А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ясно, что максимальное значение правой части в (25,5) равно единице, и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ато происходит тогда, когда интервал 10- 2,д+ Ц содержит все значения Х», Х2,..., Х„. Пусть Хрц < ХОО « ° " Х1„)в вариационный ряд.
Интервал [д — 1, д+ Ц будет содержать 1 1 все значения Х», 5 = 1, 2,..., п, если р- — ( Х01 и Хрц < д+ —. 2 ч 1 11 Таких значений д целый интервал [Хрц — —,Хрц+-~ и любое из них может служить оценкой максимального правдоподобия. В качестве одного из возможных возьмем А, = ! -(Хрц + Хрц).
Оно лежит внутри интервала, посколь- 2 ку равномерное распределение сосредоточено на интервале единичной длины,что влечет Хрц — Хрц ( 1,и 1 1 1 В„ХРЦ+ (ХРЦ ХОО) < ХПЦ, 1 1 1 д. + -, = ХРЦ+ -, — —,(Х1„1 - ХРЦ) > Х1„Р Следовательно, д„удовлетворяет (25.5) и ее можно считать оценкой, построенной методом максимального правдоподобия. ЗАДАчи З»»д»»ча 25.1. Страховая компания за год произвела и выплат по портфелю однотипна»х договоров страхования, размер выплат по которым имеет распределение с плотностью у(х) = Ве ~", х > О. Найти оценку максимального правдоподобия для д. Задача 25.2.
На заводе производят шарики для шарикоподшипников. Из продукции, произведенной за час, выбрали 20 шариков. Измерение их диаметров дало следующие результаты: 5.05, 5.01, 5.25, 4.97, 4.99, 5.03, 4.97, 5.13, 5.02, 4.90, 5.01, 4.75, 4.95, 4.98, 5.05, 5.02, 4.88, 5.00, 5.04, 4.95 мм. При предположении, что диаметр имеет нормальное распределение с неизвестным средним и дисперсией, построить оценку максимального правдоподобия для втих параметров.
Задача 25.3. Пусть Х»,Х»,...,Х„ независимы и равномерно распределены на интервале У,0+1. Показать, что любая точка интервала 1шах»<14„Х» — 1, пвп»414„Х;) является оценкой максимального правдоподобия для параметра Р. 26. ПРОЦЕДУРА РЕКУРРЕНТНОГО ОЦЕНИВАНИЯ 3 26. ПРОЦЕДУРА РЕКУРРЕНтного ОЦЕНИВАНИЯ Пусть как в предыдущем параграфе по случайной выборке Х = (Хн Хз,..., Х„), отвечающей случайной величине Х с известным видом плотности распределения у(х, В), нужно оценить неизвестный параметр В. В большинстве случаев точное решение уравнения максимального правдоподобия э — 1п~(ХПВ) = О ьм (26.1) найти не удается.
Поэтому для него ищут различные приближенные выражения. Опишем один интересный подход к решению этой проблемы. Рассмотрим решения уравнения (26.1) при и и при и+ 1, т. е. рассмотрим В„и Ве+ы удовлетворяющие равенствам э+1 — 1пДХПВ„+1) = О. ~; —,',1 У(ХНВ„) =О, Вычитая из правого равенства левое, получим а — 1п ДХ„+ы В~)+ а+1 + ~~~,(вз 1пДХНВк ы) — вз 1п ~(ХН В„)) = О. (26.2) а дз — 1п~(Х„+ИВ„)+ ~~~ —,1п~(ХПВ„)(В„+1 — В„) в О, ьм Поскольку оценка максимального правдоподобия является состоятельной оценкой параметра В, т. е. В„-+ В при н -+ оо, то разность В„+1 — В„стремится к нулю.
Предположим, что у функции у(х,В) существует непрерывная вторая произ- 9 водная по параметру В, Тогда функция В(В) = — 1п(х,В) при любом фиксированном х обладает непрерывной производной по В, и, в силу определения производной, приращение этой функции можно выразить следующим образом В(В„+1) — В(В„) ж В'(В„)(В„+1 — В„). Используя это, преобразуем (26.2) к виду МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА иги де+1 ра м в 1 з дд 1н,Е(Хд.~.ы дд). (26.3) "У'." — ', ЬЕ(Хь В„) Й„, Величины Хп)= 1,2,...,и+1, независимы и одинаково распределены.
Лля любого фиксированного д по закону больших чисел (з 16) + дз «+1 дз — — !п,Е(ХИ О) ззЕ( — )нДХыд)) = -Е1(д), (26.4) где Е1(д) — информационное количество Фишера. Равенство в правой части следует из (22.6). При некоторых дополнительных условиях можно доказать, что соотношение (26.4) выполняется равномерно по всем д, достаточно близким к заданному значению, поскольку функция — Е(в,д) непрерывна по д. С учетом этого, соотношение (26.3) эквивалентно следующему 1 д дл.~-1 до (.
+ 1)6(в„) дз — 1и Е'(Х„+„до). Замена приближенного равенства в этом соотношении на строгое приводит к следующей процедуре рекуррэитного оценивании неизвестного параметра 0: дл~.~ — — д» + — 1п ДХю~.и Ув)ю де = с~ (26.5) где с — произвольнзл постоянная. Эта процедура замечательна тем, что приближенное значение для параметра д на и + 1 шаге выражается только через приближенное значение на и-м шаге и через наблюдение Х„~~.
