Ульянов (новое издание) (1115355), страница 8
Текст из файла (страница 8)
ПустьX — это количество шаров первого цвета 1 в цепочке таких экспериментов, длинакоторой равна n. Каким бы пространством элементарных исходов ни описывался эксперимент (шары ведь можно занумеровать, что и проделывалось на с.21), оно будетконечным (если оно вменяемое). Так что тут отображение X — случайная величина, дискретная. Распределение дискретной случайной величины удобно представитьтаблицей:P(X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k ;0 1 ...
n— распределение X.p0 p1 . . . pnЗамечание. Случайные величины, имеющие одинаковые распределение, могут оказаться совершенно непохожими друг на друга. Простой пример — два «противоположных» индикатора, характеризующие результат подбрасывания правильной монетки: индикатор герба и индикатор решки. Пример посложнее: пусть Ω — это целыечисла от нуля до девяти, исходы равновозможны. Одна случайная величина — этоX(ω) = sin(ω/3), вторая — Y , полученная из X простой перестановкой порядка следования точек. Получится другая случайная величина с тем же распределением.Слева на рисунке изображена X, дальше — разные варианты Y :.Все четыре случайных величины распределены одинаково, но выглядят совершеннопо-разному.
А вообще, эти десять точек можно переставить 10! способами, при этомбудет много случайных величин, не равных как функции ни в одной точке.3.7Схема БернуллиПусть имеется некоторый эксперимент, при проведении которого событие A наступает либо не наступает, обозначим p = P(A). При неизменных условиях эксперимент проводится n раз.
Пространство элементарных исходов принимает видΩ = {ε1 , ε2 , . . . , εn }, где каждый из εi , i ∈ Z, 1 6 i 6 n может быть либо нулём, еслисобытие A в i-том эксперименте не наступило, либо единицей, в противном случае. Причём если p 6= 1/2, то равновозможности элементарных исходов нет. Такиеэксперименты с двумя возможными результатами называются ещё испытаниямиБернулли.
Причём обязательно подразумевается их независимость друг от друга,если специально не оговорено что-нибудь другое.В качестве σ-алгебры можно брать множество всех подмножеств Ω. Вероятностьполностью определяется, если задать её для всех событий, состоящих из одного элементарного исхода, что делается следующим образом:nPεin−P({ω}) = pi=1 (1 − p)nPεii=1, где ω = (ε1 , ε2 , .
. . , εn ) — набор из нулей и единиц.Объясняется это следующим образом. Пусть цепочка фиксированная, то есть жёстко заданы позиции, на которых нужен ноль и так же жёстко заданы позиции подединицы. Независимо от номера позиции в цепочке (эксперименты ведь проводятсяпри одинаковых условиях) вероятность того, что в ней оказалась единица, равнаp, а вероятность того, что ноль — 1 − p. Эксперименты между собой независимы всовокупности — значит, вероятность пересечения событий, состоящих в том, что наконкретных позициях стоят нужные цифры, равна произведению этих вероятностей.32То есть, вероятность конкретной цепочки с k единицами и n − k нулями получаетсяравной pk (1 − p)n−k .
Между прочим, она не зависит от того, на каких конкретнопозициях какие цифры стоят.Определение 3.13. Вероятностное пространство, отвечающее модели из n одинаковых независимых испытаний, дающих два результата («успех» с вероятностью p и «неуспех» с вероятностью 1 − p), называется схемой Бернулли.Пусть X — это количество наступлений события A в n испытаниях, случайнаявеличина.Пусть событие Ai состоит в том, что на i-том шаге A наступило. Тогда X можнопредставить в виде суммы индикаторов Ai :X=nXIAi .i=1Эксперименты между собой полностью независимы, тогда события {Ai } независимы в совокупности.
Вероятность того, что IAi = 1 равна вероятности того, что Aiпроизошло, то есть p. Опираясь на эти соображения, можно отыскать распределениеслучайной величины X: всё почти так же, как и в урновой схеме с возвращением,правда, теперь p может оказаться иррациональным.Разных цепочек длины n с k единиц и n − k нулей можно составить, как известноkCn штук (всё равно что Cnn−k ). Цепочки с единицами в разных наборах позиций общих между собой не имеют.
Поэтому соответствующие им события не пересекаютсяи вероятность их объединения равна сумме их вероятностей. То есть, вероятностьтого, что в результате n экспериментов произошло k удач и n − k неудач равнаCnk pk (1 − p)n−k . Возвращаемся к случайной величине X:01...n−1n— распределение X — биномиальное.(1 − p)n np(1 − p)n−1 . . . npn−1 (1 − p) pnВезде в моделях из n независимых одинаковых экспериментов с вероятностью «успеха» p случайная величина, равная общему количеству «успехов» за эти n экспериментов, будет иметь биномиальное с параметрами n и p распределение.Немного позже выяснится, что среднее X/n равно p (на с.39) и что при n → ∞X/n к нему стремится (на с.47). Так что, имея на руках много испытаний Бернулли,можно оценивать вероятность «успеха» в одном испытании.33Лекция 44.1Независимость дискретных случайных величин,теорема о независимости двух функций от непересекающихся совокупностей независимых дискретных случайных величинВ продолжение разговора о независимости событий (который шёл на с.
