И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 89
Текст из файла (страница 89)
(143.7)). Напомним, что мы пренебрегли членами высоких порядков малости в разложении (143.9). В этом приближении форма волнового пакета со временем не изменяется. Если учесть дальнейшие члены разложения, то для амплитуды получается выражение, из которого следует, что ширина пакета со временем растет — волновой пакет расплывается. Выражению для групповой скорости можно придать другой вид.
Заменив ох через оэ (см. (143.2)), представим (143.14) следующим образам: и= — =О+ й —. о' (оо1 х/о оэ яа' (143.15) /халес напишем оо ао 4Х ээ = ~лая ' Из соотношения А=2п/л вытекает, что Г(А/ой= — 2п//Гх=х — Х/я. Соответственно НОЯ/Г= — (ГЫГ(А)(Х//Г). Подставив это значение в (143.15), получим а=о — ХЗА. (143.15) Из этой формулы видно, что в зависимости от знака Г(о/Ю групповая скорость и может быть как меньше, так и больше фазовой скорости о. В отсутствие дисперсии Г(о/ПА=О и групповая скорость совпадает с фазовой. Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому в тех случаях, когда понятие групповой скорости имеет смысл, скорость переноса энергии волной рАвна грунповяй.скарасти.
Понятие групповой-скорбсти йрименимо только при условии, что поглощение энергии волны в данной среде невелико. При значи- 488 Гл. хх. ВЗАимодействие ВОлн с ВещестВОм тельном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Такой случай имеет место в области аномальной дисперсии.
В этой области поглощение очень велико, и понятие групповой скорости оказывается неприменимым. В 144. Элементарная теория дисперсии Дисперсия света может быть объяснена на Основе электромагнитной теории и электронной теории вещества. Для этого нужно рассмотреть процесс взаимодействия света а веществом. Движение электронов в атоме подчиняется законам квантовой механики.
В частности, понятие траектории электрона в атоме теряет нсякий смысл. Однако, как показал Лоренц, для качественного понимания многих оптических явлений достаточно ограничиться гипотезой о существовании внутри атомов электронов, связанных квазиупруго. Будучи выведенными из положения равновесия, такие электроны начнут колебаться, постепенно теряя энергию колебания на излучение электромагнитных волн.
В результате колебания будут затухающими. Затухание можно учесть, введя «силу трения излучения», пропорциональную скорости. При прохождении через вещество электромагнитной волны каждый электрон оказывается под воздействием лоренцевой силы Г= — ВŠ— е(ЕВ)= — еŠ— ер«(ЕН! (144.1) (см. формулу (43.5); заряд электрона равен — е). Согласно (105.13) отношение напряженностей магнитного и электрического полей В волне равно 1»(Е=)~е,~р,. Следовательно, для отношения магнитной и электрической сил, действующих на электрон, получается из (144.1) значение Даже если бы амплитуда колебаний электрона а достигла значения порядка 1 А (10 "м), т.
е. порядка размеров атома, амплитуда скорости электрона а«» составила бы примерно 10 " 3 10'»=- 3.101 м/о (согласно (!10.6) ы=2пч равна приблизительно Зм Ы10»1 с '). Таким образом, отношение и/с заведомо меньше 10-', так что вторым слагаемым в (144.1) можно пренебречь.
Итак, можно считать, что при прохождении через вещество электромагнитной волны каждый электрон находится под действием силы Р= — еЕ«соз(м1+а) (с« — величина, определяемая координатами данного электрона, Е, — амплитуда напряженности электрического поля волны), $ 144. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ Чтобы упростить вычисления, затуханием за счет излучения вначале будем пренебрегать.
Впоследствии мы учтем затухание, внеся в полученные формулы соответствующие поправки. Уравненйе движения электрона в этом случае имеет вид г+ в,'г = — (ест) Е, соз (в(+а) г + в,'г = — (е/т) Е,е'"". (144. 2) Здесь Е,=Е,е' — комплексная амплитуда электрического поля волны. Будем искать решение уравнения в виде г=г,е'"', где г, — комплексная амплитуда колебаний электрона. Соответственно г= = — в'г,е'"'. Подстановка этих выражений в уравнение (144.2) приводит после сокржцения на общий множитель еии к соотноше- нию — в'г, + вого = — (е(т) Е,.
