Ульянов (новое издание) (1115355), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Множество событий (конечное или счётное) Q = {Ei } называется разбиением пространства элементарных исходовSΩ ⇐⇒ события из Qпопарно несовместны, имеют ненулевые вероятности иEi = Ω.i :Ei ∈QУтверждение 3.3 (Формула полной вероятности). Пусть Q — разбиение Ω,тогда для любого события AXP(A) =P(Ei ) P(A|Ei ).i :Ei ∈QДоказательство. Вспомним, что любое событие A можно представить как объединение по всему разбиению несовместных событий AEi , то есть[[AEi = A Ei = AΩ = A; ∀i, j : Ei , Ej ∈ Q, i 6= j AEi AEj = AEi Ej = A∅ = ∅.i :Ei ∈Qi :Ei ∈QЗначит, по свойству счётной либо конечной аддитивности вероятности имеемXXP(A) =P(AEi ) =P(Ei ) P(A|Ei ).i :Ei ∈Qi :Ei ∈QУтверждение 3.4 (провокация). В аудиторию вносят урну с двумя шарами,каждый из которых может быть либо чёрным, либо белым равновероятно и привытаскивании одного шара шансы оказаться снаружи у обоих одинаковы⇓принесли урну с чёрным и белым шарами.Доказательство.
Доказательство опирается на тот факт, что если в урне имеетсятри шара, каждый из которых имеет те же шансы оказаться снаружи, что и другие,и P(вытащили белый шар) = 2/3, то в ней два белых и один чёрный шар. Легкодоказывается от противного.В той урне, что принесли в аудиторию, может быть два чёрных шара — обозначим это событие как E1 , P(E1 ) = 1/4, там может быть два белых шара — событиеE3 , P(E3 ) = 1/4 и могут быть чёрный и белый шары — событие E2 , P(E2 ) = 1/2.События E1 , E2 , E3 образуют разбиение пространства элементарных исходов Ω ={ЧЧ,ЧБ,БЧ,ББ}.Теперь возьмём эту урну, забросим в неё белый шар и осуществим процесс, врезультате которого при вытаскивании одного шара шансы каждого из трёх шаровоказаться снаружи станут равными.
Посчитаем, чему равна вероятность вытащитьбелый шар:P(Б) =3Xi=1P(Ei ) P(Б|Ei ) =1 2 1 13+4+121·1+ · + · ==42 3 4 312328Мы получили, что для урны с тремя равноправными шарами вероятность вытащить белый равна 2/3, значит, в ней два белых шара и один чёрный. А посколькуодин белый мы туда подложили, то изначально там были два шара разных цветов.Утверждение доказано.Замечание. Утверждение неверное, это очевидно. Для этого достаточно подложитьв урну два чёрных шара и осуществить процесс, в результате которого шансы обоихшаров оказаться снаружи сравняются при вытаскивании одного. Значит, доказательство тоже неправильное. И вот почему.Неверен переход от «вероятность вытащить белый равна 2/3» к «в ней два белыхшара и один чёрный». Тонкость в том, что формула полной вероятности учитываетурны со всеми возможными комбинациями сразу с соответствующими вероятностями. Можно представить себе ряд из урн, в которых реализованы все возможныекомбинации шаров. Теперь положим во все из них по белому шару.
Как из всех этихурн выбрать ту, из которой будет выбираться в итоге шар?Формула полной вероятности смешивает их все в одну, учитывая вероятностикомбинаций шаров внутри них, а затем из этой «средней» урны тянет шар. Кстати,«средней» урной оказалась урна с чёрным и белым шарами. Здесь урна — средняя,составленная из всех возможных.А тот, кто вносит урну в аудиторию, — не формула полной вероятности.
Он выбрал какую-то одну, с конкретной комбинацией шаров. И совершенно необязательноему попадётся «средняя». Тут она — конкретная, фиксированная урна.Мы получили результат P(Б) = 2/3, но для «средней» урны, а вывод сделалитак, будто она конкретная и фиксированная.Можно изменить условие утверждения: потребовать, чтобы в урнах были двашара одного цвета — белого или чёрного, равновероятные варианты. В этом случаеход мыслей доказательства приводит к тому же «принесли урну с чёрным и белымшарами». Тут ярче видно, что происходит при использовании формулы полной вероятности.Нельзя вот так взять и подменить реальную конкретную урну средней! И влюбых других задачах подмена чего-либо на среднее недопустима (конечно, еслинет тому обоснования), потому что обязательно приведёт к неверному результату.
Ихорошо ещё, если этот неверный результат удаётся так легко обнаружить.3.5Формула БайесаНесложные преобразования формулы условной вероятности в комбинации с формулой полной вероятности позволяют получить формулу Байеса:Утверждение 3.5 (Формула Байеса). Пусть Q — разбиение Ω, A — некотороесобытие, P(A) > 0. Тогда ∀i : Ei ∈ QP(Ei ) P(A|Ei )P(Ei |A) = PP(Ei ) P(A|Ei )i :Ei ∈QДоказательство.P(Ei |A) =P(Ei ) P(A|Ei )P(AEi )=P.P(A)P(Ei ) P(A|Ei )i :Ei ∈Q29Числитель расписан по определению условной вероятности, знаменатель — по формуле полной вероятности.Определение 3.8.