Это и означает, что оценивание рекуррентное. При определенных условиях можно доказать, что оценка 0„ ничем не хуже оценки максимального правдоподобия д„, поскольку она обладает теми же свойствами 1) н 2). Следовательно, она является асимптотически эффективной оценкой параметра д. те. НРОцедуРА РекуРРентнОГО ОценипАния Пример 1.
Пусть как и в примере 1 3 25 у(х, В) = —, ехр(- ). Тогда — у(х, В)О(х, В) = х — В. Из примера 1 т 22 следует, Э что 11(В) = 1. Следовательно, процедура (26,5) для етого случая имеет вид В»+а =В + — (Х +1 — В ) Ва =с. (26.6) в.=-'~х,=х„. В, = с+ 1(Х, - с) = Х„ Следовательно, в случае нормальной плотности распределения рекуррентная оценка математического ожидания совпадает с оценкой максимального правдоподобия и совпадает с выборочяым средним. Это и не удивительно, поскольку для втой плотности все вышеприведенные приближенные равенства превращаются в строгие равенства. Пример 2.
Пусть выборка ХНХз,...,Х„отвечает показательному распределению с параметром В,В > О, т. е. распределенную с плотностью у 1 -ер при *~~ О, О, при х < О, Тогда — Ях, В)о(х,В) = —, — -. Из примера 2 З 22 следует, Э т Эа что 11(В) = 1/В~. Процедура (26.5) в етом случае имеет вид х„+, в„+,=в„+ ( " -=), ( +1+ Ф„д„ Во=с, т. е. снова имеет вид (26.6), и снова В„= В„= Х„. Из втой процедуры легко вычислить явное выражение для в: ОтВеты и РешениЯ к ВАЯАчАм ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1.1.
6 4 = 20. 1.2. Сез — 2 = 26. 1.3. А~ з= 20. 1.4. 64 = 7776. 1.5. (в!)з. 1.6. Числа 1, 2, 3 можно разместить так, чтобы они стояли рядом в — 2 способами. Упорядочить остальные и — 3 мест можно (и-3)! способами, Ответ (и-2)(в-3)! = (я — 2)!. 1 7 2+2з+2з+24+24 62 1.8. 32з 104 = 327680000. 1.9. Приведем два решения етой задачи. Число людей, у которых есть 3 белых зубов равно Сзьз, поскольку порядок зубов не имеет значения. Следовательно, всего людей с учетом свойства 1) для биномиальных коеффищ4ентов будет зз Сзьз 2зз 1024 .
1024 . 1024, 4 4294967296 4=о Лругое решение. Сопоставим наличию белого зуба на той или иной позиции среди 32 возможных цифру 1, черному— цифру О. Тогда возникает полное соответствие между зубами и 32 разрядными двоичными числами. Следовательно, число людей будет совпадать с числом 32 разрядных двоичных чисел. Их очевидно равно 2зт.
1.10. Из слова КОЛОКОЛ машинные слова можно составлять следующим образом. Сначала, например, на 7 свободных для букв позиций можно разместить буквы О. Таких возможностей Сю так как буквы О не различаются. На оставшиеся 4 позиции можно разместить 2 буквы К Сез способами. Буквы Л займут два последних места. Таким 7! образом, всего можно составить СтзС4т = —,;, = 6 ° 6 ° 7 = 210 машинных слов. Из слова ВОЛОРОЛ можно составить 71 СтзС4тСА4 = — ' = 2 6 6 ° 7 = 420 машинных слов. т 4 3 зВВ 1.11.
Места можно пронумеровать от 1 до 14. Можно на нечетные места посадить женщин, а на четные мужчин, и наоборот. Женщин можно разместить 7! способами, и стольки- ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 195 ми же способами можно разместить мужчин. Всего способов 2(7!)з. 1.12. Конфеты расположим в ряд. Между конфетами будет 8 промежутков, в которые Свх способами можно поместить 4 разделительных перегородки по одной в каждый промежуток.
Эти перегородки разделяют все конфеты на 5 групп, которые соответствуют 5 различным пакетам. Следов! вательно, на первый вопрос ответ следующий С94 = — ' = 70. 4!4! В случае, когда пакеты могут быть пустыми, конфеты и перегородки могут располагаться в ряд в любом порядке, в частности несколько перегородок могут следовать друг за другом. Всего таких возможностей С!49, поскольку среди 0+ 4 = 13 позиций 4 можно выбрать для перегородок. Ответ 1З! на второй вопрос следующий С!49 — — — ' = 715. 4!91 2.1. А — В = АВ =(число оканчивается цифрой 5).
2.2. А =(ни одного бракованного изделия), В =(либо одно бракованное изделие, либо бракованных нет). 2.3. а) А = Е1, В = й; б) никогда; в) А = В. 2.4. Нет. 2.5. АВ =(на одной кости выпала 1, а на другой — 4), АВ =1на одной кости выпала 2, а на другой — 3). 2.6. а) П," А;, 6) )," 1 А1. 2.7. АВС =(оба спортсмена прыгнули дальше 7 метров, причем мужчина прыгнул дальше женщины), А — АВ (мужчина прыгнул дальше 7 метров, но не дальше женщины), АВС =1оба спортсмена прыгнули дальше 7 метров, но мужчина прыгнул не дальше женщины».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
