С.Г. Калашников - Электричество (1115533), страница 75
Текст из файла (страница 75)
переходу их с первоначальных энергетических уровней на другие, более высокие уровни внутри зоны. Но тогда из сказанного выше следует, что электроны целиком заполненной зоны, хотя и находятся в движении, не могут дать никакого вклада в электрический ток. Действительно, так как энергия электрона есть четная функция импульса, то каждому квантовому состоянию электрона в зоне с какой-либо составляющей импульса, скажем р , обязательно соответствует и другое состояние с той же самой энергией, но с составляющей импульса — р . Составляющие скорости этих электронов равны соответственно р /тэф и — р„/тп и направлены в противоположные стороны.
Поэтому электроны целиком заполненной зоны можно разбить на пары, создающие противоположно направленные токи, а, следовательно, результирующий ток, создаваемый такой совокупностью электронов, всегда равен нулю. Чтобы создать отличный от нуля элсктричсский ток, мы должны были бы Возбудить электроны внутри зоны и перевести часть из них на более высокие уровни.
Однако, так как в целиком заполненной зове все имеющиеся квантовые состояния заняты, то вследствие принципа Паули это оказывается невозможным. Таким образом, для электропроводности существенны только две энергетические зоны: та, которая при температуре абсолютного нуля заполнена лишь частично или пуста, и лежащая непосредственно под нею целиком заполненная зона. Последняя может тоже участвовать в электропроводности, так как при повышении температуры часть электронов, находящихся под потолком этой зоны, может возбуждаться в выше расположенную незаполненную зону, и поэтому она становится уже не целиком заполненной. Обе эти зоны и представляют собой зону проводимости и валентную зону, введенные нами выше.
Незанятые же электронами квантовые состояния, энергии которых лежат Е, Ет Рис 2бу Заполнение энергетических эоп электронами в металле (а) и в полупроводнике 1о) при температуре абсолютного нуля 1 155 РАспРеделениВ импульсА и энеРГии у электРОнОВ 359 вблизи потолка валентной зоны, соответствуют положительным дыркам (ср. 3 152), Из сказанного следует, что металлы суть такие кристаллы, у которых при температуре абсолютного нуля одна из энергетических зон заполнена частично. Типичными же полупроводниками являются те кристаллы, энергетические зоны которых при абсолютном нуле либо заполнены целиком, либо совершенно пусты (рис.
2б7). 9 155. Распределение импульса и энергии у электронов Для понимания многих электронных явлений важно выяснить, какое число носителей заряда 11п из общей их совокупности в единице объема по имеют составляющие импульса в пределах Рх и Рх + Г1Рх~ Рэ и Ру + пру~ Рх и Рх + прх ° Энергия такой группы частиц будет лежать в некотором интервале И' и И~ +ВИ', определяемом зависимостью И'1р). Ответ на поставленный вопрос опять получается разным в классической и квантовой теориях. Мы поясним это на примере электронов в зоне проводимости. Пусть пх есть число состояний в единице объема тела, принадлежащих рассматриваемому интервалу.
Для малого интервала импульсов его можно считать пропорциональным этому интервалу: 112 оз 11рх дру Йрх. Если, далее, ~ есть вероятность таких состояний, то интересующее нас число электронов равно 1 = АУ. (155.1) В классической статистике вероятность 7' выражается законом Больцмана 7" = Сехр( — И7~'ЛТ), (155.2) где И' — энергия частицы в рассматриваемом согтоянии, Й— постоянная Больцмана, Т вЂ” температура, С вЂ” постоянная.
Если рассматривать электроны как идеальный газ, то в отсутствие внешних сил их потенциальная энергия не зависит от координат н ее можно включить в постоянную С. Тогда И' есть кинетическая энергия (155.3) и из формул (155.1), (155.2) и (155.3) находим (155.4) где А -- новая постоянная. Последняя формула выражает закон Максвелла, дающий распределение импульсов в идеальном газе. 360 ПРИРОДА ТОКА В МЕТАЛЛАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ ГЛ Х!Н Постоянная А определяется из условия, что полное число электронов с любыми импульсами есть заданная концентрация не, т.е. «и = (155 5) Р Рг Р* = со Выполняя интегрирование и учитывая, что ехр( — ох )«х = у(х(о, (155 6) получаем А= (2япйТ)иэ (155.7) 1 1 (155.9) 1 + ехр )(11г — Р У )сТ) Здесь г' есть некоторая характерная энергия, не зависящая от переменных Иг и р, Она получи- 0,2 ла название электрохимического потенциала или уронил Ферми.
Величина г' является параметром распределения и играет ту же роль, что и постоянная С в законе Рис. 268 ФУикци" ФеРми Д" Вольцмана. КонечнО, Р' не универсальная постоянная, а зависит от природы вещества и его состояния. Для данного вещества г, как и С, определяется полной концентрацией электронов и температурой (см. ниже). 0,6 0,5 0,4 В классической статистике величина г(х ничем не ограничивается (любое число электронов может иметь компоненты импульса в данном интервале). В квантовой статистике компоненты импульса квантуются, и поэтому г(Я имеет определенное конечное значение ,~т 2 «Р* «Рэ «Р.
