А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 29
Текст из файла (страница 29)
2.8. а) АВС; б) АВС; в) АВС; г)А+ В+ С; д) АВ+ АС+ ВС; е) АВС+АВС+АВС; ж) АВС+АВС+АВС; з) АВС; и) АВС. С2, — ю 1т С4„Ш ' А~ 3.2. Р = —" = 0.3024. 104 с~ г 33 Р= —,' Сз 91' С,', 3 Сз4 ЗВ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАААЧАМ 196 Сг 1 3.5. Р = — Я- = —. Сг,', 19' 3.6. Р = 1 — —,' = 1 —— С,' 1 с зз 3.7. Р((1, Ц + (1, 2) + (2, 3.8. Ргг — г=-= -. С5 в з' 3.10. Р— —,, — —. 3'11' ы гк 0.00005372.
3.12. Р =— 1ОВ 1 с,', г' зг зз' з 1)) = — = —. 56 1г г з 5 5 3.13. —. з 5 3 14 е(в — 1) 6 1 3.15. Р = — = —. 64 гнв' 3.16. Р = 1 — — = —. 14 т ВЗ 9 3.17. Вероятность того, что при и бросаниях хотя бы один раз выпала шестерка равна 1 минус вероятность того, что она ни разу не выпадет при н бросаниях, и очевидно равна 5" 1- —. вн' зп а) Нужно найти такое минимальное л, что 1- — „) 0.5. Несложно подсчитать, что л = 3. зп б) Минимальное и такое, что 1 — — „> 0.9 равно 13.
1 — — з г Р Р 1„ 1г 4' 4.1. Р = (а — 2г)г/аг, где а = 4,г= 1, т. е. Р = 21/16 = 1/4. ггг г 4.2. Р = — = —. ггг к' 4.3. Р = 1/4. 4.4. Пусть х — длина отрезка [А,Ц, р — длина отрезка (А, М). Тогда условие задачи запишется в виде ~9 — х~ < х. Это влечет О < р < 2х, и, следовательно, искомая вероятность равна ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 197 2 4.5. Лве кривые х + у = 1 и ху = — пересекаются в двух 9 1 точках. Координаты абсцисс у них следующие: х1 = —, хт = 3' 2 1 ~ ззх 1 2 3 = —. Ответ в задаче Р = -+ 1 — = -+ -)п2. З 9 З 9 4.6. Обозначим через х, у и 1-л-у длины отрезков.
Ограничение 0 < в+у ( 1 следует из условия задачи. Следующие ограничения вытекают из свойства треугольника, что сум- 1 1 ма двух любых сторон больше третей: 0 ( л ( —, 0 < у ( —, 1 я+ у ) )—. В результате исномая вероятность равна 2' пхх(х,х:Ойхб ~,9<24 ~1,х+Х> х~ Р— юев(х,х:О(х,е(ИО(х+д(1) 4 4.Т. Р = 1 — — 1+ —.
6 Нх Н 4хт Нт 4.6. Р = — ж 0.2113. з- /з 6 5.1. События АВ1 и АВ2 несовместны, так как В1В2 = И. Тогда Р(А(В1 + В2)) = Р(АВ1 + АВ2) = Р(АВ1) + Р(АВ2) = = Р(А)Р(В1) + Р(А)Р(В2) = Р(А)(Р(В1) + Р(В2)) = = Р(А)Р(В, + В,). 5.2. Независимы. 5.3. Зависимы, поскольку Р(А) = —, Р(В) = 1 — — = —, а т Р(АВ) = -(1 — р) = —. з 5.4. Вынули сразу три шара или поочередно — одно и тоже. поэтому Р(1-й б., 2-й 6„3-й 6.) = = Р(1-й 6.)Р(2-й 6.~1-й 6.)Р(з-й 6.)1-й 6.,2-й 6.) = 9 8 т т 5'.5.'Р(полк) = Р(п)Р(о~п)Р(лспо)Р(к~пол) = '2 1 2 9 8 7 6 766 5.6.
По формуле сложения вероятностей несовместных событий Р(шары одного цвета) = = Р(белые) + Р(черные) + Р(красные) = З 10 11 8 8 6 186 — — + — — + — ° — = — 46 0.323. 24 24 24 24 24 24 678 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ Ь.7. Обозначим искомую вероятность Р. Положим А = (первый сделал больше выстрелов чем второй), А1 =(первый стрелок попал при первом выстреле), В1 =(второй стрелок попал при первом выстреле). Поскольку после двух выстрелов, если оба промахнулись, все начинается снова, то имеем А = А1(В1 + В1А).
Следовательно, Р(А) = Р(А1)(Р(В1) + Р(В,)Р(А)), и Р = 0.8(0.3+ 0.7Р)),т. е. Р = —. 6 11' 5.8. Событие А является произведением событий Аз = (Е-я деталь качественная), 3 = 1,2,...,5. Вычислим вероятность 4 события А = А1АгАзА4А6 — партия принята. Оче- 95 видно Р(А1) = —, так как всего деталей 100, а качественных 95. После осуществления события А1 деталей останется 94 99, среди которых качественных 94, поэтому Р(Аг~А1) = —. Аналогично Р(Аз~А1Аг) з' Р(А4~А1АгАз) = —,~ Р(Аз~А1АгАзА4) 96' 93 92 91 По общей формуле умножения нероятностей находим 96 94 93 92 91 4 = — — ° — ° — — ж 0.77. 100 99 96 97 96 Искомая вероятность равна р = 1 — д ж 0.23. 6.1. Первый бросивший монету игрок выигрывает при 1 первом броске с вероятностью —. При втором броске он вы- 2 игрывает, если нри первом броске у него и у второго игро- 1 ка выпало по решетке (вероятность втого -), а на втором броске у него выпал герб.
В силу независимости событий /1Ъ 1 вероятность выиграть на втором броске равна 11-) ° —. Лег- 14) 2 ко понять, что вероятность выиграть на Й-м броске равна () ° —. Складывая ети вероятности получим искомую ве- 4) 2 роятность: 1 1 1 /1121 /111 1 1 1 2 2 4 2 14) 2 14) 2 2 1 — х4 3 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 7.1. Р = — ° -+ -(-+ — ° -)+ — °вЂ” 3 2 3 3 3 2 3 2 2 12 7.2. Обозначим Нг — — (выбрали кубик), На =(выбрали пирамиду), А =(вьгпала цифра 4). По формуле Байеса Р(Н, ~А) Р(Нз)Р(А)Нд) з 5 3 Р(Нз)Р< ЦН,)+Р(Нг)Р(А)нг) ь. з+,-'. з Ы' 8 1 2 3 7.3.
По формуле полной вероятности Р = — — + — = —. 10 2з 10 10 7.4. Обозначим Н„=(первый белый), Нз =(первый черный), А =(следующий за первым — белый). По формуле Байеса з г — ° — + — ° — 9 з з г з— зо ' о зо ' о Р(Н )Р(А)н ) Р(ни)Р(А)н ) + Р(нь)Р(А)нь) 3 2 7 3 3 7.5. По формуле полной вероятности Р = — -+ — — = —. 10 9 10 9 10 з 7.6. Р(грузовая машина) = —. 7 Первый бросивший монету игрок выигрывает с вероятно- 2 1 стью р = —, второй — 4 = 1 — р = —. 3' 3 6.2.
Рещение легко понять из ответа для вероятности надежности прибора'. Р = (Р1+ (1 — Р1)РРа)(рз+ (1 — Рз)РРА) 6.3. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень равна единице минус вероятность всех трех промахов. Пусть р — вероятность попадания, а е — вероятность промаха при одном выстреле. Тогда 0.875 = 1-дз, и, следовательно, д = 0.5, р = 1 — д = 0.5. 6.4. Обозначим Аз =(попадание ~-й бомбы). Тогда Р(мост разрушен) = Р(А1АаАз+А1А2Аз+А1А2Аз+ А1АаАз) = Р(А1)Р(Аа)Р(Аз) + Р(А1)Р(А2)Р(Аз)+ +Р(А1)Р(Аа)Р(Аз) .+ Р(А1)Р(Аа)Р(Аз) = =0.9 ° 0.3 0.4+0.1 0.7 ° ОА+0.1 ° 0.3 0.6+0.1 0.3 ° 0.4=0Л66.
6.5. Р = Р1(Р2 + Рз Рарз)ро(1 — Рз) + Рз ° 6.6. Р = (РзРа + Рз Р1Рарз)(Ро + Рз Роро)(1 — Ро) + Ро. 6.7. Р = 1 — 0.9 0.8 0.6 = 1 — 0.432 = 0.568. 5 31 53 125 1 6.8. Р = (-) — = — = — оз —. 6 6 еь 1296 1О 6.9. Р = 2 дг"' 1Р~ = 2 , '(-) оз=1 ь-,-зга 1 2 о)1 з ) з' ( —,) ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ 7.7. Начало решения аналогично решению задачи 2 (3 7). Обозначим А =(в кабане две пули), Н110 =1попал первый, попал второй, не попал третий) и т. д. В силу независимости Р(Н115) = 0.8 0.4.0.8 = 0.256, Р(Н151) = 0.8 0.6 0.2 = 0.096, Р(Ноп) = 0.2 0.4 0.2 = 0.016. По формуле Байеса Р(Н110!А) = о.гзв 1в о,озв в оды = — = —, Р(Н101!А) = — ' = —, Р(Н01НА) = — ' 0.363 23 ' о.звз гз' 0.363 23 Таким образом, первому и второму вместе нужно отдать 16 долей из 23, первому и третьему вместе - 6 долей, а второму и третьему вместе — 1 долю.
Между собой они должны делить пополам, поскольку, если оба попали, то независимо от вероятностей попадания их вклад одинаков. Окончатель- 16 1 6 1 22 но имеем, что первому нужно отдать — . — +— гз ' г гз 2 4в 16 1 1 1 17 доли добычи, второму — — — + — — = —, а третьему 23 2 23 2 46' б 1 1 1 7 — — + —. — = —. 23 2 23 2 46 1 63 8.1. а) Р = Р15(5) = С1ог,о — — 2 11 3 8.2.
Поскольку Р4(2,4) = — ) — = Рб(3,5), то вероятнее выиграть больше одной партии из четырех. 8.3. Р(хотя бы одна шестерка при 6 бросаниях) = = 1 — (-) = 1 — — 1и 1 — 0.3349 = 0.6651. 6 46656 Р(не менее двух шестерок при 12 бросаниях) = 5 12 1 5 11 17 51 = 1 — (-) — 12 — - (-) = 1 — — е 0.6187. 6 6 6 вм Р(не менее трех шестерок при 18 бросаниях) = (5)'в 18 1 (5)ы 153 1 (5)ш 1 5 (25+го+гзз) 6 6 6 62 6 615 Ро 1 — 0.4027 = 0.5973. Следовательно, шансы убывают. 8.4. Р= вСз(1)5+ 2С5(1)5 3 ° 1062 ° 1 41 10 5 2 10 5 2 10 го 160 85 Р=Сз'( ) ' +Сз'( ) = (3'5+1)= 1 г 5 3 1 3 1 16 2 б 6 6 216 216 27 в 3 г 8.6.
Три лампы горят с вероятностью Р = Соз ( — ) 10 10 4 ° 33, г — = 0.4096. Паивероятнейшее число лежит в пределах 1ОООО от 3.2 — 0.2 до 3.2+ 0.8. Следовательно, чисел два: 3 и 4. 8.7 Вероятность того, что иэделие бракованное р = 0.01. Тогда Р(среди и хотя бы одно бракованное) = ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 201 = 1 — Р(среди п нет бракованных) = 1 — (1 — 0,01)" ) )0.95. !а(0.05) Решая это неравенство получим п ) — ' ш 298.073. Сле!п(0.99) довательно, наименьший объем должен состоять из 299 изделий.
з 8.8. Вероятность равна Р = 2 ' Рзо'()с)Рз"1(Е) = к=о 12з + 9 42 122 + 9 422 12 + 425) 0 32076 1ОООООа 64 9.1. Р 1 — с а — 86 8 — — е а = 1 — 41е 6 ш 0.986. 2 3' 15 9.2. Р ш е з(3+ — ) = е з — ш 0.373. г 2 1 9.3. Вероятность выпадения шестерки р = —. Воспользу- 6 5 80 20 емся формулой 9.8. Имеем д = 1 — р = —, пр = —,,Ярд = —. Естественно выбирать границы симметричные относительно среднего пр, т. е. т1 = пр — т, т2 = пр+ пк, где гл неизвестно и его нужно определить. Согласно формуле 9.8 09973= Р„(пр — гп,пр+ш) Рз -(Ф( — ) — Ф(- — /) =Ф( — ). '6~ Из таблицы для функции Лапласа получаем — = 3 или 20 8О г 8О 2 т = 10.
Следовательно п21 = — — 10 = 3- тз = — +10 = 23-. 6 3 6 3 и значит при 80 бросаниях шестерка выпадает с вероятностью, близкой к 0.9973 в пределал от 4 до 23 раз. 9.4. Воспользуемся формулой 9.8. Имеем р = 3/4, д = 1/4, 1 з 1/йрд= 768 — — = 12 яр= 768 — = 576. Тогда 4 4 4 564 — 576 600 — 576 а„= = — 1,5„= = 2, и искомая вероятность 12 ' 12 Р !н -(Ф(2) + Ф(1)) 95 -(0,9545+ 0.6827) = 0.8186.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