Отсюда — (ес'се) Ео соо — Фо Умножение полученного равенства иа ес"' дает, что — (е/се) и (С) во со о о Наконец, взяв вещественные части от комплексных функций г и Е, найдем г как функцию й (() — (осв) Е (С) со о соО о Чтобы упростить задачу, будем считать молекулы неполярными. Кроме того, поскольку массы ядер велики по сравнению е массой электрона, пренебрежем смещениями ядер из положений равновесия под действием поля волны. В этом приближении дипольный электрический момент молекулы можно представить в виде р(() =Х )сйм+Хео[г,о+г,(()) с о = ( ~ с)с Кос +,~~ еего1+ ~~~~~ еего (() = р, + ~~~сеет (() = ~~~~ еого ((), А, О А"" А где с)с и )тос — заряды и радиусы-векторы равновесных положений ЯДЕР, Е„И Гоз — ЗаРЯД И РаДИУС-ВЕКТОР РаВНОВЕСНОГО ПОЛОЖЕНИЯ (144.3) (см.
формулу (50.13) 1-го тома; в, — собственная частота колеба- ний электрона). Добавим к правой части этого уравнения слагаемое — с(ессп)Ео з(п(в(+а) и перейдем таким образом к комплексным функциям Е и г: ГЛ. ХХ. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН С ВЕЩЕСТВОМ й-го электрона, г (е) — смещение В-го электрона из положения равновесия под действием поля волны, р, — дппольный момент молекулы в отсутствие поля, который по предположению равен нулю.
Все ге(!) коллинеарны с Е(1) Поэтому для проекции р(1) на направление Е(1) получается выражение р (1) =~ е„г (1) = ~ ( — е) ге(!) (мы учли, что ее всех электронов одинаковы и равны — е). Подставим сюда значение (144.3) для г(!), приняв во внимание, что входяшпе в состав молекулы электронве имеют неодинаковые собственные частоты ео,А. В результате получим Р (!) = ~; „' ' ., е (1). (144.4) ое Обозначим число молекул в единице объема Оуквой )У. Произседение !Тр (!) дает поляризованность вещества Р(!). Согласно формулам (19.5) и (16.2) диэлектрическая проницаемость равна е = 1 + и = 1 + — = 1 + — —. РРВ )ч д(0 Е,Е (Е) ее Е (Е) Подставив сюда значение отношения Р(!)!Е(!), получающееся нз (144.4), и заменив В через пз (см.
(110.3)), придем к формуле (144.5) ее .й 4М'А — Й' При частотах от, заметно отличающихся от всех собственных частот ыеА, сумма в (144,5) будет мала по сравнению с единицей, так что л* 1. Вблизи каждой из собственных частот функция (144.5) терпит разрыв: при стремлении ео к ыае слева она обращается в +Со, при стремлении справа — в — оо (см.
пунктирные кривые на рпс. 144.1). Такое поведение функции (144.5) обусловлено тем, что мы пренебрегли трением излучения (напомним, что при пренебрежении трением амплитуда вынужденных колебаний при резонансе обращается в бесконечность; см. формулу (60.18) 1-го тома). Учес трения излучения приводит к зависимости пз от ео, показанной на рис. 144.1 сплошной кривой. Перейдя от пз к п и от о к А„получим кривую, изображенную на рис. 144.2 (дан лишь участок кривой в области одной из резонансных длин волн). Пунктирная кривая на этом рисунке изображает ход коэффициента поглощения света веществом (см. следующий параграф). Участок 3 — 4 аналогичен кривой, приведенной на рис. 142.1. Участки 1 — 2 и 3 — 4 соответствуют нормальной дисперсии (е)п/дА,(0).
На участке 2 — 3 дисперсия аномальна (е)пlд),)0). 401 $ !4К ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА В области 1 — 2 показатель преломления меньше единицы, следовательно, фазовая скорость волны превышает с. Это обстоятельство не противоречит теории относительности, основывающейся на утверждении, что скорость передачи сигнала не может превзойти с. В предыдущем параграфе мы выяснили, что передать сигнал с помощью идеально монохроматической волны невозможно. Передача же энергии (т. е. сигнала) с помощью не вполне монохроматнческой волны (группы волн) осуществляется со скоростью, равной групповой скорости, определяемой формулой (143.16). В области нормальной дисперсии Ы!(Л >О (бг! и 1(с имеют разные знаки, а и!!1Я.( (0), так что, хотя о)с, групповая скорость оказывается меньше с. л" л Арр рррр Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