(155.6) аэ Здесь 5 есть универсальная постоянная квантовой механики постоянная Планка. 6=6,62 ° 10 27 эрг с=б,62 10 54 Дж с (ср. 8 117) Множитель 2 учитывает то обстоятельство, что каждой тройке величин (р, ргм р,) могут соответствовать две различные ориентировки электронного спина (ср. 8 117). Второе важное обстоятельство, учитываемое квантовой статистикой, заключается в том, что вероятность квантового состояния с энергией И' для электронов определяется не законом Больцмана, а функцией Ферми- (' Дира ка 1 155 РАспределение импульсА и энергии У электРОИОВ 361 Графики функции Ферми — Дирака показаны на рис. 268.
При Т = 0 она имеет вид разрывной ступенчатой функции. Для всех энергий И' < Р, 1' = 1, а следовательно, все квантовые состояния с такими энергиями заняты электронами. При И' = Р, 1 = = 0,5, а при И' > Р, ~ = О. В классической же статистике (формула (155.2)) мы имели бы, что для всех энергий И~ ф О,. 1 = 0 (частиц с отличной от нуля кинетической энергией пет вовсе). При Т ~ 0 функция з становится непрерывной и тем более размытой, чем выше температура.
При И', большем Р на несколько ЕТ, единицей в знаменателе (155.9) можно пренебречь по сравнению с экспонентой,н тогда à — и' ~ и''1 ехр = Сехр ~ — — ~ . кт ~ ит)' (155.10) Следовательно, при достаточно больших энергиях («хвост» функции распределения) распределение Ферми-Дирака переходит в классическое распределение Больцмана. Обратимся теперь к энергетическим диаграммам и положим, что при Т = 0 уровень Ферми Г лежит в зоне проводимости (рис.
269 а). Тогда в зоне будут квантовые состояния с энергией Иг < Г, и существенно необходимо пользоваться я е' распределением ФермиДирака. Такой электронный газ называется вмрождс»игмА«. Этот случай с мы имеем в металлах. Р Здесь все квантовые состояния с энергией И' < е« < Г целиком заполнены электронами, а электро- а б нов с энергией И~ > Р нет вовсе. Следовательно, да- Ряс 26э положение уровня Ферми в меже при Т = 0 электроны тяяле (а) я я невмрожденяом полупрояаднаходятся в движении, а их максимальная кинетическая энергия равна И'» мяя, = Р— Е,.
Существование этой энергии при абсолютном нуле есть специфический результат квантовых законов движения электронов. При Т ~ 0 распределение Ферми размывается и появляется небольшое число электронов с энергией И' > Р. Однако размытие функции Ферми охватывает лишь область энергий порядка ЕТ в окрестности уровня Ферми Р. Если Р отстоит от с", на много йТ (что и имеет место в металлах), распределение по энергиям для большинства электронов (с энергией И' < Р) практически не меняется. Поэтому, в частности, средняя энергия электронов зависит от температуры слабо.
Это объясняет, 362 ПРиродА тОкА В мГталлах и ЙОДУпроводниках Гл х!ч 2 У г' — И"1 йн з ехр ( ) ор нрэ нр* 53 2твйТ ) Подставляя это выражение в (155.5) и выпш~няя интегрирование с учетом (155.6), получаем по = Ж, ехр ( ), (155.13) где введено обозначение ~2хт„~йТ) (155.14) Величина 1Ч, получила название эффективной плпглностп состол~ий в зоне проводимости. Отметим, что в этих расчетах мы использовали для Иг выражение (154.2), которое, строго говоря, справедливо лишь в окрестности дна зоны проводилюсти. Кроме того, интегрирование по импульсал» мы проводили не в пределах зоны проводимости, а в бесконечных пределах.
Однако это не вносит заметной ошибки, так как экспоненцивльный множитель в формуле (155.12) быстра затухает при увеличении р„р„, р„, и поэтому значение интеграла (155.5) определяется только состояниями, близкими к дну зоны. Формула (155 13) устанавливает связь между положением уровня Ферми г и полной концентрацией электронов проводимости не в невырожденных полупроводниках. Из этой формулы видно, что чем ближе г' к краю почему электронный Газ в металлах слабо влияет на их тепло- емкость (3 149).
Если же уровень Ферми лежит в запрещенной зоне (рис. 269 б), то для всех состояний в зоне проводимости мы имеем Иг > Р и для них справедливо классическое распределение Больцмана (155.10) (нввырождвнный электронный Гзз). При Т = О для всех состояний в зоне проводимости 1 = О и электронов проводимости нет. Этот случай соответствует совершенно чистым полупроводникам, не содержащим примесей или дефектов решетки.
Вернемся теперь к закону распределения электронов по импульсам. Из сказанного выше следует, что вместо закона Максвелла (155.4) для электронов оно выражается формулой 2 йр. йр„йр, Ьз 1 + ехр ((И' — г ) ) *хТ) (155.П) Здесь энергия И' есть определенная функция р„р„и р„зависящая от природы кристалла. Для состояний, энергия которых близка к энергии дна зоны проводимости Е„она выражается формулой (154.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
