Глава 2a (1117542), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для определенности будем рассматривать левый конец стержняx = 0.а) Граничные условия первого рода – граничные условия Дирихле. С физической точкизрения левый конец стержня может находиться в различных условиях: он может быть жесткозакреплен (стержень заделан в стену) или же двигаться по определенному закону (стерженьжестко прикреплен к плите, совершающей заданное движение). Математически это условиезаписывается такгдеu ( 0,=t ) µ ( t ) , t ∈ [ 0, ∞),µ ( t ) −заданная функция.При µ = 0 получается однородное условие Дирихле, а при µ ≠ 0 − неоднородное условиеДирихле.б) Граничные условия второго рода – граничные условия Неймана.
Если задан законизменения силы f ( t ) , приложенной к левому концуx=0стержня и действующей впродольном направлении, то, используя закон Гука, граничный режим на этом конце можнозаписать следующим образом ( k ( x ) − коэффициент упругости стержня):k ( 0 ) u x ( 0, t ) = f ( t )илигде=ν (t )u x (=0, t ) ν ( t ) ,1k ( 0)Неймана, а приt ∈ [ 0, ∞),f ( t ) − заданная функция. При ν = 0 получается однородное условиеν ≠ 0 − неоднородное условие Неймана.
Однородное условие Нейманаозначает, что левый конец стержня свободен, к нему не приложена сила.в) Граничные условия третьего рода – граничные условия Робена. Предположим, чтолевый конец стержня закреплен упруго, например, с помощью пружины, коэффициентжесткости которой равенα .
Согласнозакону Гука, сила упругости, которая стремитсявернуть левый конец стержня в положение равновесия, пропорциональна смещениюu ( 0, t ) .Граничный режим можно записать следующим образом:k ( 0 ) u x ( 0, t ) = α u ( 0, t )илигдеu x ( 0, t ) − hu ( 0, t )= 0, t ∈ [ 0, ∞),h = α / k ( 0 ) . Построенное граничное условие называется однородным граничнымусловием третьего рода, или однородным граничным условием Робена.На левом конце стержня можно задать комбинацию упругого закрепления и смещения.Стержень с помощью пружин может быть прикреплен к плите,котораяпараллельно стержню по некоторому закону, определенному функциейперемещаетсяν ( t ) .
В этом случаеполучается граничное условие следующего видаk ( 0 )=u x ( 0, t ) α (u ( 0, t ) −ν ( t ))илигдеu x ( 0, t ) − hu ( 0,=t ) µ ( t ) , t ∈ [ 0, ∞),αµ (t ) =−hν ( t ) , h =. Построенное условиеk ( 0)называетсяграничнымнеоднородным условием третьего рода или граничным неоднородным условием Робена.г) Более сложные виды граничных условий. Физическая постановка задачи можетприводить к более сложным граничным условиям, в частности.
нелинейным.а) Нелинейные граничные условия возникают, например, при упругом закреплении, неподчиняющемся закону Гука. Если натяжение на левом конце стержня является нелинейнойфункцией смещенияu ( 0, t ) , то граничное условие примет видu x ( 0, t ) =1P u ( 0, t ) ,k ( 0)где P u ( 0, t ) определяет упругую силу, приложенную к левому концу стержня идействующую в продольном направлению.
Например,u x ( 0, t ) =1 2u ( 0, t ) .k ( 0)В граничное условие могут входить производные функции по времени. Например, еслилевый конец стержня испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости егодвижения, граничное условие записывается в видеk ( 0 )=u x ( 0, t ) α ut ( 0, t ) , t ∈ [ 0, ∞).гдеα - коэффициент сопротивления среды.Граничные условия могут содержать производные порядков выше первого. Пусть упругийстержень расположен вертикально и верхний его конец закреплен неподвижно – заделан впотолок. К нижнему концу стержня прикреплен массивный абсолютно недеформируемый грузМ, который находится на площадке и не растягивает и не сжимает стержень.
В начальныймомент времениt = 0 площадку убирают. Предположим, что масса стержняменьше масс груза М. Будем пренебрегать действием силы тяжести на стержень.mмногоНаправим ось х вдоль стержня, так что верхний конец имеет абсциссуx = 0.верхнем конце стержня граничным условием будет однородное условие Дирихлеu ( 0, t )= 0, t ∈ [ 0, ∞),а граничное условие на нижнем конце имеет видmutt ( l , t ) =−k ( l ) u x ( l , t ) + Mg ,гдеS − площадь поперечного сечения стержня.Тогда на3) Малые поперечные колебания упругой струныПусть в состоянии равновесия струна длины lположение от точкиx=0расположена вдоль осиxи занимаетдо точки x = l .
