dV ,∫∂pp cos ( n, z )dσ = ∫ dV .∂z∆V∆S∆S∆SПоскольку pn = p cos ( n, x ) i + p cos ( n, y ) j = p cos ( n, z ) k , где i, j, k − единичныевекторы ортонормированного базиса, то, умножая первую формулу на вектор i, вторую навектор j, а третью на вектор k и складывая, получим формулу− ∫ pndσ =− ∫ grad p dV .∆S∆VУравнение движения для объема газа∆V :∂V− ∫ grad p dV + ∫ ρ FdV .∫∆V ρ ∂t dV =∆V∆V∂VПри вычислении ускорения ∂t некоторой частиц газа нужно учесть перемещение самойэтой частицы.

Траектории отдельных частиц определяются уравнениямиоткуда∂x∂y∂z= v=v=vz ,x,y,∂t∂t∂tdV ∂V ∂V dx ∂V dy ∂V dz= +++=dt∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt∂V ∂V∂V∂V∂V=+vx +vy +vz =+ ( V∇ ) V.∂t ∂x∂y∂z∂tОператорV∇ определяется следующим образом∂∂∂V=∇ vx+ vy+ vz .∂x∂y∂zПредполагая, что функции, входящие в интегральную формулу, являютсядостаточногладкими, применяя формулу среднего значения и переходя к пределу, стягивая объем в точку,получим уравнение движения газа форме Эйлера1Vt + ( V∇ ) V =− grad p + F.ρУравнение непрерывности. Выражает закон охранения вещества. Если в выделенномобъеме ∆V отсутствуют источники и стоки тепла, то изменение в единицу времени количествагаза, заключенного внутри выделенного объема, равно потоку газа через границу:dρ dV = − ∫ ρ Vndσ .dt ∆∫V∆SПреобразуя правую часть по формуле Остроградского – Гаусса∫ ρ Vndσ = ∫ div ( ρ V )dV ,∆Sполучим∆V ∂ρ+ρdivV0.( ) dV =∫∆V  ∂tПрименяя формулу среднего значения и переходя к пределу, получим уравнениенепрерывности∂ρ∂t+ div ( ρ V ) =0.Термодинамическое уравнение состояния.

В наиболее общем виде имеет видp = C (ρ ),где С ( ρ ) - заданная функция.В результате получается замкнутая система из пяти скалярных уравнений относительно пятинеизвестных функцийvx , v y , vz , p, ρ − система уравнений газовой динамики1 ∂V ∂t + ( V∇ ) V =F − ρ grad p, ∂ρ0, + div ( ρ V ) = ∂t p = C ( ρ ).Колебательные движения газа с малыми амплитудами называются звуковыми волнами. Вкаждой точке звуковой волны происходит поперечное сжатие и разрежение газа.В силу малости колебаний в звуковой волне скорость V ней мала, так что в первомуравнении системы можно пренебречь членами второго порядка вида∂vxт.д.vx∂xОтносительные изменения плотности и давления газа также малы.

Положим:p (M ,t) =p0 ( M ) + p, ρ ( M , t ) =ρ0 + ρ , p  p0 , ρ  ρ0 .Здесь p0 ( M ) , ρ0 ( M ) - равновесные значения давления и плотности газа, а величиныp (M ,t), ρ (M ,t)- их изменения в звуковой волне.Величина p ( M , t ) называется звуковым давлением.Линеаризованная система уравнений. Пренебрегая в системе уравнений газодинамикичленами второго порядка, получим линеаризованную систему уравнений газодинамики.Функцию С ( ρ ) разложим в ряд по степенямρи учтем члены первого порядка:p0 +=p C ( ρ0 ) + C ′ ( ρ0 ) ρ . Так как p0 = C ( ρ0 ) ,то p = C ′ ( ρ ) ρ .Замкнутая система малых акустических колебаний в сплошной среде имеет вид: ∂V− grad p + ρ0 F, ρ0 ∂t = ∂ρ0, + div ( ρ0 V ) = ∂t p = C′ ( ρ ) ρ .Уравнение второго порядка относительно функции ρ . Продифференцируем второеуравнение системы по t : ρtt + div ( ρ 0 Vt ) =0 и подействуем оператором div на первоеуравнение системы: div ( ρ 0 Vt ) =−div grad p + div ( ρ0 F ) .Из третьего уравнения системы в линейном приближении получим:grad p = C ′ ( ρ0 ) grad ρ .Обозначим k ( M ) = C ′ ( ρ 0 ) , f ( M , t ) = − div ( ρ 0 F ) .

