И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Вычисленное по формуле (7?.!) значение удельного заряда носителей получалось очень близким к еlт для электронов. Таким образом, бь<ло экспериментально доказано, чтс( носителями тока в металлах являются электроны. Ток в металлах можно вызвать крайне малой разностью потенциалов. Это дает основание считать, что носители тока †электро перемещаются по металлу практически свободно. К тому же выводу приводят и результаты опыта Толмена и Стюарта. Существование в металлах свободных электронов можно объяснить тем, что прн образовании кристаллической решетки от атомов $ а элементАРнАя клАссическАя теОРия метхллОв металла отщепляются слабее всего связанные (валентные) электроны, которые становятся <коллективной» собственностью всего куска металла.
Если от каждого атома отщепится по одному электрону, то концентрация свободных электронов (т. е. их число л в единице объема) будет равна количеству атомов в единице объема. Число атомов в единице объема равно (6/М)А/А, где 6 — плотность металла, М вЂ” масса моля, А/А — число Авогадро. Для металлов значения 6/М заключены в пределах от 2 1О' моль'м' (для калия) до 2.10'" моль/м' (для бериллия). Следовательно, для концентрации свободных электронов (илн, как их еще называют, электронов проводимости) получаются значения порядка и =- 10з' —: 10м м-'(10~~ —: 10м см- ').
(77.2) 5 78. Элементарная классическая теория металлов Исходя из представлений о свободных электронах, Друде создал классическую теорию металлов, которая затем была усовершенствована Лоренцем. Друде предположил, что электроны проводимости в металле ведут себя подобно молекулам идеального газа. В промежутках между соударениями они движутся совершенно свободно, пробегая в среднем некоторый путь А. Правда, в отличие от молекул газа, пробег которых определяется соударениями молекул друг с другом, электроны сталкиваются преимущественно не между собой, а с ионами, образующими кристаллическую решетку металла. Эти столкновения приводят к установлению теплового равновесия между электронным газом и кристаллической решеткой.
Полагая, что на электронный газ могут быть распространены результаты кинетической теории газов, оценку средней скорости теплового движения электронов можно произвести по формуле <о) = )~8й7'/плг (78. 1) (см. формулу (98.28) 1-го тома). Для комнатной температуры ( 300 )<) вычисление по этой формуле приводит к следующему значению: ./В Цаа.~о-м ЗОО У 314.О91 Ш При включении поля иа хаотическое тепловое движение, происходящее со скоростью <о), накладывается упорядоченное движение электронов с некоторой средней скоростью <и>. Величину этой скорости легко оценить, исходя из формулы (78.2) / =- пе <и> (см. (34.4)).
Предельная допустимая техническими нормами плотность тока для медных проводов составляет около 10' А/ма (10 А/мм'). 230 ГЛ. Х!. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ Взяв для л значение ! О" и ', получим «и> = — = „10 ' м(с. !ш ел !Л !О-'" !Ом Таки!л образом, даже при Очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения зарядов <а> примерно в 1О' раз меньше средней скорости теплового движения <о>. Поэтому при вычислениях модуль результирующей скорости ( Р + и( можно заменять модулем скорости теплового движения !Р(. Найдем вызываемое полем изменение среднего значения кинетической энергии электронов.
Средний квадрат результирующей скорости равен <(ч+ п)'> = <Р'+ 2тп+ и-'> =<т'>+ 2 <Ем>+ <и'>. (78 3) Два события, заключающиеся в том, что скорость теплового движения электрона примет значение ч, а скорость упорядоченного движения — значение п, являются статистически независимыми. Поэтому согласно теореме Об умножении вероятностей (см. формулу (93.4) 1-го тома) <Рп>=<я> <и>. Но <т> равно нулю, так что второе слагаемое в (78.3) исчезает и формула принимает вид <(Р+ н)'> = <ч*>+ <и*>. Отсюда вытекает, что упорядоченное движение увеличивает кинетическую энергию электронов в среднем на (78.4) Закон Ома. Друде считал, что при соударении электрона с ионом кристаллической решетки приобретенная электроном дополнительная энергия (78.4) передается иону и, следовательно, скорость и в результате соударения делается раиной нулю. Предположим, что гюле, ускоряющее электроны, однородно.
Тогда под действием поля электрон получит постоянное ускорение, равное еЕ/т, и к концу пробега скорость упорядоченного движения достигнет в среднем значения еЕ (78.5) где т — среднее время между двумя последовательными соудареннями электрона с ионами решетки. Друде не учитывал распределения электронов по скоростям и приписывал всем электронам одинаковое значение скорости о. В этом приближении Т=А7о (напомним, что 1т+ и) практически равен 1Р1). Подставив это 5 Уг. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ 231 значение т в формулу (78.5), получим еЕХ (78.6) сс тг» Подстановка этого выражения в формулу (78.2) дает Легл 1= — Е. 2те Плотность тока оказалась пропорциональной напряженности поля. Следовательно, мы пришли к закону Ома.
Согласно (34.3) коэффициент пропорциональности между 1 и Е представляет собой проводимость легл и= —. 2те ' (78.7) Если бы электроны не сталкивались с ионалш решетки, длина свободного пробега, а следовательно, и проводимость были бы бесконечно велики. Таким образом, согласно классическим представлениям электрическое сопротивление металлов обусловлено соударениями свободных электронов с ионами, помещающимися в узлах кристаллической решетки металла. Закон Джоуля — Ленца. К концу свободного пробега электрон приобретает дополнительную кинетическую энергию, среднее значение которой равно (78.8) (см. формулы (78.4) и (78.6)), Столкнувшись с ионом, электрон, по предположению, полностью передает приобретенную им дополнительную энергию кристаллической решетке. Сообщенная решетке энергии идет на увеличение внутренней энергии металла, проявляющееся в его нагревании.
Каждый электрон претерпевает за секунду в среднем 1л=о7)у соударений, сообщая всякий раз решетке энергию (78.8). Следовательно, в единице объема за единицу времени должно вь|деляться тепло 1 легХ () =и — <йе )= — Е' уг г " ете (и — число электронов проводимости в единице объема). Белпчугна 1'1у„есть не Что нное, как УДельная тепловая мощнОСть тока (см. 2 38).
Множитель при Еч совпадает со значением (78.7) Скорость и изменяется за время пробега линейно. Поэтому ее среднее за пробег значение равно половине максимального: 1 еЕА гав ГЛ. ХЬ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ для а. Перейдя в выражении ОЕ' от о и Е к р и 1, придем к формуле: Ят„=р~', выражающей закон Джоуля — ' Ленца (см.
формулу (38.4)). Закон Видемана — Франца. Из опыта известно, что наряду с высокой электропроводностью металлы отличаются также большой теплопроводностью. Видеман и Франц установили в 1853 г. эмпирический закон, согласно которому Отношение коэффициента теплопроводности и к коэффициенту электропроводности а для всех ме~аллов приблизительно одинаково и изменяется пропорционально абсолютной температуре. Например, для алюминия при комнатной температуре это отношение равно 5,8.10 ', для меди б,4 10 ' и для свинца 7,0 10 ' Дж-Ому(с К).
Способностью проводить тепло обладают и неметаллические кристаллы. Однако теплопроводность металлов значительно превосходит теплопроводность диэлектриков. Из этого следует, что теплопередача в металлах осуществляется в основном не кристаллической решеткой, а свободными электронами. Рассматривая эти электроны как одноатомный газ, можно заимствовать для коэффициента теплопроводности выражение кинетической теории газов: ! И = — ЛГЛПХСР 3 (см. формулу (!3!.7) 1-го тома; р заменено произведением пт, вместо (и> взято и). Удельная теплоемкость одноатомного газа равна с,='7,(й/М)='7,(й!т).
Подставив это значение в выражение для и, получим Разделив и на выражение (78.7) для а и заменив затем Ытп' через '7,йТ, придем к соотношению (78.9) которое выражает закон Видемана — Франца. Подстановка в (78.9) числовых значений я и е дает — =2,23 1О 'Т. При Т=300 К для кlп получается значение б,7.10 ' Дж Ом(с К), хорошо согласующееся с экспериментальными данными (см. приведенные выше значения и/а для А1, Сп и РЬ). Однако впоследствии выяснилось, что столь хорошее совпадение оказалось случайным, пбо когда Лоренц уточнил расчеты, учтя распределение электронов по скоростям, для отношения иlп получилось значение 2(ше)тТ, которое хуже согласуется с данными опыта.
979.ЭФФЕКТ ХОЛЛА Итак, классическая теория смогла объяснить законы Ома и Джоуля — Ленца, а также дала качественное объяснение закона Видемана — Франца. Вместе с тем эта теория встретилась с весьма сушественными затруднениями. Из иих основными являются два. Из формулы (78.7) вытекает, что сопротивление металлов (т. е. величина, обратная и) должно возрастать как корень квадратный нз Т. Действительно, для предположении о зависимости величин а и Х от температуры нет никаких оснований.
Скорость же теплового движения пропорциональна корню из Т. Этот выьод теории противоречит опытным данным, согласно которым электрическое сокро. тнвление металлов растет пропорционально первой степени Т, т. е. быстрее, чем )/Т (см. формулу (34.5)). Второе затруднение классической теории заключается в том, что электронный газ должен обладать молярной теплоемкостью, равной '!,17.
Добавив эту величину к теплоемкости решетки, составляюшей ЗК (см. формулу (114.1) 1-го тома), получим для молярной теплоемкости металла значение '7,)с. Таким образом, согласно классической электронной теории молярная теплоемкость металлов должна быть в 1,5 раза больше, чем у диэлектриков. В действительности же теплоемкость металлов не отличается заметно от теплоемкости неметаллических кристаллов. Объяснение такого иесоотае9- ствия смогла дать лишь квантовая теория металлов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