Рассматриваются малые поперечные колебанияструны, причем перемещения струны расположены в одной плоскости. Процесс колебанияструны можно описать с помощью функцииu ( x, t ) , представляющей собой поперечноесмещение точки струны с координатой x в момент времениt.Струна рассматривается как гибкая нить, не оказывающая сопротивление изгибу, нооказывающая сопротивление растяжению.Возникающие в рассматривающем случае напряжения направлены по касательной к еемгновенному профилю.Так как рассматриваются малые колебания, то возникающие в струне напряженияопределяются законом Гука.2u(В силу малости колебаний будем учитывать только члены первого порядкаx ( x, t ) 1).Подсчитаем удлинение участка струныучастка равнаx +∆x=∆S∫( x, x + ∆x )в момент времени t. Длина дуги этого1 + u x2 ( x, t ) dx ≅ ∆x.xСледовательно, в пределах принятой точности удлинения участка струны в процессеколебаний не происходит.В силу закона Гука величина натяжения Т в каждой точке не изменяется со временем.Проекция натяжения на осиxиu приучете членов только первого порядка малостиравныTx T ( x==) cos αT ( x)1+ u2x≅ T ( x),Tu = T ( x ) sin α ≅ T ( x ) tgα = T ( x ) u x ,где α - угол между касательной к кривой u ( x, t ) при фиксированном значении t и осью x.,Так как учитываются только поперечные колебания, то следует учитывать силы инерции ивнешние силы, направленные лишь вдоль осина выделенный участок струныu.
Поэтому сумма проекций сил, действующих( x, x + ∆x ) вдоль оси x, равна Tx ( x ) − Tx ( x + ∆x ) =0.x ) T ( x + ∆x ) .Учитывая, что Tx ≅ T ( x ) , получаем, что T (=В силу произвольности точки x натяжение не зависит от x , то есть T ( x ) = T0 .Как и в случае малых продольных колебаний упругого стержня, для вывода уравнения,описывающего малые поперечных колебания упругой струны, воспользуемся вторым закономНьютона - законом изменения количества движения: изменение количества движения равноимпульсу действующих на выделенный участок сил.Обозначим через ρ ( x ) линейную плотность струны, а через f ( x, t ) плотность поперечнойвнешней силы, приложенной к струне.Второй закон Ньютона для участка ( x, x + ∆x ) струны выглядит следующим образом:x +∆x∫ ρ (ξ ) ( u (ξ , t + ∆t ) − u (ξ , t ) )dξ =ttxt +∆t=x +∆x∫ T ( u ( x + ∆x,τ ) − u ( x,τ ) )dτ + ∫0txxxdξt +∆t∫ f (ξ ,τ )dτ .tПредположим, что функция u ( x, t ) дважды непрерывно дифференцируема, а функции.ρ ( x ) , f ( x, t ) непрерывны при x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) .Воспользовавшись формулой среднего значения, поделив результат на произведение ∆x∆tи переходя к пределу при ∆x → 0, ∆t → 0, получим дифференциальное уравнение:ρ ( x=) utt ( x, t ) T0uxx ( x, t ) + f ( x, t ) .Если плотность струны постоянна ρ ( x ) = ρ0 , то уравнение принимает вид=utt a 2u xx + F ( x, t ) ,a2где=T0=,Fρ01ρ0f.Полученные уравнения описывают малые поперечные колебания упругой струны иявляются простейшим примером уравнения колебаний.Для получения детерминированной дифференциальной модели, описывающей малыепоперечные колебания упругой струны, к полученному уравнению необходимо добавитьначальные и граничные условия.Начально-краевая детерминированная дифференциальная модель имеет вид ρ utt= T0u xx + f ( x, t ) , x ∈ ( 0, l ) , t ∈ (0, ∞),u ( x, 0 ) ϕ ( x ) , x ∈ [ 0, l ] ,=u=t ( x, 0 ) ψ ( x ) , x ∈ [ 0, l ] ,0, t ) µ1 ( t ) , t ∈ [ 0, ∞) ,α1u x ( 0, t ) + β1u (=α u ( l , t ) + β u (=l , t ) µ2 ( t ) , t ∈ [ 0, ∞),2 2 x1, 2.α i + βi ≠ 0, i =Последнее условие означает, что коэффициенты α i , β i ( i = 1, 2 ) не могут обращаться в нольодновременно.Начальные условия задают в начальный момент t = 0 профиль струны и скорость всех ееточек.Граничные условия зависят от способов закрепления концов струны.
Эти условия могутбыть линейными и нелинейными, содержать производные по координате и по временивысших порядков. В линейном случае рассматривают граничные условия первого рода(условия Дирихле), условия второго рода (условия Неймана), условия третьего рода (условияРобена).В общем случае для левого конца струны граничные условия имеют вид:α1u x ( 0, t ) + β1u ( 0, t ) =µ1 ( t ) .α1 0, β1 ≠ 0 получается граничное условие Дирихле, приПри=условие Неймана, приα1 ≠ 0, β1 =0 - граничноеα1 ≠ 0, β1 ≠ 0 - граничное условие Робена.1, 2 ) классическое решение определяется так:В общем случае (при α i ≠ 0, β i ≠ 0, i =Определение. Функцияu ( x, t )называется классическим решением поставленнойначально-краевой задачи, если она:1) дважды непрерывно дифференцируема по х и по t в областиx ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,один раз непрерывно дифференцируема по х и по t в областиx ∈ [ 0, l ] , t ∈ [0, ∞),2) удовлетворяет уравнению в классическом смысле (подстановка u (x,t) в уравнениеприводит к тождеству),3) непрерывно примыкает к начальным и граничным условиям.Необходимое условие существование классического решения – условие согласованияначальных и граничных условий:∂ϕ ( 0 )∂ϕ ( l )=+ β1ϕ ( 0 ) µ ( 0 ) , α 2=+ β 2ϕ ( l ) µ ( 0 ) ,∂x∂x∂ψ ( 0 )∂ψ ( l )α1β1ψ ( 0 ) µt ( 0 ) , α 2β 2ψ ( l ) µt ( 0 ) .+=+=∂x∂xα14) Малые поперечные колебания мембраныРассмотрим пример уравнения, описывающего процесс колебаний в случае двухпространственных переменных.Мембраной называется натянутая плоская пленка, не сопротивляющаяся изгибу или сдвигу,но оказывающая сопротивление растяжению.При определенных условиях плоскую пластину, у которой толщина много меньшепоперечных размеров, можно рассматривать как мембрану.Уравнение, описывающее малые поперечные колебания мембраны, получается аналогичнотому, как было получено уравнение малых поперечных колебаний упругой струны.Пусть в положении равновесия мембрана расположена в плоскости z=0 декартовойпрямоугольной системы координат.Введем следующие обозначения:u ( x , y , t ) − величина поперечного смещения точкиM ( x , y )мембраны в момент времени t ;ρ ( x, y ) − поверхностная плотность мембраны;T0 − натяжение;f ( x, y, t ) − плотность импульса внешней поперечной силы, действующий на мембрану вточке M ( x, y ) в момент t.Будем рассматривать малые поперечные колебания мембраны, при которых смещениепроисходит перпендикулярно плоскости мембраны ( x, y ) и при которых можно пренебречьквадратами величин u x , u y .Уравнение малых поперечных колебаний мембраны будет иметь следующий вид:ρ ( x, y ) utt= T0 ( u xx + u yy ) + f ( x, y, t ) ,гдеf ( x, y, t ) − заданная функция.Пусть в положении равновесия мембрана занимает область G плоскости( x, y ) ,котораяограничена контуром Г.Как и в одномерном случае, для корректной постановки задачи необходимо задать дваначальных условия и граничные условия.Если граница Г мембраны движется заданным образом в плоскости ( x, y ) , то получаемграничное условие первого рода (граничное условие Дирихле):=u ( x, y, t ) µ ( x, y, t ) , ( x, y ) ∈ Γ, t ∈ [ 0, ∞),Условие закрепленной границы мембраны имеет видu=( x, y, t ) 0, ( x, y ) ∈ Γ, t ∈ [0, ∞).Если к границе приложена заданная сила, то получаем граничное условие второго рода(граничное условие Неймана):∂u=( x, y, t ) µ ( x, y, t ) , ( x, y ) ∈ Γ, t ∈ [ 0, ∞),∂nгде∂∂nозначает производную по нормали к контуру Г, лежащей в плоскости ( x, y ) :∂u ∂u∂u=cos α + cos β ,∂n ∂x∂ycos α , cos β − направляющие косинусы нормали:При µ ( x, y, t ) = 0 получаем условие свободной границы:∂u=( x, y, t ) 0,∂n( x, y ) ∈ Γ, t [0, ∞).n = {cos α , cos β } .Если граница мембраны закреплена упруго и при этом движется по заданному закону вплоcкости ( x, y ) , то граничным условием является граничное условие третьего рода(граничное условие Робена):∂uα ( x, y ) ( x, y, t ) + β=( x, y ) u ( x, y, t ) µ ( x, y, t ) , ( x, y ) ∈ Γ, t ∈ [0, ∞),∂nгдеα ( x, y ) , β ( x, y ) − заданные на контуре Γ функции.В зависимости от реальных физических задач граничные условия могут быть и болеесложного вида, в частности, нелинейные и содержащие производные по координатам болеевысокого порядка, а также производные по времени.Начально-краевая задача, описывающая процесс малых поперечных колебаний мембраны,ставится следующим образом:T0 ( u xx + u yy ) + f ( x, y, t ) , ( x, y ) ∈ G, t ∈ [ 0, ∞), ρ u=tt=y ) , ut ( x, y, 0 ) ψ ( x, y ) , ( x, y ) ∈ G,u ( x, y, 0 ) ϕ ( x, =α ( x, y ) ∂u ( x, y, t ) + β=( x, y ) u ( x, y, t ) µ ( x, y, t ) , ( x, y ) ∈ Γ, t ∈ [0, ∞).∂n5) Уравнения МаксвеллаРассмотрим систему уравнений Максвелла в однородной изотропной среде.