№ 46 (1115559)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛомоносоваФизический факультеткафедра общей физики и физики конденсированного состоянияМетодическая разработкапо общему физическому практикумуЛаб. работа № 46ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ВРЕЗОНАНСНОМ КОНТУРЕРаботу поставил доцент Авксентьев Ю.И.Москва - 2012ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХКОЛЕБАНИЙ В РЕЗОНАНСНОМ КОНТУРЕКраткое теоретическое введение *)§ 1 Собственные электрические колебания без активногосопротивления в контуреСобственные колебания происходят в изолированной системе,выведенной из положения равновесия. Рассмотрим простейшийэлектрический контур.
Он состоит из последовательно соединенных емкостиC и индуктивности L .Чтобы возбудить в контуре колебания, вначале присоединимконденсатор к источнику питания E (рис. 1а). В результате на обкладкахконденсатора появится заряд q0 , а между обкладками – электрическое полеЕ. Отключим теперь источник питания иа)Lзамкнем конденсатор на индуктивность(рис. 1б). Конденсатор начнет++разряжаться, и в контуре потечет ток,q ,ECEсила которого0iб)dq.dt(1)Вместе с уменьшениемэлектрического заряда конденсатораначнет уменьшаться и электрическое++ECEполе.
При этом в катушкеиндуктивности возникает магнитноеполе В. Найдем закон, по которомуизменяются заряд на обкладкахРис. 1конденсатора и ток в контуре.По второму правилу Киргофа сумма падений напряжений вдользамкнутого контура равна сумме эдс, действующих в нем:LBqCгдеqCLdi,dtU C - напряжение на конденсаторе, EL(2)Ldi- электродвижущая силаdtсамоиндукции.Учитывая, что idq, перепишем (2) следующим образом:dtd 2q1q.2LCdt(3)*) При написании теоретического введения было использовано метод. пособ.
Волковой Н.В. к задаче«Изучение вынужденных электрических колебаний в резонансном контуре». М. 1985 г.3Это дифференциальное, однородное уравнение второго порядка. Решить его– значит найти такую функцию времени q f (t ) , которая после подстановки ее в это уравнение обратит его в тождество. Нетрудно догадаться, какойвид должна иметь искомая функция. Из уравнения (3) следует, что функцияq f (t ) должна обладать следующим свойством: вторая производная этойфункции по времени с точностью до постоянного множителя должнаравняться самой функции.
Таким свойством, в частности, обладает функциякосинус. Очевидно, что это свойство функции не изменится, если самуфункцию и ее аргумент умножить на некоторые константы A0 , 0 и вдополнение к этому прибавить к аргументу 0t третью константу 0 . Такимобразом, решение уравнения (3) следует искать в видеq A0 cos( 0t 0 ) .В теории колебаний константа A0 называется амплитудой колебания, 0круговой частотой колебаний, а 0 начальной фазой колебаний.
Отметимтакже, что аргумент 0t 0 гармонической функции принято называтьфазой колебаний.Для нахождения значений констант A0 , 0, 0 необходимо вычислитьd 2qи вместе с функцией q подставить в уравнениеdt 2(3). Путем вычислений убеждаемся, что функция q A0 cos( 0t 0 )вторую производнуюудовлетворяет уравнению (3), при условии, если частота колебанийравна01.LC0(4)Амплитуда A0 и начальная фаза 0 определяются начальнымиусловиями. Если колебания в контуре возбуждаются так, как представлено нарис. 1, то начальные условия имеют следующий вид:t0,1) qq0,2)ii0,dqdt0где q0 - электрический заряд, возникший на обкладках конденсатора послеподключения его к источнику с ЭДС E .После подстановки q A0 cos( 0t 0 ) в 1) и 2) и решения полученнойсистемы уравнений получим: A0 q0 , 0 0.Итак, заряд на обкладках конденсатора q (t ) изменяется со временем погармоническому закону :qq0 cos(1t) .LC(5)Таким образом, мы выяснили, что частота собственных колебанийконтура 0 зависит только от параметров системы: индуктивности L и4емкости C .