Тогда из трех последних уравненийполучаем уравнение второго порядка относительно функции ρ ( M , t ) :=ρtt div ( k ( M ) grad ρ ) + f ( M , t ) .Это уравнение является уравнением колебаний в трехмерном случае. Оно часто называетсяуравнением акустики. ρ γВ случае адиабатического процесса уравнение газового состояния имеет вид: p = p0  ,сp, c p - теплоемкость при постоянном  ρ0 где постоянная γ - показатель адиабаты, γ =давлении,cVсV - теплоемкость при постоянном объёме.Линейное приближение:γ ρ ρ p = p0 + p = p0   ≅ p0 1 + γ,ρ0  ρ0 откудаp =γp0ρ0ρ,p0 ( M )и k (M ) = γ.ρ0 ( M )8) Динамика несжимаемой жидкостиПолученная система уравнений газодинамики описывает не только динамику газа, но идвижение жидкости, то есть является и системой уравнений гидродинамики. Будемрассматривать идеальную жидкость, то есть жидкость, в которой отсутствуют силывнутренней вязкости.В случае однородной среды =ρ ρ=const несжимаемой жидкости уравнения имеют вид:01 ∂V ∂t + ( V∇ ) V =F − ρ ∇p,0div ( V ) = 0.Последнее уравнение есть условие несжимаемости, то есть условие сохранение объемажидкости.Пусть внешняя сила потенциальнаяF=−1ρ0∇U ,где U ( x, y, z , t ) - некоторая скалярная функция, и рассматривается потенциальное движениежидкости, для которого вектор скоростиV может быть также представлен в виде градиентапо пространственным переменным некоторой скалярной функции Φ ( x, y, z , t ) , называемаяпотенциалом скоростей,V = ∇Φ.Первое уравнение системы приобретает вид∂Φ 11∇+ ∇p + ( ∇Φ∇ ) ∇Φ + ∇U = 0.∂t ρ0ρ0С помощью очевидного равенствапоследнее уравнение можно переписать в видеоткуда получается интеграл Бернулли-Коши21∇Φ∇∇Φ=∇∇Φ)(,2 ∂Φ 111 2p  = 0,∇+ ∇Φ + U +ρ0ρ0  ∂t 211∂Φ 12p = С (t ).+ ∇Φ + U +ρ0ρ0∂t 2C помощью интеграла Бернулли-Коши давление p ( x, y, z , t ) определяется через потенциалскоростей Φ ( x, y, z , t ) с точностью до произвольной функции С ( t ) одной и той же для всегообъема жидкости.Для потенциалаΦ из второго уравнения системы получаем уравнение Лапласа:div ( V== 0.) div ( ∇Φ=) 0 ⇒ ∆ΦИнтеграл Бернулли-Коши и уравнение Лапласа описывают данный класс потенциальныхдвижений идеальной несжимаемой жидкости.Для однозначного определения потенциала скоростей уравнение Бернулли-Коши нужнодополнить начальными и граничными условиями.

Если стенка S твердая, то естественноеграничное условие равенства нулю нормальной составляющей скорости приводит коднородному граничному условию второго рода (условию Неймана):∂Φ= 0,∂n sгдеnt ∈ [0, ∞),- вектор нормали к поверхности S.На свободной поверхности жидкости граничное условие становится гораздо более сложным.Пусть в равновесном состоянии свободная поверхность жидкости совпадает с плоскостью z = 0декартовой прямоугольной системы координат ( x, y, z ) . Тогда в процессе движения свободнаяповерхность жидкости будет описываться неизвестной функциейz = η ( x, y, t ) . Граничныеусловия на этой поверхности должны устанавливать связь между функциямиΦ ( x, y, t ) z =η( x , y ,t )η ( x, y , t ) и.

Так как на свободной поверхности функция ς ( x, у=, z , t ) η ( x, y,=t ) − z 0,.то будет равно нулю и ее полная производная по времениd ς ∂ς ∂ς dx ∂ς dy ∂ς dz0.= +++=dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt∂ς ∂η∂x ∂y ∂z=Поскольку V =  , ,  и, то последнее уравнение принимает вид:∂t∂t ∂t ∂t ∂t ∂η+ V∇ς =0.∂tУчитывая, что V = ∇Φ, первое (кинематическое) условие на свободной поверхностипринимает вид ∂η= 0, + Φ xη x + Φ yη y − Φ z ∂t z =η ( x , y ,t )t ∈ [0, ∞).Второе (динамическое) условие получим из интеграла Бернулли-Коши. Будем рассматриватьслучай, когда внешней силой является сила тяжести.

