Ульянов (новое издание) (1115355), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

. . ⊆ Ai ⊆ Ai+1 ⊆ . . . (∀i ∈ N Ai ⊆ Ai+1 )Определение 2.10. Последовательность событий {Ai } — невозрастающаяmA1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ A4 ⊇ A5 ⊇ . . . ⊇ Ai ⊇ Ai+1 ⊇ . . . (∀i ∈ N Ai ⊇ Ai+1 )Определение 2.11. Событие Q называется пределом неубывающей последовательности {Ai } (обозначается Q = lim Ai )i→∞Q=m∞SAi .i=1Определение 2.12.

Событие Q называется пределом невозрастающей последовательности {Ai } (обозначается Q = lim Ai )Q=m∞Ti→∞Ai .i=1Определение 2.13. Последовательность событий {Ai } — монотонная, если онаявляется невозрастающей либо неубывающей.17В обоих случаях монотонности тот факт, что Q —событие, следует из свойства счётной аддитивностиσ-алгебры.

Ещё в обоих случаях монотонности наглядной иллюстрацией может послужить цепь матрёшек! Каждая точка вложенной матрёшки принадлежит множеству точек объемлющей (точки внутриполой фигуры здесь тоже считаются принадлежащими ей). Так что ничего мистического в этих последовательностях на самом деле нет.Вообще, здесь идёт речь о простых вещах длинным научным языком. Для облегчения пониманиярекомендуется пользоваться сначала кругами Эйлера, а затем аналитическим аппаратом теории множеств. На самом деле, всё то, что пойдёт дальше,весьма и весьма просто и наглядно, если всякое неясное место иллюстрировать себе таким способом.8◦ (Непрерывность по монотонной последовательности). Пусть {Ai } — монотонная последовательность событий. Тогда вероятность предела{Ai } равна пределу вероятности события Ai .

Иными словами,{Ai } — монотонная последовательность событий⇓³´P lim Ai = lim P(Ai )i→∞i→∞Доказательство. Для неубывающей последовательности событий построим последовательность несовместных событий на базе данной в условии последовательности и для неё воспользуемся свойством счётной аддитивности:Dn = A n \n[n−1[Ai =i=1Ai = An \ An−1 , что следует из неубывания {Ai }i=1n[Di ∀n ∈ N — это наглядно и почти очевидно,i=1⇓³P´lim An =n→∞∞Xn=1P(Dn ) = limnXn→∞ÃP(Di ) = lim Pn→∞i=1n[i=1!Di= lim P(An ).n→∞Факт попарной несовместности событий-членов {Di } обоснован в процессе доказательства свойства счётной полуаддитивности.Для невозрастающей последовательности заметим, что если {Bi } — невозрастающая последовательность, то {Bi } — неубывающая.

А поскольку известен простой и очень важный факт о том, чтоn\Bi ≡i=1n[i=118Bi ,то справедливо соотношениеQB = lim Bn =n→∞∞\∞[Bn =n=1Bn = lim Bn = QBn=1n→∞Всё это означает, что мы можем с помощью операции отрицания из невозрастающей последовательности событий {Bn } сделать неубывающую {Bn }, а для неё ужедоказано, что³´¡ ¢P lim Bn = lim P Bn .n→∞n→∞Остаётся провести маневр с отрицанием:³´³´³´¡ ¢1 − lim P(Bn ) = lim P Bn = P lim Bn = P lim Bn = 1 − P lim Bnn→∞n→∞³lim P(Bn ) = Pn→∞n→∞lim Bnn→∞⇓´n→∞n→∞теперь уже для невозрастающей последовательности.Определение 2.14. Невозрастающая последовательность событий {An }имеет нулевой предел ⇐⇒ lim An = ∅.n→∞Замечание. Вместо аксиомы о счётной аддитивности вероятности можно требоватьвыполнения конечной аддитивности и непрерывности по неубывающей последовательности либо непрерывности по невозрастающей последовательности или даже понеубывающей последовательности с нулевым пределом.

Поскольку выше мы показали, что из счётной аддитивности можно получить непрерывность по монотоннымпоследовательностям событий, то доказав ниже обратное (плюс случай невозрастающей последовательности с нулевым пределом) сможем утверждать, что все этивещи равносильны.Утверждение 2.3. Из конечной аддитивности и непрерывности по неубывающейпоследовательности следует счётная аддитивность.Доказательство. Пусть задана бесконечная последовательность событий {Bi },причём события в ней попарно несовместные. Запишем условие конечной аддитивности:i, j ∈ N, i 6= j =⇒ Bi Bj = 0 — несовместность⇓!ÃnnX[P(Bi ) ∀n ∈ NBi =Pi=1i=1Построим неубывающую последовательность {An } следующим образом:An =n[Bi .i=1Для этой последовательности работает неперывность и, кроме того,n[i=1Bi =n[Ai ∀n ∈ N.i=119Всё, почва для выкладок подготовлена. Выкладки:Ã∞ !Ã∞ !n∞´³[[XXPBi = PAi = P lim An = lim P(An ) = limP(Bi ) =P(Bi ).i=1n→∞i=1n→∞n→∞i=1i=1Утверждение 2.4.

При наличии конечной аддитивности из непрерывности поневозрастающей последовательности следует непрерывность по неубывающей последовательности и наоборот.Доказательство. Тесная связь между этими двумя свойствами уже демонстрировалась. Продемонстрируем её ещё раз несколькими равносильными переходами:Пусть {Bi } — любая невозрастающая последовательность событий и есть непрерывность по невозрастающей последовательности:³´∀k ∈ N Bk ⊇ Bk+1 , P lim Bn = lim P(Bn );n→∞n→∞Пусть {Ai } — любая неубывающая последовательность.

Рассмотрим определние предела для последовательности {Ai }:lim An =n→∞∞[Ai =i=1∞\Ai = lim Ani=1n→∞Последовательность {Ai } невозрастает, поэтому для неё бесконечное пересечение —это и есть предел, а для невозрастающей последовательности есть непрерывностьÃ∞ !Ã∞ !\\¡ ¢Ai = 1 − PAi = 1 − lim P An .Pi=1i=1n→∞Всё, остаётся собрать это всё вместе:Ã∞ !Ã∞ !Ã∞ !³´[\\¡ ¢P lim An = PAi = PAi = 1 − PAi = 1 − lim P Ann→∞i=1i=1¡ ¢= lim (1 − P An ) = lim P(An ).n→∞i=1n→∞n→∞Доказательство в обратную сторону проводится точно так же. Тут все переходыравносильные, нужно только отрицания иначе расставить.

Конечная аддитивностьнужна здесь неявно, чтобы было обоснованным равенство P(A) + P(A) = 1.Замечание. Последний установленный факт позволяет заявить, что из непрерывности по невозрастающей последовательности событий и конечной аддитивности следует счётная аддитивность.Замечание. Поскольку из счётной аддитивности следует непрерывность по невозрастающей последовательности, то непрерывность по невозрастающей последовательности с нулевым пределом следует подавно. Осталось доказать обратное.Утверждение 2.5. Из конечной аддитивности и непрерывности по невозрастающей последовательности событий с нулевым пределом следует счётная аддитивность.20Доказательство. Пусть есть бесконечная последовательность событий {Ai }, исобытия-члены попарно несовместны. Событие∞[Ai =i=1n[∞[Ai ∪i=1Ai ∀n ∈ Ni=n+1разбили на два события, тоже несовместных.

Дальше воспользуемся конечной аддитивностью вероятности, которая есть по условию:!!Ãnà ∞Ã∞ ![[[Ai + PAiPAi = Pi=1i=1PÃ∞[!AiÃ−Pi=1ÃPi=n+1⇓!∞[AiÃ=Pi=n+1n[!Ai=i=1n[!Ai∀n ∈ N,(A)i=1nXP(Ai ) ∀n ∈ N,(B)i=1а теперь, воспользовавшись непрерывностью по невозрастающей последовательно∞PAi c нулевым пределом (переход помечен *), получим желанныйсти событийi=n+1факт:PÃ∞[i=1!Ai=PÃ∞[!Ai∗−0=PÃ∞[i=1!Aii=1Ã− lim Pn→∞∞[!Aii=n+1à Ã∞ !à ∞!!Ãn![[[A= lim PAi − PAi= lim PAin→∞B= limn→∞i=1nXi=1P(Ai ) =i=n+1∞Xn→∞i=1P(Ai ).i=1Так что получается, что если отображение P из σ-алгебры событий F в R, такоечто ∀A ∈ F P(A) > 0, P(Ω) = 1 и P — конечно-аддитивное, то следующие трисвойства эквивалентны:• P — счётно-аддитивное;• P — непрерывно по любой монотонной последовательности событий;• P — непрерывно по невозрастающей последовательности с нулевым пределом.21Лекция 33.1Урновые схемыДалее будут разобраны два важных примера конечных вероятностных пространств.3.1.1Выборка с возвращением, биномиальное распределениеПусть имеется урна, в которой находится mw > 0 белых шаров и mb > 0 чёрных,m = mw +mb .

Причём урна не простая, а особенная: всякий раз, как из неё берут шар,что-то с ним делают и кладут обратно, в ней происходит процесс, обеспечивающийнезависимость того, какой шар вынут, от того, какой вынули (и вернули обратно) влюбой момент до этого.Пусть экспериментатор берёт из этой урны один шар, каким-то образом фиксирует его цвет и кладёт обратно. Пусть это действо происходит n раз. Требуетсявыяснить, какова вероятность того, что белый цвет экспериментатор зафиксирует kраз.Представим себе все возможные результаты эксперимента как 2n возможных цепочек результатов (длины n, как легко видеть). В каждой позиции цепочки можетстоять либо «Ч», либо «Б», символизирующие соответствующие цвета. Так вот взятьвсе эти цепочки, среди них выделить те, в которых белый шар попался нужное числораз, посчитать их, поделить это на 2n и выдать за ответ — заведомо неправильно.При таком ходе мыслей неявно используем классическую вероятность, а для её применения требуется равновозможность элементарных исходов.

А цепочки результатовмогут быть неравновозможными (нигде ведь не сказано, что mb = mw ).Сделаем все шары уникальными. Проще всего их для этого перенумеровать числами от одного до n. Теперь цепочки, характеризующие результат вытаскиванийшариков, состоят из чисел. Номеров, попавших на белые шары — mw штук, на чёрные шары попадёт mb номеров.Всего цепочек теперь mn . Есть n позиций, в каждой из которых может находитьсялюбое из m чисел. Теперь цепочки равновероятны! У всех шаров шанс оказатьсяснаружи урны один и тот же.

Вероятность любой конкретной цепочки равна 1/mn .Пересчитаем цепочки, в которых на первых k позициях оказались числа с белыхшаров, а на оставшихся — числа с чёрных шаров. На каждой из k «белых» позицийможет стоять любое из mw чисел, точно так же, на каждой из n−k «чёрных» позицийможет стоять любое из mb чисел. Значит, таких цепочек всего mkw mbn−k .Теперь заметим, что цепочек, в которых просто (безо всякого порядка) k позицийс «белыми» номерами и n − k позиций с «чёрными» номерами ровно столько же,сколько цепочек, где k первых номеров — «белые», а оставшиеся — чёрные.

Кактам между собой расположены «белые» и «чёрные» позиции, совершенно неважно.Важно количество!Остаётся выяснить, сколькими различными способами можно из n позиций выбрать k «белых» (всё равно, что выбрать n − k «чёрных»). Как известно, ответ на22этот вопрос даётся формулойn!= Cnk .k!(n − k)!Просто число сочетаний из n по k.Теперь осталось вспомнить, что всего у нас исходов — mn штук. Из них нашемусобытию подходит Cnk mkw mn−k. Классическую вероятность можно смело применять,bтак что в итоге имеемP(Белых — ровно k штук) =n−kkk mw mbCnnm=³´k ³mbn−kmw ´n−kk mw= Cn1−m mn−kmmkk mwCn kТеперь обозначим mw /m за p, P(Белых — ровно k штук) как pk и получим выражениеpk = Cnk pk (1 − p)n−k , 0 6 k 6 n.Определение 3.1. Набор вероятностей (p0 , p1 , . . . , pn ) называется геометрическим распределением с параметрами n и p.3.1.2Выборка без возвращения, гипергеометрическое распределениеПусть теперь экспериментатор просто выбирает из урны n шаров, не возвращая ихна место.

Характеристики

Список файлов лекций