При вычислении 0 надо брать L и C в одной системеединиц: L - в генри, C - в фарадах. Период колебаний T0 связан с частотойформулой2T02(6)LC0То же самое можно сказать об изменении напряжения на конденсаторе:UCqCq01cos(t) .CLCПродифференцировав (5) по времени, получим силу тока в цепи:idqdt111q0 sin(t ) i0 cos(tLCLCLCU 109).Из последнего равенствавидно, что колебания токаопережают колебания зарядаи напряжения междуобкладками конденсатора на6542321t x1040020.20.40.60.81.0Рис.
2радиан. Зарядконденсатора обращается внуль, когда сила токадостигает своей наибольшейвеличины i0 0q0 . На экранеосциллографа колебаниянапряжения на конденсаторевыглядят так, как этоизображено на рис. 2.§2 Свободные затухающие колебанияEа) Уравнение затухающих колебанийВсякий реальный контур обладает активным сопротивлением R .
Энергия,запасенная в контуре,BLRпостепенно расходуетсяпутем выделения тепла на++этом сопротивлении,ECвследствие чего, как мыувидим ниже, свободныеколебания затухают. Схемареального колебательногоРис. 3контура приведена на рис. 3.5Выведем уравнение колебаний в таком контуре. Сумма падений напряженийqи активном сопротивлении U RCна емкости U CRi (по второму правилуКиргофа) должна быть равна сумме действующих в контуре ЭДС:1qCRiLdi,dtгдеLdiELdtэлектродвижущая сила индукции. Принимая во внимание, что idq,dtполучимd 2qdt 2R dqL dt1qLC0.U 10 9642a) 0-2-4t 104-60.200.40.60.81.0U 10 96а0 а 14а2а32а4а5а6а7б) 0-2-4t 104-600.20.40.6Рис.
40.81.0(7)Наблюдение формыколебаний напряжения наконденсаторе C в схеме(рис. 3) показывает, чтоона имеет вид,представленный на рис.4а. Как видно из рисункаколебания остаютсякосинусоидальными, ноамплитуда колебанийубывает со временемUC U0 (t )cos( t 0 ) .На рис. 4б через точки а0…а7 проведена плавнаякривая, форма которойопределяет зависимостьU0 (t ) . Для того, чтобызаписать предполагаемоерешение уравнения (7),найдем аналитическийвид зависимости U0 (t ) .Точки а0 …а7определяют амплитудыколебаний напряжения вразличные моментывремени. С помощью рис.4б можно создатьтаблицу значенийнапряжений в точках6а0 …а7 .U 1096а05а14а)ЗависимостьU0(t) = U0(0) exp (-Данные этойтаблицы определяютзависимость U0 (t ) втабличной форме(точки на графике рис.5а).t)а23N01…а3а42а51а6а7а8000.20.40.6ln U 00.2-10,5tit x1041.0U=k/t-19,0-19,2-19,4-19,6-19,8б) -20,0-20,2-20,4-20,6-20,8-21,0-21,2-11,5 -11,0ln U 0-19,0-19,2-19,4-19,6-19,8-20,0в) -20,2-20,4-20,6-20,8-21,0-21,200.8U0i-10,0 -9,5-9,0U = k exp (- t )В частном случаенайти аналитическуюзависимость U0 (t )можно путем подборафункции, которая призаданных в таблицезначениях аргументаti давала бытабличные значенияU 0i .Проверим, насколькоподходят для описанияплавной кривой,ln tпредставленной нарис.
4б, следующиеU0 0tи U 0 (t ) U 0 0 exp( t ) .функции: U 0 (t )Обе функцииотражают убываниеU0 (t ) , но законубывания разный.Вычислим логарифмылевых и правых частейприведенныхвыражений:t x1040.40.6Рис. 50.81.0ln U 0 (t ) ln U 0 0ln U 0 (t ) ln U 0 0ln t ,t иотобразим эти7зависимости на графиках. Первый график построим в координатахln U0 ln t , второй - в координатах lnU0 t . Если функция правильноописывает зависимость U0 (t ) , то точки на графике этой функции должнырасполагаться на прямой линии.