Тогда потенциал внешней силы имеет видU = gz , где g – ускорение силы тяжести. Условие равенства давления жидкости на свободнойповерхности заданному внешнему давлению (например, атмосферному) p0 ( x, y, t )используя интеграл Бернулли-Коши, можно записать в видеz =η ( x , y ,t ), ∂Φ 1p0g2+ ∇Φ + η ( x, y, t ) = − ( x, y, z , t ) z =η x , y ,t()ρ0ρ0 ∂t 2 z =η ( x , y ,t )Заметим, что полученное условие оказывается нелинейным, что сильно усложняет решениесоответствующих задач.Кроме граничных условий должны быть поставлены начальные условия:Φ ( x, y , z , t ) t = 0 = Φ 0 ( x, y , z ) ,η ( x, y , t ) t = 0 = η 0 ( x, y , t ) .9) Малые продольные колебания газа в трубкеПусть заключенный в цилиндрической трубке идеальный газ совершает малые продольныеколебания.

Сделаем следующие предположения: 1) поперечные сечения, состоящие изчастиц газа, не деформируются; 2) все частицы газа двигаются параллельно оси цилиндра.При описании процесса колебаний газа будем использовать переменные Лагранжа.Введем следующие обозначения:ρ ( x, t ) − плотность газа, p ( x, t ) −давление газа,φ ( x, t ) −потенциал скоростей газа,v ( x, t ) − скорость газа, u ( x, t ) − продольное отклонение частиц газа, S – площадьсечения трубки.Пусть p0 и ρ 0 - давление и плотность в невозмущенном состоянии, а p ( x, t ) и ρ ( x, t ) возмущения давления и плотности:p ( x, t ) =p ( x, t ) − p0 , ρ ( x, t ) =ρ ( x, t ) − ρ 0 .Для описания процесса колебания газа в трубке можно воспользоваться переменными Эйлера, илипеременными Лагранжа. Напомним, что в переменных Эйлера каждая физическая точка стержня вразные моменты времени характеризуетcя координатой x(t).

В переменных Лагранжа каждая физическаяточка стержня в течение всего процесса характеризуетcя одной и той же геометрической координатой x,которую эта точка имела в положении равновесия.Физическая точка, занимавшая в начальный момент (в состоянии равновесия) положение х, в любойпоcледующий момент времени находится в точке с координатой Х=х+u(х, t), где X – переменная Эйлера.Связь между переменными Лагранжа и Эйлера имеет вид: х=Х+U(X,t).В предыдущих разделах мы получили систему уравнений газовой динамики в формеЭйлера.Получим теперь систему уравнений газовой динамики (уравнение движения газа, уравнениенепрерывности, термодинамическое уравнение состояния) в форме Лагранжа.Уравнение движения газа в форме ЛагранжаДля получения уравнения движения газа используем закон об изменении количествадвижения. Направим ось Ох вдоль оси трубки.

Силой давления p называется проекция на осьОх силы p , с которой часть газа, лежащая правее выделенного сечения, действует на частьгаза, лежащую левее выделенного сечения. Выделим участок трубки, расположенный междусечениямиxиx + ∆x. Изменение количества движения выделенного участка равноимпульсу действующей силы (S – площадь сечения трубки):x +∆xS∫ {ρ (ξ , t + ∆t ) u (ξ , t + ∆t ) − ρ (ξ , t ) u (ξ , t )}dξ =ttxt +∆t= −S∫ { p ( x + ∆x,τ ) − p ( x,τ )}dτ .tПредполагая, что входящие в предыдущую формулу функции обладают достаточнойгладкостью( ρ ( x, t ) ∈ C [ x, x + ∆x ] , u ( x, t ) ∈ C ( 2) [ x, x + ∆x ] , p ( x, t ) ∈ C (1) [ x, x + ∆x ] ),применим формулу среднего значения:S { ρ ( x , t + ∆t ) ut ( x , t + ∆t ) − ρ ( x , t ) ut ( x , t )} ∆x = − S { p ( x + ∆x,τ ) − p ( x,τ )} ∆t ,гдеx ∈ [ x, x + ∆x ] , t ∈ [t , t + ∆t ] .Разделим в последней формуле обе части на произведение∆x ∆tи перейдем к пределу при∆x → 0, ∆t → 0.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
455,78 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6513
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее