Ульянов (новое издание) (1115355), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Попытка применить тут классическую вероятность приведет в тупик:P(A) =kAk,kΩkесли с kAk вопросов не возникает, то вот разобраться с тем, что же такое в данном случае kΩk, не получится. Эта формула тут вообще некорректна, потому что Ωвновь счетно, а вовсе не конечно. Кроме того, сама модель не позволяет построитьвероятностное пространство. Все станет просто и очевидно после появления болеестрогих формулировок и определений, но об этом — на следующей лекции.8Лекция 22.12.1.1Аксиоматика А. Н. КолмогороваВероятностное пространство, σ-алгебра событий, вероятностьНачнём с того, что есть и другие аксиоматики.
Даже с отрицательной вероятностью!Однако, в данном курсе вполне достаточно аксиоматики Колмогорова, о которойречь пойдет на этой лекции.Определение 2.1. Пусть Ω — любое непустое множество. Событием будем называть любое подмножество Ω. Событие Ω называется достоверным событием, а событие ∅ — невозможным.
Само множество Ω называется пространством элементарных исходов.Замечание. Очень скоро под словом «событие» будет пониматься уже не всякоеподмножество Ω.Определение 2.2. События A и B называются несовместными, если A ∩ B = ∅.Определение 2.3. Множество F подмножеств Ω называется классом событий ⇐⇒ F обладает следующими тремя свойствами:1◦ . Классу событий принадлежит достоверное событие:Ω ∈ F.2◦ . Класс событий для любого своего события содержит его отрицание:A ∈ F =⇒ A ∈ F.3◦ . Свойство счётной аддитивности:∀ i ∈ N Ai ∈ F =⇒∞[Ai ∈ F.i=1Замечание. Здесь важно заметить, что, имея на руках операции объединения иотрицания, можно построить операцию пересечения следующим образом:A ∩ B ≡ A ∪ B.Определение 2.4.
F — вырожденный класс событий ⇐⇒ F = {∅, Ω}.Замечание. Вырожденный класс событий — это наименьший класс событий, онобладает указанными выше тремя свойствами. Как минимум, Ω и Ω класс событийобязан содержать. Меньше никак нельзя.9Определение 2.5. Множество F , обладающее указанными выше тремя свойствами, называется сигма-алгеброй. Разные «счётные» операции за пределы сигмаалгебры не выводят.Определение 2.6.
Событием называется подмножетсво Ω, являющееся элементом σ-алгебры событий.Определение 2.7. Пусть P — отображение из класса событий F в R.P называется вероятностью ⇐⇒ P обладает следующими тремя свойствами:1◦ . Нормировка: вероятность достоверного события равна единице:P(Ω) = 1.2◦ . Вероятность неотрицательна:∀ A ∈ F P(A) > 0.3◦ . Счётная аддитивность вероятности или σ-аддитивность вероятности:∀ i ∈ N Ai ∈ F, ∀ i, j ∈ N i 6= j =⇒ Ai Aj = ∅⇓∞∞[XP( Ai ) =P(Ai ).i=1i=1Утверждение 2.1. Вероятность невозможного события равна нулю.P(∅) ≡ 0.Доказательство. Рассмотрим следующую счётную последовательность событий:Ω, ∅, ∅, ∅ . . .. События из этой последовательности попарно несовместны и объединение их равно Ω.
Далее пользуемся свойством счётной аддитивности для этой последовательности:Ω = Ω ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ . . . =⇒ P(Ω) = P(Ω) + P(∅) + P(∅) + P(∅) + . . .⇓1 = 1 + P(∅) + P(∅) + . . . =⇒ 0 = P(∅) + P(∅) + P(∅) + . . . =⇒ P(∅) = 0.Если считать понятие меры известным, то вероятность — это нормированнаямера. То есть, вероятность от меры отличается только уловием P(Ω) = 1.Теперь несколько слов по поводу того, зачем же нужна σ-алгебра.
От множествавсех подмножеств Ω σ-алгебра в общем случае существенно отличается. Пример тому, описанный наклонным шрифтом на с.12, — подмножество отрезка от нуля доодного, не имеющее меры по Лебегу, такие множества называются неизмеримыми. Требуется именно существование меры Лебега подмножеств Ω, с которыми мыбудем работать, потому что иначе не существует для них и вероятности.
Для такихмножеств просто нельзя её ввести, не потеряв при этом какое-нибудь очень нужноеиз трёх её свойств. И именно членство в правильно построенной σ-алгебре событийстрого гарантирует существование вероятности безо всяких нарушений, парадоксови потерь. Неизмеримые множества из σ-алгебры специально исключаются, и никакими не выводящими из неё операциями получить их из измеримых множествнельзя.А вот для счётного Ω такой проблемы нет.10Утверждение 2.2. Для любой вероятностной модели со счётным Ω в качествеσ-алгебры событий F можно брать множество всех подмножеств Ω, мощностьF — континуум.Доказательство. Итак, пусть у нас имеется счётное количество элементарныхисходов:Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , .
. .}.Покажем, что для множества всех подмножеств Ω, которое обозначим через F , определена вероятность. Выполненность для F свойств σ-алгебры очевидна.Построим взаимно-однозначное соответствие между элементами F и строками изнулей и единиц счётной длины B. Пусть A ∈ F — событие. Строку, соответствующуюA обозначим BA , цифру, стоящую в i-той позиции строки BA обозначим biA .
BAопределим следующим образом:(1, если ωi ∈ A,ibA =0, если ωi ∈/ A.⇓∀A ∈ F ∃ !BA , ∀A1 , A2 ∈ F : A1 6= A2 =⇒ BA1 =6 BA2 и ∀B1 ∈ B ∃A ∈ F : B1 = BA .Теперь заметим, что множество B эквивалентно множеству всех бесконечных двоичных дробей с нулевой целой частью, то есть, множеству [ 0, 1]. Соответствующуюэлементу Q ∈ B бесконечную дробь обозначим как RQ и просто прямо построим последующему правилу:RQ = 0.q1 q2 q3 q4 q5 .
. . , где qi — i-тый разряд Q.Отсюда следует, что B, равно как и F , имеет мощность континуум.Зададим вероятности событий {ωi } числами pi , i ∈ N, чтобы было верным∞Xpi = 1, pi > 0 ∀i ∈ N.i=1События эти плюс пустое попарно несовместны и любое другое событие можно представить как их счётное объединение. Вероятность Ω, которое равно счётному объединению всех {ωi }, равна единице, вероятность ∅, не содержащего никого из {ωi },равна нулю.
Любое событие представить как(∞[[Ω, если ωi ∈ A,A = ({ωi } ∩ Ii ) ={ωi }, где Ii =.∅, если ωi ∈/ A.i=1i :ω ∈AiСобытия {ωi } ∩ Ii по-прежнему попарно несовместны, поскольку {ωi } ∩ Ii ⊆ {ωi }, иможно воспользоваться свойством счётной аддитивности вероятности:P(A) =∞XP({ωi } ∩ Ii ) =i=1∞Xpi bia .i=1Полученный ряд сходится, поскольку сходится ряд из pi , а pi bia 6 pi и оба ряданеотрицательны. Тогда для любого события вероятность определена.Определение 2.8. Пусть Ω — произвольное непустое множество, F — сигмаалгебра событий на Ω и P — вероятность, определённая на F . В этих терминахтройка (Ω, F, P) называется вероятностным пространством.112.1.2Примеры вероятностных пространствАбстракцию требуется проиллюстрировать примерами.Конечное число элементарных исходовПростейший пример — подбрасывание правильного игрального кубика.
Он имеетшесть граней, и на каждую из них после броска приземляется с той же вероятностью, что и на любую другую. Элементарных исходов шесть: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, гдецифрой обозначается число на обращённой вверх после броска грани. Ω — пространство элементарных исходов.Займемся сигма-алгеброй событий. Выпадение любой грани — это событие. Тоесть, A1 = {1}, A2 = {2}, A3 = {3}, A4 = {4}, A5 = {5}, A6 = {6} — всё это события. Кроме того, событием будет само Ω. Обратимся к свойствам сигма-алгебры.В ней с любым событием должно содержаться его отрицание.
Отрицание Ω — этоневозможное событие ∅. Отрицание Aj (j ∈ Z, 1 6 j 6 6) можно представить так:Aj =6[Ak .k=1k6=jОбратим внимание на то, что если у нас есть счётная аддитивность и невозможное событие, то можно получить конечную аддитивность, просто положив всехвостовые события невозможными. То есть, если F — σ-алгебра, то в ней содержится невозможное событие (как отрицание достоверного) и есть свойство счётнойаддитивности. Значит,A, B ∈ F =⇒ A ∪ B ∪ ∅ ∪ ∅ .
. . ∈ F — это счётная аддитивность.⇓A ∪ B ∈ F , поскольку A ∪ B = A ∪ B ∪ ∅ ∪ ∅ . . .Поэтому вышеупомянутые события A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 можно как угодно объединять. Полезно заметить, что они попарно несовместны. Дальше то, что получилось, можно как угодно пересекать. Событие «выпало чётное число» представимо ввиде A2 ∪ A4 ∪ A6 , событие «не единица» представляется как A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 .Нетрудно обнаружить, что σ-алгебра событий в данном случае представляет собоймножество всех подмножеств Ω.Раз кубик правильный, то вероятность выпадения каждой грани равна 1/6. Тоесть, P(Aj ) = 1/6 (j ∈ Z, 1 6 j 6 6).
Вероятность вводится как классическая, длялюбого события её несложно посчитать и тем самым она полностью определена.Другой пример вероятностного пространства — игра в рулетку. Пространствоэлементарных исходов — все то, что может выпасть. В честном случае все эти элементарные исходы равновероятны, σ-алгебра событий и вероятность вводятся аналогично случаю с кубиком, но здесь интерес повыше, потому что появляются новыесобытия в духе «красное» и так далее.Счётное число элементарных исходовБолее сложный пример — это игра Ани и Бори. Речь идет о Петербургском парадоксе. Здесь пространство элементарных исходов сложней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
