Ульянов (новое издание) (1115355), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .распре. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .138139140140141Лекция 11.1ПредисловиеПредставим себе жидкость, которая с постоянным расходом w перетекает из первогососуда во второй. Нам точно известно, что через время t из первого сосуда во второйперетечет wt жидкости. Мы точно знаем, что произойдет, наш ответ мы даем свероятностью один.Теперь, получив образование и достав где-то N единиц некоторой валюты, положим их в ПИФ "Зияющие высоты". Теперь едва-ли кто-нибудь знает, что там сними будет через год.
Есть несколько вариантов:• Наши сбережения выросли в полтора раза! Вероятность такого события, положим, 80%.• Наши сбережения едва-едва не обесценились в результате потрясений в финансовом мире, но остались в сохранности. Вероятность этого события, скажем,12%.• И, наконец, наши сбережения исчезли. Вероятность — 8%.Теперь на вопрос, что же там будет дальше, мы отвечаем, используя слово «вероятность».Это — одно из обстоятельств, с которым придется иметь дело в этом курсе.
Датьточно определенный ответ на вопрос, что же произойдет, нельзя, хотя бы из-за установленных Гейзенбергом фактов квантовой механики. Зато, если повезет, можноточно указать вероятность некоторого события. Чему равна вероятность выпадения в казино на рулетке именно той позиции, на которой некто вечером в пятницусоставил башенку из всех фишек, которые смог добыть?Один из источников теории вероятности — азартные игры, и это не всем нравится.И рулетка, между прочим, возникла как средство борьбы с карточными шулерами!А владельцы казино тем временем, располагая данными о вероятностях выпадения позиций на рулетке, распределении ставок и выигрышей, посчитали, сколько всреднем выносят из казино и сколько в нем оставляют.
Разумеется, выносят немногоменьше. Эта игра — несправедливая.Определение 1.1. Игра называется справедливой тогда и только тогда, когдасредние выигрыш и проигрыш равны между собой.Еще один источник теории вероятности — страхование морских грузов. В случаестрахования определить требуемые вероятности уже гораздо сложнее. При страховании жизни, например, ставка должна зависеть от очень и очень многих вещей.Взять и посчитать нужные величины, используя только точно известные физические константы и фундаментальные законы не представляется возможным. И здесьпоявляется математическая статистика, призванная на основе полученных опытнымпутем данных строить вероятностную модель.51.2Конечные вероятностные пространства и равновероятные элементарные исходы.
КлассическаявероятностьСчитается, что теория вероятности родилась летом 1654 года, когда была решеназадача о разделе ставки.1.2.1Задача о разделе ставкиЗадача. Два игрока, точно равных в силах, играют в разные игры и за одну победу получают одно очко. Всего запланировано 11 раундов. Внезапно игры остановились. На момент остановки счет оказался равным 5 : 3. Вопрос, как справедливоделить приз, решается следующим образом: приз делится пропорционально вероятности выигрыша каждого из игроков.
Вот только вопрос определения вероятностейвыигрышей решить еще осталось! Итак, как делить приз?Решение. Разберемся с тем, что может произойти за последние три игры. Имеетсявосемь раскладов для побед в этих играх, все они равновозможны в силу одинаковости игроков в силе. Первый игрок одержал 5 побед, второй — 3. Победу первогоигрока будем обозначать «A», победу второго — «B». Итак, варианты исходов последних трёх игр:AAAAAB ABAABB при этих раскладах победит первый,BAABAB BBABBB — и только в этом случае победит второй.В семи из восьми случаев в итоге победит первый игрок.
И только в одном из них —второй. Все эти случаи равновероятны, равносильны при учете в разделе приза. Поэтому 7/8 получит первый игрок, а 1/8 получит второй. И на самом деле — первомудостаточно одержать только одну победу, в то время как второму — целых три. Иотношение долей — 7 : 1, а вовсе не 5 : 3.Теперь следует попытаться формализовать процесс решения задачи. Были рассмотрены все возможные исходы. К счастью, в этой задаче их конечное количество(что не всегда так — вот, например, бросить точку в отрезок от нуля до одного, исходов будет континуум).
Все исходы равновероятны (что тоже не всегда так — простодадим одному из игроков доппинг, увеличивающий силу в e раз). Событий было два:побеждает первый игрок или второй. Каждому из событий соответствует свой наборэлементарных исходов, и необязательно эти наборы имеют пустое пересечение.Все дальнейшие определения вводятся в том контексте, что имеется некоторыйслучайный эксперимент.Определение 1.2. Пусть Ω = {ω1 , . . . , ωn } — множество всех исходов случайного эксперимента. В этом случае множество Ω называется пространствомэлементарных исходов.6Замечание. Вообще-то, один и тот же эксперимент может быть представлен разными пространствами элементарных исходов.
