chapter6 (1115292), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пара непрерывных случайных величинПусть заданы две непрерывные случайные величины и . Тогда пара(, ) определяет «случайную» точку на плоскости. Пару (, ) называютслучайным вектором или двумерной случайной величиной.Совместной функцией распределения случайных величин и иназывается функция F(x,y)=P ( ) x, ( ) y, т.е. вероятность попаданияслучайного вектора (, ) в бесконечный угол на плоскости с вершиной в точке(x,y) лежащий ниже и левее этой точки (см.
рис. ), т.е. функцияF , ( x, y ) P x, y.Совместнойплотностьюраспределениявероятностей случайных величин и называется функция p , ( x, y ) такая, чтоxF ( x, y ) y p(u, v)dudv . Рис. 6.6.Смысл такого определения совместной плотности распределениязаключается в следующем.
Вероятность того, что «случайная точка» (,)попадет в область B R 2 на плоскости, вычисляется как объем трехмернойфигуры – «криволинейного» цилиндра, ограниченного поверхностьюz p , ( x, y ) и плоскостью z=0, и основанием которого является множество B.Аналитически этот факт записывается с помощью двойного интеграла:P( , ) B p , ( x, y )dxdy.BПростейшим примером совместного распределения двух случайныхвеличин является двумерное равномерное распределение на множестве A.Пусть задано ограниченное множество М с площадью S ( A). Оно определяетсякак распределение пары (, ), задаваемое с помощью следующей совместнойплотности:( x, y ) A0,p , ( x , y ) 1 S ( A ) , ( x, y ) AЗадача 5. Пусть двумерный случайный вектор (, ) равномерно распределенвнутри треугольника ( x, y ) : x 0, y 0, x y 2.
Вычислить вероятностьнеравенства >.8Решение. Площадь указанного треугольника равна S () 2 (см. рис. № ?). Всилу определения двумерного равномерного распределения совместнаяплотность случайных величин , равна0, ( x, y ) p , ( x, y ) 1 2 , ( x, y ) Событие соответствует множеству B ( x , y ) : x y на плоскости, т.е.полуплоскости. Тогда вероятностьP( B ) P( , ) B p , ( x, y )dxdy.BНа полуплоскости B совместная плотность p , ( x, y ) равна нулю внемножества и ½ внутри множества .
Таким образом, полуплоскость Bразбивается на два множества B1 B и B2 B . Следовательно, двойнойинтеграл по множеству B представляется в виде суммы интегралов помножествам B1 и B2 , причем второй интеграл равен нулю, так как тамсовместная плотность равна нулю. Поэтому111P( , ) B p , ( x, y )dxdy 12 dxdy 0dxdy S ( B1 ) 1 .222BB1B2Если задана совместная плотность распределения p , ( x, y ) для пары (,), то плотности p (x ) и p ( y ) составляющих и называются частнымиплотностями и вычисляются по формулам:p ( x) p ( x, y)dy,p ( y ) p ( x, y)dx,Случайные величины , называются независимыми, если при любых х и унезависимыми являются события <х и у, т.е.P x, y P xP yДля непрерывно распределенных случайных величин с плотностями р(х), р(у)независимость означает, чтоp , ( x, y ) p ( x) p ( y ) .Задача 6.
В условиях предыдущей задачи определить, независимы лисоставляющие случайного вектора и ?Решение. Вычислим частные плотности p (x ) и p ( y ) . Имеем:x (0,2) 0,0,x (0,2)2 xp ( x) p , ( x, y )dy 1 2 xdy, x (0,2). 2 , x (0,2). 20Аналогично,y (0,2)0,p ( x ) p , ( x, y )dy 2 y 2 , y (0,2).9Очевидно, что в нашем случае p , ( x, y ) p ( x) p ( y ) , и потому случайныевеличины и зависимы.Числовые характеристики для случайного вектора (, ) можновычислять с помощью следующей общей формулы. Пусть p , ( x, y ) —совместная плотность величин и , а (х, у) — функция двух аргументов,тогда M ( , ) ( x, y) p ( x, y)dxdy ., В частности, M xp ( x, y)dxdy, M yp ( x, y)dxdy, M xyp ( x, y)dxdy, Задача 7.
В условиях предыдущей задачи вычислить M .Решение. Согласно указанной выше формуле имеем: M xyp ( x, y)dxdy xy , 12dxdy .Представив треугольник в виде ( x, y ) : 0 x 2,0 y 2 x ,двойной интеграл можно вычислить как повторный:22 x22 y2 2 x 11111M xy 2 dxdy 2 xdx ydy 2 xdx 4 x(2 x )2 dx . 230000 0 § 5. Плотность суммы двух непрерывных случайных величинПусть и — независимые случайные величины с плотностями p (x) и p ( y ) .Плотность случайной величины + вычисляется по формуле сверткиp ( x) p ( x y ) p ( y)dy.Задача 8.
Пусть и — независимые случайные величины, распределенные попоказательному закону с параметром 2 . Вычислить плотность суммы .Решение. Так как и распределены по показательному закону с параметром 2 , то их плотности равны 2 e 2 x ,x 0,p ( x) p ( y ) x 0.0,Следовательно,2e 2( x y ) ,x y,p ( x y) x y.0,Поэтому10p ( x ) 2 y p ( x y) p ( y )dy p ( x y) 2e dy0Если x<0, то в этой формуле аргумент x y у функции p ( x y ) отрицателен,и потому p ( x y ) 0 . Поэтому p ( x ) 0. Если же x 0 , то имеем:xp ( x ) p ( x y ) 2e2 ydy 2e 2( x y ) 2e 2 y dy 00xx 4 e 2( x y ) e 2 y dy 4e 2 x 1dy 4 xe 2 x00Таким образом, мы получили ответ:x00,p ( x ) 2 x4 xe , x 0Задачи для самостоятельного решенияТеоретические задачи.1.
Найти плотности распределения: а) суммы; б) разности; в) произведения;г) частного двух случайных величин, имеющих равномерноераспределение на 0; а.2. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами а aи 2. Показать, что величинанормально распределена спараметрами 0 и 1.3. Случайные величины 1 и 2 независимы и имеют нормальныераспределения с параметрами а1, 12 и а2, 22 соответственно. Доказать,что 1 + 2 имеет нормальное распределение.4. Случайные величины 1, 2, ... n распределены и независимы и имеютодинаковую функцию плотности распределенияe xx0.p( x ) x0 0Найти функцию распределения и плотность распределения величин:а) 1 = min 1 , 2, ...n ; б) (2) = max 1,2, ...
n 5. Случайные величины 1, 2, ... nнезависимы и равномернораспределены на отрезке а, b. Найти функции распределения и функцииплотности распределения величин(1) = min 1,2, ... n и (2)= max1, 2, ...n. 2 а b 2(b a ) 2Доказать, что М 1D 1.22(n 1)(n 2)22a6. Случайная величина распределена по закону Коши p( x) . Найти:1 x2а) коэффициент а; б) функцию распределения; в) вероятность попаданияна интервал (-1, 1). Показать, что математическое ожидание несуществует.117. Случайная величина подчинена закону Лапласа с параметром (0):p( x) ae |x |. Найти коэффициент а; построить графики плотностираспределения и функции распределения; найти и D; найтивероятности событий D и {< 3 D }.8. Случайная величина подчинена закону Симпсона на отрезке -а, а, т.е.график её плотности распределения имеет вид :Написать формулу для плотности распределения, найти М и D.Вычислительные задачи.9.
Случайная точка А имеет в круге радиуса R равномерное распределение.Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния точки доцентра круга. Показать, что величина 2 равномерно распределена наотрезке 0, R2.10. Плотность распределения случайной величины имеет вид:C ( x 1), x [1,2]p ( x) 0, x [1, 2]Вычислить константу C, функцию распределения F(x), M , ивероятность P 2 1 .11. Плотность распределения случайной величины имеет вид:C ( x 1)3 / 2 , x 0p ( x) 0, x 0Вычислить константу C, функцию распределения F(x), M , D ивероятность P| 1 / 3 | 1.12. Плотность распределения случайной величины имеет вид:C (1 x 2 ), | x | 1p ( x ) 0, | x | 1Вычислить константу C, функцию распределения F(x), M , D ивероятность P| 1 / 2 | 1 / 4.13. Плотность распределения случайной величины имеет вид:Ce x , x 0,p( x ) 0, x 0.Вычислить константу C, функцию распределения F(x), M , D ,дисперсию и вероятность P 2 1.1214.
Случайная величина имеет функцию распределения 1 xe , x 0,F ( x) 211 e x , x 0. 2Вычислить плотность случайной величины, математическое ожидание,дисперсию и вероятность P 1 3.x00,215. Проверить, что функция F( x ) = 2 x x , 0 x 1.1,x 1может быть функцией распределения случайной величины. Найтичисловые характеристики этой величины: и D.16. Случайная величина равномерно распределена не отрезке 2 ; 6.Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения.Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок 2, 5 и наотрезок 5; 7.17.
Плотность распределения равна 23прих 1, .p ( x ) cx0,прих 1.1Найти постоянную с, плотность распределения =и вероятностьР (0,25<0,64).18. Время безотказной работы ЭВМ распределено по показательному законус параметром = 0,05 (отказа в час), т.е. имеет функцию плотности0,05e 0,05 x ,х 0,р(х) = .0,x0Решение определенной задачи требует безотказной работы машины втечение 15 минут.
Если за время решения задачи произошел сбой, то ошибкаобнаруживается только по окончании решения, и задача решается заново.Найти: а) вероятность того, что за время решения задачи не произойдет ниодного сбоя; б) среднее время, за которое будет решена задача.19. Стержень длины 24 см ломают на две части; будем считать, что точкаизлома распределена равномерно по всей длине стержня. Чему равнасредняя длина большей части стержня?20. Отрезок длины 12 см случайным образом разрезается на две части. Точкаразреза равномерно распределена по всей длине отрезка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