В формуле Байеса вероятности {P(Ei )} называются априорными, до наcтупления события A, обычно они известны заранее. Вероятности{P(Ei |A)} называются апостериорными, после наступления события A, заранееобычно неизвестны.Замечание. Рассмотрим процесс признания человека страдающим либо не страдающим от редкой болезни. Пусть событие H состоит в том, что человек от даннойболезни не страдает, S состоит в том, что человек ею болен, P — в том, что егопризнали носителем этого заболевания и D — в том, что не признали таковым.
Проблема начинается с того, что множества H и D не совпадают. А выливается в то,что для редких болезней P(H|P ) получается большим. Иллюстрируется это нехитро: просто применим формулу Байеса. Поскольку болезнь редкая, то P(S) обозначимдля наглядности как ε — очень маленькое число, тогда P(H) = 1 − ε иP(H|P ) =(1 − ε) P(P |H)=(1 − ε) P(P |H) + ε P(P |S)1.εP(P |S)·1+1 − ε P(P |H)Конечно, если страшно мало P(P |H), то P(H|P ) не окажется таким уж большим иP(S|P ) таким уж малым, однако положим ε = 10−6 , P(P |S) = 0.999999 и P(P |H) =10−5 , выйдет P(H|P ) = 0.(90) > 0.9.
В реальной жизни попадаются редкие болезнис P(H|P ) > 0.9. Кстати, вероятность того, что признанный здоровым болен, выражается следующим образом:P(S|D) =ε P(D|S)=(1 − ε) P(D|H) + ε P(D|S)1.1 − ε P(D|H)1+·εP(D|S)Производит впечатление маленькой величины. Просто взять предел при ε → 0 ипосмотреть, где получается ноль, а где один, нельзя, потому что величины P(D|H),P(D|S), P(P |H) и P(P |S) в общем случае зависят от ε.
Но вид формул показателен.Роковую роль играет отношение вероятности быть больным к вероятности ошибкиP(P |H). Если P(P |H) не превышает ε, то, скорее всего, окажется P(H|P ) > 0.5.3.6Дискретные случайные величины, индикаторысобытийОпределение случайной величины короткое и простое. Пусть задано пространствоэлементарных исходов Ω, пока ещё коечное либо счётное:Определение 3.9. Случайная величина — измеримое относительно σ-алгебрысобытий отображение из Ω в R.Замечание. Слово «измеримое» пока не комментируется, потому что в случае конечных или счётных пространств элементарных исходов любое отображение из Ω вR "измеримо".
Это связано с тем, что σ-алгебру событий можно в данном случаебрать как множество всех подмножеств Ω. О том, что происходит, если Ω можетоказаться мощности континуум можно почитать на с.60.30Замечание. Вообще, если Ω — не более, чем счётное и имеется несколько случайныхвеличин, то можно строить на их базе какие угодно функции (лишь бы соблюдалисьобласти определения). Всё равно получится случайная величина.
Это обстоятельствонеявно используется в разговоре о мат. ожидании, дисперсии и других моментахслучайных величин. Там правомерность сложения случайных величин, возведенияв степень и смещения на константу считается обоснованной в этом замечании.Самое простое отображение — это константа. Чем бы ни было Ω, константа —случайная величина.Определение 3.10. Случайная величина называется дискретной, если она принимает не больше счётного числа значений.При наших условиях на Ω в области определения случайной величины есть только счётное количество элементарных исходов, так что она неминуемо дискретная.Можно это размышление для яркости провести от обратного.Определение 3.11.
Пусть задано множество A ⊆ Ω. Индикатором IA множества A называется следующая случайная величина:(1, если ω ∈ A,IA (ω) =0, если ω ∈/ A.Замечание. Индикатор множества — не всегда случайная величина. Но если множество является событием, то индикатор случайной величиной обязательно будет.Отсюда видно, между прочим, что отображение, принимающее два разных значения, уже может не быть случайной величиной.С помощью индикаторов можно любую дискретную случайную величину X представить с помощью ряда. Пусть имеется разбиение Ω {Ai }, то есть множество попарно несовместных непустых событий (счётное или конечное), объединение которыхдаёт Ω.
Тогда ряд (индексы приведены для счётного разбиения)∞Xxi IAi (ω)i=1является дискретной случайной величиной. В силу того, что события из разбиенияпопарно несовместны, при любом ω во всём ряду все индикаторы кроме одного обратятся в ноль. Так что больше чем счётное количество значений ряд не примет.В случае не более чем счётного Ω любую дискретную случайную величину можноразложить в такой ряд, просто взяв как разбиение события, состоящие из одногоэлементарного исхода, а как xi — значения X на соответствующих событиях. В случае более мощного Ω надо брать прообразы множеств {xi }. В силу того, что X —случайная величина, они будут событиями, но об этом позже (на с.58).Определение 3.12.
Распределением или распределением вероятности дискретной случайной величины X называется совокупность её значений x1 , x2 , . . . ссоответствующим набором вероятностей pi = P(X = xi ).Замечание. Иногда можно считать, что случайная величина принимает ещё континуум каких-нибудь значений, но только с вероятностью ноль. Тогда в определенииговорят «совокупность её возможных значений», выбрасывая те, что принимаются снулевой вероятностью. Строго говоря, проделывая такой манёвр, мы подменяем пространство элементарных исходов, так что не следует этим злоупотреблять. Потерьстрогости лучше избегать.31Пример. Пусть осуществляется выбор шаров двух цветов (разных, если угодно) изурны по схеме с возвращением, вероятность вытащить шар цвета 1 равна p.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
