chapter5 (1115291)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Часть II. Случайные величины.Глава 5. Дискретные случайные величины§ 1. Случайная величина и ее закон распределения.Случайной величиной  называется любая действительная функция =(),, определенная на пространстве элементарных событий . Если множествозначений такой функции конечно или счетно, то такую случайную величинуназывают дискретной. В результате опыта случайная величина может принять тоили иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.Например.

При двукратном подбрасывании монеты возможны следующиеисходы:  1  РР ,  2  РГ ,  3  ГР ,  4  ГГ , т.е. пространство элементарныхсобытий имеет вид   1, 2 , 3 , 4 , причем каждый элементарный исход имеетвероятность ¼. Пусть () – число выпадений герба при двукратном бросаниимонеты, тогда (1)=0, (2)=1, (3)=1, (4)=2. Зная вероятности дляэлементарных исходов, можно вычислить вероятности для соответствующихзначений случайной величины :P(  0)  P( 1 )  1 / 4.P(  1)  P( 2, 3 )  1/ 4  1/ 4  1/ 2P(  2)  P( 4 )  1 / 4Полученные вероятности можно свести в таблицу(в первой строке перечисленызначения случайной величины, а второй – их вероятности):012P 1/4 ½ ¼Такая таблица уже не содержит информацию о том, на каком вероятностномпространстве определена случайная величина, в ней приведены лишь значенияслучайной величины (в первой строке) и их вероятности (во второй строке).Законом (или рядом) распределения дискретной случайной величины называется таблица, в которой перечислены все возможные значения x1,x2,…, xn этой случайной величины и соответствующие им вероятностиpi  P(  xi ) :x2 … xn x1P p1p2 … pnnЗдесьpi 1.

Если множество значений случайной величины счетно, то этаi 1таблица является бесконечной справа, а суммаpi 1.i 1Задача 1. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключиперебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить законраспределения для случайной величины  – числа перепробованных ключей.Решение.

Число перепробованных ключей может равняться 1, 2, 3. Еслииспытали только один ключ, это означает, что этот первый ключ сразу подошел к1двери, а вероятность такого события равна 1/3. Итак, P(  1)  1 / 3. Далее, еслиперепробованных ключей было 2, т.е. =2, это значит, что первый ключ неподошел, а второй – подошел. Вероятность этого события равна 2/3×1/2=1/3.

Тоесть, P(  2)  1 / 3. Аналогично вычисляется вероятность P(  3)  1 / 3. Врезультате получается следующий закон распределения:P11/321/331/3§ 2. Функция распределенияФункцией распределения случайной величины  называется функция F(x),определенная для любого действительного х и выражающая вероятность того,что случайная величина  примет значение, меньшее х:F(x)=P(<x).Функция распределения обладает следующими свойствами:1. Для любого x  R справедливо неравенство 0F(x)1.2.

Функция распределения является неубывающей функцией, то есть, еслиF(x1) ≤ F(x2), если х2<х1.3. Вероятность того, что случайная величина примет значениеизполуинтервала [x1,x2), равна разности значений функции распределения наконцах интервала, то есть P(x1x2)=F(x2)-F(x1).4. Если возможные значения случайной величины расположены на всейчисловой прямой, то справедливы следующие предельные соотношенияlim F ( x )  0,lim F ( x)  1.x  x 5.

Функция распределения непрерывна слева, то есть lim F(x)=F(a).x a  06. Справедливо равенство: P(x)=1-F(x).Задача 2. Построить функцию распределения F(x) для случайной величины  иззадачи 1.Решение. Случайная величина  имеет три значения 1, 2, 3, которые делят всючисловую ось на четыре интервала: (,1], (1,2], (2,3], (3,) . Если x≤1, тонеравенство <x невозможно (левее x нет значений случайной величины ) изначит, для такого x функция F(x)=0.Если 1<x≤2, то неравенство <x возможно только если =1, а вероятность такогособытия равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения F(x)=1/3.Если 2<x≤3, неравенство <x означает, что или =1, или =2, поэтому в этомслучае вероятность P(<x)=P(=1)+P(=2)=2/3, т.е.

F(x)=2/3.И, наконец, в случае x>3 неравенство <x выполняется для всех значенийслучайной величины , поэтому P(<x)=P(=1)+P(=2)+P(=3)==1, т.е. F(x)=1.Итак, мы получили следующую функцию:20,1 / 3,F ( x)  2 / 3,1,x 11 x  22 x3x3§ 3. Примеры дискретных случайных величинРаспределение Бернулли (или биномиальное распределение) определяется какзакон распределения случайной величины, равной числу успехов в n испытанияхБернулли. Эта случайная величина  может принять любое из значений 0, 1, 2, …,n, а их вероятности определяются формулой Бернулли: если p – вероятностьуспеха, q – вероятность неудачи, тоP (  m)  Pn (m)  Cnm p m q n  m ,m  0,1,..., n.Распределение Пуассона.

Случайная величина, распределенная по законуПуассона, может принять любое из значений 0, 1, 2, … (счетное множествозначений), а их вероятности задаются формулойm  P(  m) e , m  0,1,2,.... , 0.m!Геометрическое распределение имеет случайная величина , равная числуиспытаний Бернулли до первого «успеха» (включительно) с вероятностью«успеха» в одном испытании равном р. Такая случайная величина принимаетзначения =1, 2, 3,…, а их вероятности задаются формулой:P(  m)  pq m 1,m  0,1,2,..., 0  p  1, q  1  p.Гипергеометрическое распределение определяется, например, в задаче овыборке деталей. Пусть имеется N деталей, из которых M – стандартные.Делается выборка из n деталей.

Случайная величина  определяется как числостандартных деталей в такой выборке. Оно может равняться любому числу от 0до n, но, конечно, не больше, чем М, т.е. m=0,1,2,…,min(n,M). Вероятности этихзначений определяются гипергеометрической формулойCMm C Nn mM,m  0,1,2,..., min( n, M ).P(  m) C Nn§ 4. Дискретный случайный вектор.Пусть на одном и том же пространстве элементарных исходов  заданы двеслучайные величины  и , принимающие значения хi (i = 1, 2,...) и уj (j = 1, 2,...),соответственно. Упорядоченная пара (,) называется случайным вектором илидвумерной случайной величиной. Совместный закон распределения вероятностейдискретных величин  и  задается вероятностями pij одновременногоосуществления событий { = хi} и { = уj}:pij  P  xi ,  y j и представляется в виде таблицы3y1p11p12…p1mx1x2…xnПри этомpijy2p21p22…p2 m……………ympn1pn 2…pnm1.i, jВероятность события типа {(, )В} — «случайная точка (,) попадает взаданную область В» — вычисляется по формулеP(( , )  B )   P(  x i ,   y j ) ,( xi , y j )Bт.е.

суммирование идет по всем возможным парам (хi, yj) значений случайныхвеличин ,, для которых соответствующая точка (xi yj) входит в область В.Частным законом распределения случайной величины  называетсявероятность события { = хi}. Если задан совместный закон распределения, точастный закон распределения для  можно получить с помощью формулы:P  xi    P  xi ,  y j    pij .jjАналогично, частным законом распределения  называется вероятность события{ = yi}, которую также можно вычислить с помощью формулы:P  y j    P  xi ,  y j    pij .iiДискретные случайные величины ,  называются независимыми, если ихсовместный закон распределения представляется в виде произведения их частныхзаконов распределения:P  xi ,  y j   P  xi P  y j для всех значений хi и уj,то есть если независимы случайные события { = хi} и { = уj}.Задача 3.

Совместный закон распределения случайных величин  и  задан cпомощью таблицы121/163/16-11/163/1601/83/81Вычислить частные законы распределения составляющих величин  и ,определить, зависимы ли они? Вычислить вероятность P    2.Решение. Частное распределение для  получается суммированием вероятностейв строках:P  1  P  1,  1  P  1,  2  1 / 16  3 / 16  1 / 4 ;P  0  P  0,  1  P  0,  2  1 / 16  3 / 16  1 / 4 ;P  1  P  1,  1  P  1,  2  1 / 8  3 / 8  1 / 2 .4Аналогично получается частное распределение для :P  1  1 / 16  1 / 16  1 / 8  1 / 4 ;P  2  3 / 16  3 / 16  3 / 8  3 / 4 .Полученные распределения можно записать в тусоответствующих значений случайных величин:121/163/16-11/163/1601/83/811/43/4же таблицу напротив¼¼½Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин  и .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги