№ 46 (1115559), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Тогданаходим2T222T0 .(15)00Подставляя (9) и (6) в (15) получаем новые выражения длялогарифмического декремента затухания и добротности:CL(16)1 L.R C(17)RQОтметим, что добротность используемых в радиотехнике колебательныхконтуров может достигать нескольких сотен.§3 Вынужденные электрические колебанияКолебания, которые происходят в электрическом контуре под действиемпериодически изменяющейся электродвижущей силы (ЭДС), называютсявынужденными колебаниями. В случае свободных колебаний амплитуда иначальная фаза определяются начальными условиями, а частота зависиттолько от свойств самой системы (ее параметров L , C и R).
Как показываетопыт, частота вынужденныхCLRколебаний определяетсячастотой вынуждающей силы.Поэтому можно предположить,E = E 0 cos ( t +что, если в цепи контурадействует ЭДС, изменяющаясяпо гармоническому законуРис. 6E E cos( t) , то колебания в0контуре будут происходить с той же частотой .Рассмотрим вынужденные колебания, возникающие при включенииисточника переменной ЭДС последовательно с элементами колебательногоконтура (рис. 6). Предположим, что ЭДС изменяется по гармоническомузакону:EE0 cos( t(18))Тогда сумма падений напряжений на конденсаторе U CULELdiи активном сопротивлении U Rdtq, индуктивностиCRi по второму правилуКиргофа равна внешней ЭДС:10d 2qL 2dtRdqdtqCE0 cos t(19)Используя введенные ранее стандартные обозначения (4) и (9) перепишем(19) в виде:d 2qdt 2dqdt220E0cos t .Lq(20)Покажем, что этому уравнению удовлетворяет функция,),q(t ) q0 cos( t(21)описывающая гармоническое колебание с частотой внешней ЭДС. В этойфункциипредставляет собой разность фаз колебаний заряда и внешнейЭДС.
Подставим в (20) функцию (21), а также ее производные:dqdtd 2qdt 2q0 sin( t2),q0 cos( t).В результате подстановки получим соотношение:(202)q0 cos( t) 2q0 sin( tE0cos t .L)Это равенство должно выполняться при любом t . Раскрывая cos( t ) иsin( t) и приравнивая коэффициенты при cos t и sin t в левой и правойчастях равенства, находим:22)q0 cos2q0 sin22)q0 sin2q0 cos(0(0E0L0.(22)(23)Из (23) получаем2tg22.(24)0Возводя в квадрат (22) и (23) и складывая результат, находим:q0E0L (202 2)422.(25)11Таким образом, при наличии в контуре последовательно включенногогенератора, ЭДС которого изменяется во времени по гармоническомузакону (18), возникают установившиеся гармонические вынужденныеколебания (21) с частотой внешней ЭДС .
Вначале процессаодновременно с вынужденными колебаниями возникают собственныеколебания, которые складываются с вынужденными колебаниями. Однако,из-за наличия затухания собственные колебания постепенно затухают.Амплитуда колебаний (25) и сдвиг фаз между вынужденными колебаниямии колебаниями ЭДС генератора (24) зависят от параметров самого контураR, L, C и величин, определяющих внешнюю ЭДС - ,E0 . Из формулы (25)видно, что амплитудаq0 107вынужденных колебанийq0 пропорциональна3/q 0резамплитуде внешней ЭДСШиринаE0 и зависит отq/0резсоотношения между2собственной частотойШиринаколебаний контура 0 иq//0резчастотой внешней ЭДСq//0рез.2Рассмотрим этузависимость подробнее.f резf кГц Когда частота генератора28 30 32 34 36 38 40 42стремится к нулю (оченьмедленные колебания),Рис. 7амплитуда вынужденныхколебаний стремится квеличине q0E0.
При увеличенииL 02амплитуда q0 сначалаувеличивается, так как уменьшается знаменатель в формуле (25)(уменьшается величина разности 02 2 ), до тех пор, поканеприблизится к 0 . При дальнейшем увеличениизнаменатель в формуле(25) начинает увеличиваться. При этом амплитуда q0 стремится к нулю при, стремящейся к бесконечности. На графике зависимость амплитудывынужденных колебаний от частоты генератора изобразится кривой,имеющей максимум вблизи0 , рис. 7. Явление, заключающееся вувеличении амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешнейЭДС приближается к собственной частоте системы, называется резонансом,а график зависимости амплитуды от частоты внешней ЭДС – амплитуднойрезонансной кривой.При не слишком малых коэффициентах затуханиямаксимум наамплитудной резонансной кривой лежит не при0 .
Чтобы найтизначение , при которой величина q0 является максимальной, можно12воспользоваться тем фактом, что функция имеет максимум в той точке, гдеее производная обращается в нуль. Очевидно, что нахождение максимумадля функции q0 сводится к нахождению минимума знаменателя (25).Поэтому, продифференцировав подкоренное выражение (25) поиприравняв результат нулю, находим:2(26)2 2.рез0Можно также показать, что когда затухание мало, амплитуда имеетмаксимальное значениеq0 резE02L 0.(27)Отсюда видно, что q0 рез обратно пропорциональна коэффициенту затухания. Если бы мы не принимали во внимание затухание (0 ) при выводеформулы (25), то мы получили бы, что при резонансе амплитуда становитсябесконечной (нуль в знаменателе формулы (27), чего на самом деле никогдане бывает).Если увеличить коэффициент затухания, не изменяя остальныхпараметров контура и ЭДС, то резонансная кривая на графике (рис. 7)пойдет ниже.
Резонанс становится менее резко выраженным. При оченьбольшом затухании максимум вообще исчезает.Затухание в колебательном контуре характеризуют также ширинойрезонансной кривой на высотеq0 рез2. Можно показать, что ширина кривойна этой высоте приблизительно равна 2 .
Величина2называется шириной резонансной кривой или полосой пропускания. Так какQ02(15), то из (15) следует, что добротность Q и полоса пропусканиясвязаны следующим соотношением:.0Q(28)Определим теперь величину напряжения на конденсаторе: UИспользуя (21) , находим U U0 cos( t) , где U 0q.Cq0- амплитудаCнапряжения на конденсаторе. Во время резонанса U0 принимает значениеE020U 0 рез202 2.42(29)2Из формулы (29) видно, что амплитуда напряжения на конденсаторе при0 равна E0 . Этот факт имеет простой физический смысл, посколькуслучай0 соответствует не зависящей от времени ЭДС, и установившееся напряжение на конденсаторе должно равняться ее значению E0 .13В условиях резонансаравна:и при малых0EТак как при малыхQ02.(30)QE0 .(31)0 0U 0 резамплитуда напряжения2, тоE0 0U 0 рез2Таким образом, при резонансе амплитуда напряжения на конденсаторе в Qраз больше, чем амплитуда внешней ЭДС.Ширина резонансной кривойРассмотрим резонансную кривую напряжения на конденсаторе вблизирезонанса при малом затухании , то есть при малых значениях разности2 0 , и покоренное выражение в (29) можно00 .
В этом случаеупростить следующим образом:2(02 2)422[()2 (0)2 4022] 4[()2020220].Используя формулу (29), находим:E0 2U 0 рез 24[(02022)].(32)Определим, при каком значенииквадрат амплитуды напряжения наконденсаторе уменьшается в два раза по сравнению с квадратом его значенияпри резонансе. Используя (30) и (32) находим условие:()2022,2которое определяет соответствующее значение частотыОтсюда0..(33)Итак, при отклонении частоты на величинуот резонансного значения0 , квадрат амплитуды напряжения на конденсаторе уменьшается в два раза.2 называется «шириной резонансной кривой на уровнеВеличина½ » или полосой пропускания. Таким образом мы показали, что формула(28) Q0, действительно, справедлива.14ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬЦелью работы является: изучение вынужденных колебаний вэлектрическом колебательном контуре и измерение основных егопараметров.Состав приборов экспериментальной установкиОбщий вид установки представлен на рис.
8.Как видно из рисунка установка состоит из блока управления, двухлучевогоосциллографа С1 – 55, низкочастотного генератора Г3 – 112/1 с усилителем,частотомера -ТАХОМЕТРА 7 ТЭ и цифрового вольтметра В7 – 22А.15I. Блок управленияВ блоке управления находится колебательный контур и двапереключателя Т1 и Т2 для выбора режима измерений. Подключение блокак измерительным приборам производится согласно надписям подэлектрическими гнездами (схема соединений приборов дана в приложении).Электрические схемы колебательного контура находятся на верхней панелиблока.
Переход от одной схемы измерений к другой осуществляется путемпереключения тумблера Т1 . Тумблер Т2 используется для включения вконтур дополнительного сопротивления. В режиме вынужденных колебанийна колебательный контур поступает напряжение синусоидальной формы отгенератора Г3 – 112А. Одновременно это напряжение подается на входосциллографа Y2. В силу технических причин на установке № 1 этонапряжение подводится ко входу усилителя Y1. Напряжение вынужденныхколебаний с конденсатора С контура поступает на вход Y1 осциллографа(на установке № 1 на вход Y2) и вход цифрового вольтметра В7 – 22А .II. Двухлучевой осциллограф С1 - 55Малогабаритный двухлучевой осциллограф С1 - 55 предназначен дляодновременного наблюдения двух электрических процессов и измерения ихвременных и амплитудных характеристик.1) Блоки входных усилителейИсследуемые сигналы подаются на входные гнезда двух вертикальных,независимых усилителей УСИЛИТЕЛЬ Y1 и УСИЛИТЕЛЬ Y2 (рис.8).Удобную для наблюдения величину сигнала устанавливают с помощьюступенчатых переключателей ВОЛЬТ / ДЕЛЕНИЕ.
Числа на шкалах рядом спереключателями соответствуют напряжению в вольтах, которое отклоняетлучи по вертикали на одно большое деление экранной сетки, т.е. определяютчувствительность по вертикали. На осях ступенчатых переключателейВОЛЬТ / ДЕЛЕНИЕ находятся малые ручки УСИЛЕНИЕ для плавнойрегулировки входных сигналов. Установленная ступенчатымпереключателем чувствительность соответствует своему значению только втом случае, если ручка плавной регулировки повернута по часовой стрелкедо упора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