Далее будет нужна равновозможностьэлементарных исходов и конечность Ω. Остальное пока неважно.Замечание. С тех пор, как все результаты содержатся в конечном множестве Ω,любое событие A можно считать подмножеством Ω. Строгое определение событияпоявится несколько позже. В задаче о разделе ставки победу первого игрока означало множество из семи элементарных исходов, победу второго игрока — множествоиз одного элементарного исхода.Определение 1.3.
Пусть есть конечное пространство элементарных исходов Ω,все элементарные исходы равновозможны. Пусть имеется событие A, A ⊆ Ω.Тогда классическая вероятность события A определяется какP(A) =kAk.kΩkПусть теперь нам удалось построить множество всех событий. Обозначим его F .В задаче о разделе ставки событий было, грубо говоря, два: победа первого игрокаи победа второго игрока. Можно говорить о событии «победил один из них» или «непобедил никто», можно придумывать события и далее.
То есть, речь идет максимумо множестве всех подмножеств Ω. В конечном случае никаких проблем тут не возникает, а вот множество всех подмножеств сегмента от нуля до одного, как выяснитсяпозже, обладает весьма неподходящими для вероятности свойствами.Определение 1.4. Тройку (Ω, F, P), где Ω — конечное множество всех элементарных исходов, F — множество всех событий и P — вероятность, определенная длявсех элементов из F , будем называть конечным вероятностным пространством.1.2.2Примеры устойчивости частотКак на деле установить, равновозможны элементарные исходы или нет — это серьезный вопрос.
Можно, например, обратиться к статистике, о которой мы ничегопока не знаем. Так вот выдвинем гипотезу о равновозможности элементарных исходов и оценим, насколько она правдоподобна. Пока ничего не знаем о статистике, этидействия проведем интуитивно и нестрого.Определение 1.5. Пусть A — некоторое событие. Пусть проведено N экспериментов, причем событие A наступило в NA экспериментах. ОтношениеνA =NANбудем называть частотой события A.Мысль подсказывает, что если некоторый эксперимент провести много раз, причем так, чтобы эксперименты никак друг на друга не влияли, то «в среднем» отношение экспериментов, в которых событие наступило, к общему числу экспериментовдолжно дать вероятность этого события.
То есть положимся на не всегда верноепредположение о том, чтоP(A) ≈ νA .Для примеров из этой лекции оно нормально работает.7Пример. Требуется выяснить, равновозможны ли выпадение герба и решки прибросании идеальной монетки честным экспериментатором. Иными словами, надоразобраться, будут ли элементарные исходы «выпала решка» и «выпал герб» равновозможными. Этим вопросом занимались в разное время разные исследователи:XVIII в: монету подбрасывал Бюффон: на 4040 бросков пришлось 2048 гербов.Частота для выпадения герба составила 0,507;XIX в: Морган подбросил монету 4092 раза и получил столько же гербов. Частотадля выпадения герба составила 0,5005;XX в: Пирсон совершил 24000 бросков, герб выпал 12012 раз. Частота для выпадения герба вновь составила 0,5005;XX в: Романовский сделал это 80640 раз, герб выпал 39699 раз.
У Романовскогочастота получилась равной 0,4923.С точностью до третьего знака все естествоиспытатели получили 0,5. Этот факт демонстрирует устойчивость частоты выпадения герба при подбрасывании правильноймонетки (правильным экспериментатором).Пример. В некотором населенном пункте в 1935 году осуществлялся сбор данныхо новорожденных:в январе родилось 7280 детей, из них 3743 мальчиков, частота — 0,514,в феврале родилось 6957 детей, из них 3550 мальчиков, частота — 0,510.В демографии вероятность рождения мальчика принимается равной 0,514.1.2.3Петербургский парадоксПример. Пусть Аня и Боря решили сыграть на деньги.
Аня подбрасывает правильную монетку, так что вероятности выпадения герба и решки равны 1/2 каждая. Боряплатит Ане 2n рублей, если первый герб выпал на n-том шаге.Проблема заключается в том, что при попытке отыскать средний выигрыш Анинеминуемо получится бесконечность, если нигде не ошибиться.
В свое время этотфакт не давал покоя некоторым исследователям. Для того, чтобы сделать игрусправедливой, Аня должна Боре перед началом подбрасываний монеты предоставить бесконечное количество рублей, этот факт устанавливается на с.38.Кроме того, в приведённой ситуации пространство элементарных исходов счётно.Классическая вероятность здесь просто неприменима. Так что если попробовать еётут приложить, парадокс непременно возникнет.Представим себе множество всех натуральных чисел, пусть это будет пространством элементарных исходов Ω = N. Объявим их равновозможными. Тогда попробуем посчитать вероятность события A, состоящего из одного любого элементарногоисхода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