Как видно из рисунков 5б и 5в на прямуюлинию легли точки, соответствующие функции U 0 (t ) U 0 0 exp( t ) , (рис.5в). Следовательно, именно эта функция описывает зависимость амплитудыколебаний от времени. Тангенс угла наклона прямой равен .На рис. 5а представлен график функции U 0 (t ) U 0 0 exp( t ) (сплошнаялиния). Как видно из рисунка все экспериментальные точки а0 , а1 , а2 …а7хорошо ложатся на эту линию.Так как вид зависимости напряжения и заряда на обкладкахконденсатора одинаков ( U= q / C ), то решение уравнения (7) ищем в виде(8)q q0 exp( t )cos( t 0 ) .Функция (8) является решением уравнения (7), еслиR2L2(9)2(10)0В справедливости этого решения можно убедиться, подставив в (7)выражение (8), приняв во внимание (9) и (10).
При этом левая частьуравнения (7) окажется тождественной правой.Таким образом, собственные колебания заряда на обкладкахконденсатора в реальном контуре происходят по закону (8) си ,определяемыми формулами (9) и (10).б) Декремент затуханияКолебания, закон которых выражается формулой (8), уже не будутгармоническими. В формулу (8) входят два множителя, зависящие отвремени. Один из них cos( t 0 ) - является периодической функциейвремени, а другой - e t с течением времени убывает. При0 решение(8) переходит в формулу (5), описывающее незатухающие собственныеколебания. При 0имеет место апериодический режим, т.е.
величиназаряда на конденсаторе уменьшается монотонно со временем, не совершивни одного колебания. Если 0, то величину q1 q0e t можно считатьамплитудой, которая уменьшается с течением времени по показательному(экспоненциальному) закону. Колебания с убывающей амплитудойназываются затухающими колебаниями. Величина , называемаякоэффициентом затухания, имеет простой физический смысл: величинаобратная, а именно,1, определяет время, в течении которогоамплитуда колебаний уменьшается в e раз.8Количественной характеристикой затухающих колебаний являетсядекремент затухания.
С целью определения этой величины найдемотношение значений q (t ) и q(t T ) . Учитывая периодичность cos( t 0 ) ,получимq0e t cos( tq0e (t T ) cos( tq(t )q(t T )0)0)eT.(11)Из (11) следует, что отношение двух последовательных амплитуд, т.е.амплитуд, взятых через промежуток времени, равный T , не зависит отвремени, а зависит только от характеристик колебательного контура R, L, T .Это отношение называется декрементом затухания. Чем большедекремент затухания, тем быстрее уменьшается амплитуда.
Часто затуханиехарактеризуют натуральным логарифмом этого отношения:(12)ln e TTВеличинаназывается логарифмическим декрементом затухания.Выясним физический смысл этой величины. Как было показано выше, завремя1амплитуда колебаний уменьшается в e раз. За это времяколебательный контур совершит NT1T1колебаний. Таким образом,величина, обратная логарифмическому декременту колебаний определяетчисло колебаний, которое колебательный контур совершит за времяуменьшения его амплитуды колебаний в e раз.Для характеристики колебательного контура часто используют величинуQ , называемую добротностью колебательного контура.
Добротностьколебательного контура при малых потерях энергии в контуре определяетсясоотношениемQ 2WW(13)где W - полная энергия в контуре, а W - энергия, рассеянная в контуре втечение времени, равному периоду колебаний. Полная энергия контура ипотери энергии за период равны соответственно Wгде I 0 - амплитудное, а I эффПодставляя W иI02LI 0 2и2WRI 2 эффT ,- эффективное значение тока в контуре.W в (13), получимQ2 WWT.(14)9В реальных колебательных контурах коэффициент затуханияобычнонастолько мал по сравнению с частотой собственных колебаний 0 , что вформуле (12) можно пренебречь зависимостью периода T от .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
