Глава 2a (1117542), страница 2

Файл №1117542 Глава 2a (А.Н. Боголюбов - Презентации лекций) 2 страницаГлава 2a (1117542) страница 22019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для определенности будем рассматривать левый конец стержняx = 0.а) Граничные условия первого рода – граничные условия Дирихле. С физической точкизрения левый конец стержня может находиться в различных условиях: он может быть жесткозакреплен (стержень заделан в стену) или же двигаться по определенному закону (стерженьжестко прикреплен к плите, совершающей заданное движение). Математически это условиезаписывается такгдеu ( 0,=t ) µ ( t ) , t ∈ [ 0, ∞),µ ( t ) −заданная функция.При µ = 0 получается однородное условие Дирихле, а при µ ≠ 0 − неоднородное условиеДирихле.б) Граничные условия второго рода – граничные условия Неймана.

Если задан законизменения силы f ( t ) , приложенной к левому концуx=0стержня и действующей впродольном направлении, то, используя закон Гука, граничный режим на этом конце можнозаписать следующим образом ( k ( x ) − коэффициент упругости стержня):k ( 0 ) u x ( 0, t ) = f ( t )илигде=ν (t )u x (=0, t ) ν ( t ) ,1k ( 0)Неймана, а приt ∈ [ 0, ∞),f ( t ) − заданная функция. При ν = 0 получается однородное условиеν ≠ 0 − неоднородное условие Неймана.

Однородное условие Нейманаозначает, что левый конец стержня свободен, к нему не приложена сила.в) Граничные условия третьего рода – граничные условия Робена. Предположим, чтолевый конец стержня закреплен упруго, например, с помощью пружины, коэффициентжесткости которой равенα .

Согласнозакону Гука, сила упругости, которая стремитсявернуть левый конец стержня в положение равновесия, пропорциональна смещениюu ( 0, t ) .Граничный режим можно записать следующим образом:k ( 0 ) u x ( 0, t ) = α u ( 0, t )илигдеu x ( 0, t ) − hu ( 0, t )= 0, t ∈ [ 0, ∞),h = α / k ( 0 ) . Построенное граничное условие называется однородным граничнымусловием третьего рода, или однородным граничным условием Робена.На левом конце стержня можно задать комбинацию упругого закрепления и смещения.Стержень с помощью пружин может быть прикреплен к плите,котораяпараллельно стержню по некоторому закону, определенному функциейперемещаетсяν ( t ) .

В этом случаеполучается граничное условие следующего видаk ( 0 )=u x ( 0, t ) α (u ( 0, t ) −ν ( t ))илигдеu x ( 0, t ) − hu ( 0,=t ) µ ( t ) , t ∈ [ 0, ∞),αµ (t ) =−hν ( t ) , h =. Построенное условиеk ( 0)называетсяграничнымнеоднородным условием третьего рода или граничным неоднородным условием Робена.г) Более сложные виды граничных условий. Физическая постановка задачи можетприводить к более сложным граничным условиям, в частности.

нелинейным.а) Нелинейные граничные условия возникают, например, при упругом закреплении, неподчиняющемся закону Гука. Если натяжение на левом конце стержня является нелинейнойфункцией смещенияu ( 0, t ) , то граничное условие примет видu x ( 0, t ) =1P u ( 0, t )  ,k ( 0)где P u ( 0, t )  определяет упругую силу, приложенную к левому концу стержня идействующую в продольном направлению.

Например,u x ( 0, t ) =1 2u ( 0, t ) .k ( 0)В граничное условие могут входить производные функции по времени. Например, еслилевый конец стержня испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости егодвижения, граничное условие записывается в видеk ( 0 )=u x ( 0, t ) α ut ( 0, t ) , t ∈ [ 0, ∞).гдеα - коэффициент сопротивления среды.Граничные условия могут содержать производные порядков выше первого. Пусть упругийстержень расположен вертикально и верхний его конец закреплен неподвижно – заделан впотолок. К нижнему концу стержня прикреплен массивный абсолютно недеформируемый грузМ, который находится на площадке и не растягивает и не сжимает стержень.

В начальныймомент времениt = 0 площадку убирают. Предположим, что масса стержняменьше масс груза М. Будем пренебрегать действием силы тяжести на стержень.mмногоНаправим ось х вдоль стержня, так что верхний конец имеет абсциссуx = 0.верхнем конце стержня граничным условием будет однородное условие Дирихлеu ( 0, t )= 0, t ∈ [ 0, ∞),а граничное условие на нижнем конце имеет видmutt ( l , t ) =−k ( l ) u x ( l , t ) + Mg ,гдеS − площадь поперечного сечения стержня.Тогда на3) Малые поперечные колебания упругой струныПусть в состоянии равновесия струна длины lположение от точкиx=0расположена вдоль осиxи занимаетдо точки x = l .