26) речьпойдёт о независимости случайных величин, пока дискретных.Пусть задано вероятностное пространство (Ω,F ,P) и на нём все упоминаемыениже случайные величины.Определение 4.1. Пусть имеется конечный либо счётный набор случайных величин {Xi }. Случайные величины {Xi } независимы или независимы в совокупностиmДля любого набора вещественных чисел {xij } независимы события {ω : Xi = xij }.Снова попарная независимость нескольких случайных величин и их независимость в совокупности — в общем случае не одно и то же. Достаточно взять примерБернштейна и добавить в него три соответствующих случайных величины.Замечание. Пусть имеется случайная величина X.
Спрашивается, при каких условиях случайные величины из набора {X, X} независимы.Должны быть независимыми события {X = xi } при любых xi . Пусть для Xимеется два различных значения xi и xj , причём P(X = xi ) 6= 0. Тогда должнывыполняться равенства:0 = P(∅) = P({X = xi } ∩ {X = xj }) = P(X = xi ) P(X = xj ),P(X = xi ) = P({X = xi } ∩ {X = xi }) = P(X = xi )2 .Так что одно своё значение эта случайная величина принимает с вероятностью один,а остальные — с вероятностью ноль. Тогда, во-первых, любое количество константс вероятностью один можно прибавить к независимому набору случайных величин,и зависимым он от этого не станет. Во-вторых, если имеется набор независимыхслучайных величин, в котором есть одинаковые члены, то они — константы с вероятностью один.
Вообще, у константы событие A(x) = {ω : C = x} будет либо пустым,либо равным Ω. Поэтому константа с вероятностью один никогда и ни от кого независит в силу того, что ∅ и Ω всегда независимы с любым событием.Теорема 4.1. Пусть X1 , X2 , . . . , Xk и Y1 , Y2 , . . . , Yn — независимые случайные величины. Пусть f и g — измеримые функции (с.60), причём f : Rk → R и g : Rn → R.Тогда случайные величины f (X1 , X2 , .
. . , Xk ) и g(Y1 , Y2 , . . . , Yn ) независимы.34Замечание. Измеримость нужна для того, чтобы f (X1 , . . . , Xk ) и g(Y1 , . . . , Yn ) были случайными величинами. Опять же, если Ω конечное либо счётное, то любоеотображение из Ω в R измеримо.Доказательство. Возьмём произвольные вещественные числа a и b.
Построимсобытия A и B следующим образом:A = {ω : f (X1 (ω), X2 (ω), . . . , Xk (ω)) = a} и B = {ω : g(Y1 (ω), Y2 (ω), . . . , Yn (ω)) = b}.Нужно показать независимость этих двух событий.Заметим, что векторы X(ω) и Y (ω) (равные соответственно (X1 (ω), . . . , Xk (ω)) и(Y1 (ω), . . . , Yn (ω))) составлены из дискретных случайных величин и, следовательно,принимают не более счётного количества значений. Это значит, что любые подмножества множеств значений этих векторов EX и EY можно представить как счётныеобъединения конкретных значений этих векторов. Это используется в выкладкахниже в переходе ♠.Пусть теперь D и T — некоторые множества из Rk и Rn соответственно.
Покажем,что события {ω : X(ω) ∈ D} и {ω : Y (ω) ∈ T } независимы:♠P(X ∈ D, Y ∈ T ) = P(X ∈ D∩EX , Y ∈ T ∩EY ) = P z=X♣P(X = Di , Y = T i ) =Di ∈D∩EXT i ∈T ∩EY♥=XP({X = Di }) Di ∈D∩XX[{X = Di , Y = T i }Di ∈D∩EXT i ∈T ∩EYP(X = Di ) P(Y = T i )Di ∈D∩EXT i ∈T ∩EYXP({Y = T i })T i ∈T ∩EY= P(X ∈ D∩EX ) P(Y ∈ T ∩EY ) = P(X ∈ D) P(Y ∈ T ).Переход ♣ — это независимость случайных величин X1 , X2 , .
. . , Xk и Y1 , Y2 , . . . , Yn .Переход z — это не что иное, как счётная или конечная аддитивность вероятности.Как известно, декартово произведение не более, чем счётных множеств не более,чем счётно, поэтому объединение по множеству Di ∈ D ∩ EX , T i ∈ T ∩ EY — неболее, чем счётное. В ♥ произошла перегруппировка слагаемых. Сумма от этогоне изменится — ряды, из членов которых составлены члены нового ряда, сходятсяабсолютно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