Рассматриваются малые поперечные колебанияструны, причем перемещения струны расположены в одной плоскости. Процесс колебанияструны можно описать с помощью функцииu ( x, t ) , представляющей собой поперечноесмещение точки струны с координатой x в момент времениt.Струна рассматривается как гибкая нить, не оказывающая сопротивление изгибу, нооказывающая сопротивление растяжению.Возникающие в рассматривающем случае напряжения направлены по касательной к еемгновенному профилю.Так как рассматриваются малые колебания, то возникающие в струне напряженияопределяются законом Гука.2u(В силу малости колебаний будем учитывать только члены первого порядкаx ( x, t )  1).Подсчитаем удлинение участка струныучастка равнаx +∆x=∆S∫( x, x + ∆x )в момент времени t. Длина дуги этого1 + u x2 ( x, t ) dx ≅ ∆x.xСледовательно, в пределах принятой точности удлинения участка струны в процессеколебаний не происходит.В силу закона Гука величина натяжения Т в каждой точке не изменяется со временем.Проекция натяжения на осиxиu приучете членов только первого порядка малостиравныTx T ( x==) cos αT ( x)1+ u2x≅ T ( x),Tu = T ( x ) sin α ≅ T ( x ) tgα = T ( x ) u x ,где α - угол между касательной к кривой u ( x, t ) при фиксированном значении t и осью x.,Так как учитываются только поперечные колебания, то следует учитывать силы инерции ивнешние силы, направленные лишь вдоль осина выделенный участок струныu.

Поэтому сумма проекций сил, действующих( x, x + ∆x ) вдоль оси x, равна Tx ( x ) − Tx ( x + ∆x ) =0.x ) T ( x + ∆x ) .Учитывая, что Tx ≅ T ( x ) , получаем, что T (=В силу произвольности точки x натяжение не зависит от x , то есть T ( x ) = T0 .Как и в случае малых продольных колебаний упругого стержня, для вывода уравнения,описывающего малые поперечных колебания упругой струны, воспользуемся вторым закономНьютона - законом изменения количества движения: изменение количества движения равноимпульсу действующих на выделенный участок сил.Обозначим через ρ ( x ) линейную плотность струны, а через f ( x, t ) плотность поперечнойвнешней силы, приложенной к струне.Второй закон Ньютона для участка ( x, x + ∆x ) струны выглядит следующим образом:x +∆x∫ ρ (ξ ) ( u (ξ , t + ∆t ) − u (ξ , t ) )dξ =ttxt +∆t=x +∆x∫ T ( u ( x + ∆x,τ ) − u ( x,τ ) )dτ + ∫0txxxdξt +∆t∫ f (ξ ,τ )dτ .tПредположим, что функция u ( x, t ) дважды непрерывно дифференцируема, а функции.ρ ( x ) , f ( x, t ) непрерывны при x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) .Воспользовавшись формулой среднего значения, поделив результат на произведение ∆x∆tи переходя к пределу при ∆x → 0, ∆t → 0, получим дифференциальное уравнение:ρ ( x=) utt ( x, t ) T0uxx ( x, t ) + f ( x, t ) .Если плотность струны постоянна ρ ( x ) = ρ0 , то уравнение принимает вид=utt a 2u xx + F ( x, t ) ,a2где=T0=,Fρ01ρ0f.Полученные уравнения описывают малые поперечные колебания упругой струны иявляются простейшим примером уравнения колебаний.Для получения детерминированной дифференциальной модели, описывающей малыепоперечные колебания упругой струны, к полученному уравнению необходимо добавитьначальные и граничные условия.Начально-краевая детерминированная дифференциальная модель имеет вид ρ utt= T0u xx + f ( x, t ) , x ∈ ( 0, l ) , t ∈ (0, ∞),u ( x, 0 ) ϕ ( x ) , x ∈ [ 0, l ] ,=u=t ( x, 0 ) ψ ( x ) , x ∈ [ 0, l ] ,0, t ) µ1 ( t ) , t ∈ [ 0, ∞) ,α1u x ( 0, t ) + β1u (=α u ( l , t ) + β u (=l , t ) µ2 ( t ) , t ∈ [ 0, ∞),2 2 x1, 2.α i + βi ≠ 0, i =Последнее условие означает, что коэффициенты α i , β i ( i = 1, 2 ) не могут обращаться в нольодновременно.Начальные условия задают в начальный момент t = 0 профиль струны и скорость всех ееточек.Граничные условия зависят от способов закрепления концов струны.

Эти условия могутбыть линейными и нелинейными, содержать производные по координате и по временивысших порядков. В линейном случае рассматривают граничные условия первого рода(условия Дирихле), условия второго рода (условия Неймана), условия третьего рода (условияРобена).В общем случае для левого конца струны граничные условия имеют вид:α1u x ( 0, t ) + β1u ( 0, t ) =µ1 ( t ) .α1 0, β1 ≠ 0 получается граничное условие Дирихле, приПри=условие Неймана, приα1 ≠ 0, β1 =0 - граничноеα1 ≠ 0, β1 ≠ 0 - граничное условие Робена.1, 2 ) классическое решение определяется так:В общем случае (при α i ≠ 0, β i ≠ 0, i =Определение. Функцияu ( x, t )называется классическим решением поставленнойначально-краевой задачи, если она:1) дважды непрерывно дифференцируема по х и по t в областиx ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,один раз непрерывно дифференцируема по х и по t в областиx ∈ [ 0, l ] , t ∈ [0, ∞),2) удовлетворяет уравнению в классическом смысле (подстановка u (x,t) в уравнениеприводит к тождеству),3) непрерывно примыкает к начальным и граничным условиям.Необходимое условие существование классического решения – условие согласованияначальных и граничных условий:∂ϕ ( 0 )∂ϕ ( l )=+ β1ϕ ( 0 ) µ ( 0 ) , α 2=+ β 2ϕ ( l ) µ ( 0 ) ,∂x∂x∂ψ ( 0 )∂ψ ( l )α1β1ψ ( 0 ) µt ( 0 ) , α 2β 2ψ ( l ) µt ( 0 ) .+=+=∂x∂xα14) Малые поперечные колебания мембраныРассмотрим пример уравнения, описывающего процесс колебаний в случае двухпространственных переменных.Мембраной называется натянутая плоская пленка, не сопротивляющаяся изгибу или сдвигу,но оказывающая сопротивление растяжению.При определенных условиях плоскую пластину, у которой толщина много меньшепоперечных размеров, можно рассматривать как мембрану.Уравнение, описывающее малые поперечные колебания мембраны, получается аналогичнотому, как было получено уравнение малых поперечных колебаний упругой струны.Пусть в положении равновесия мембрана расположена в плоскости z=0 декартовойпрямоугольной системы координат.Введем следующие обозначения:u ( x , y , t ) − величина поперечного смещения точкиM ( x , y )мембраны в момент времени t ;ρ ( x, y ) − поверхностная плотность мембраны;T0 − натяжение;f ( x, y, t ) − плотность импульса внешней поперечной силы, действующий на мембрану вточке M ( x, y ) в момент t.Будем рассматривать малые поперечные колебания мембраны, при которых смещениепроисходит перпендикулярно плоскости мембраны ( x, y ) и при которых можно пренебречьквадратами величин u x , u y .Уравнение малых поперечных колебаний мембраны будет иметь следующий вид:ρ ( x, y ) utt= T0 ( u xx + u yy ) + f ( x, y, t ) ,гдеf ( x, y, t ) − заданная функция.Пусть в положении равновесия мембрана занимает область G плоскости( x, y ) ,котораяограничена контуром Г.Как и в одномерном случае, для корректной постановки задачи необходимо задать дваначальных условия и граничные условия.Если граница Г мембраны движется заданным образом в плоскости ( x, y ) , то получаемграничное условие первого рода (граничное условие Дирихле):=u ( x, y, t ) µ ( x, y, t ) , ( x, y ) ∈ Γ, t ∈ [ 0, ∞),Условие закрепленной границы мембраны имеет видu=( x, y, t ) 0, ( x, y ) ∈ Γ, t ∈ [0, ∞).Если к границе приложена заданная сила, то получаем граничное условие второго рода(граничное условие Неймана):∂u=( x, y, t ) µ ( x, y, t ) , ( x, y ) ∈ Γ, t ∈ [ 0, ∞),∂nгде∂∂nозначает производную по нормали к контуру Г, лежащей в плоскости ( x, y ) :∂u ∂u∂u=cos α + cos β ,∂n ∂x∂ycos α , cos β − направляющие косинусы нормали:При µ ( x, y, t ) = 0 получаем условие свободной границы:∂u=( x, y, t ) 0,∂n( x, y ) ∈ Γ, t [0, ∞).n = {cos α , cos β } .Если граница мембраны закреплена упруго и при этом движется по заданному закону вплоcкости ( x, y ) , то граничным условием является граничное условие третьего рода(граничное условие Робена):∂uα ( x, y ) ( x, y, t ) + β=( x, y ) u ( x, y, t ) µ ( x, y, t ) , ( x, y ) ∈ Γ, t ∈ [0, ∞),∂nгдеα ( x, y ) , β ( x, y ) − заданные на контуре Γ функции.В зависимости от реальных физических задач граничные условия могут быть и болеесложного вида, в частности, нелинейные и содержащие производные по координатам болеевысокого порядка, а также производные по времени.Начально-краевая задача, описывающая процесс малых поперечных колебаний мембраны,ставится следующим образом:T0 ( u xx + u yy ) + f ( x, y, t ) , ( x, y ) ∈ G, t ∈ [ 0, ∞), ρ u=tt=y ) , ut ( x, y, 0 ) ψ ( x, y ) , ( x, y ) ∈ G,u ( x, y, 0 ) ϕ ( x, =α ( x, y ) ∂u ( x, y, t ) + β=( x, y ) u ( x, y, t ) µ ( x, y, t ) , ( x, y ) ∈ Γ, t ∈ [0, ∞).∂n5) Уравнения МаксвеллаРассмотрим систему уравнений Максвелла в однородной изотропной среде.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
455,78 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6513
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее