chapter5 (1115291), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Дляэтого в каждой клетке совместного распределения вычислим произведениеP xi P y j и сравним его со значением вероятности P xi , y j вэтой клетке. Например, в клетке для значений =-1 и =1 стоит вероятность 1/16,а произведение соответствующих частных вероятностей 1/4×1/4 равно 1/16, т.е.совпадает с совместной вероятностью. Это условие проверяется во всехоставшихся пяти клетках, и оно оказывается верным во всех этих клетках.Следовательно, случайные величин и независимы.Для вычисления вероятности P 2 отметим клетки, для которыхвыполнено условие 2 . Таких клеток всего три, и соответствующиевероятности в этих клетках равны 1/8, 3/16, 3/8.
Их сумма равна 11/16, это и естьискомая вероятность. Формально вычисление этой вероятности можно записатьтак:P 2 P 1, 1 P 0, 2 P 1, 2 1 / 8 3 / 16 3 / 8 11 / 16§ 5. Числовые характеристики дискретных случайных величинПусть — дискретная случайная величина со значениями x1, x2 ,..., xn и ихвероятностями рi = P(= xi ), i = 1, 2, ..., n.Математическим ожиданием (или средним значением) дискретнойслучайной величины называется числоnM xi pi .i 1Если множество значений случайной величины бесконечно (т.е.
счетно),то математической ожидание определяется как бесконечный рядM xi pii 1в случае, когда он абсолютно сходится. Если – по-прежнему дискретнаявеличина и (х) — некоторая функция, то математическое ожидание величины = () можно вычислить по формулеM ( ) ( xi ) pii5при условии (в бесконечном случае), что ряд, стоящий справа, абсолютносходится.Математическое ожидание обладает следующими свойствами:1) МC= C (C – константа);2) М(C) = CМ для любой константы C;3) М(+) = М + М;4) М() = (М)(М), если и независимы.Если заданы совместное распределение вероятностей случайных величин и и функция (x,y) двух аргументов, тоM ( , ) ( xi , y j ) pij .i, jДисперсией случайной величины называется число D=М(-М)2.Величина = D( x ) называется среднеквадратическим отклонением.Из определения дисперсии вытекает формула для вычисления дисперсиидискретной случайной величины:D ( x i M ) 2 p ii 1при условии абсолютной сходимости ряда.
Однако чаще удобнее бываетвычислять дисперсию по другой формуле:D=М2–(М)2Для дисперсии справедливы следующие свойства.1) DC=0 (дисперсия постоянной равна нулю);2) D(C)=C2D;3) D(+C)=D.4) Если случайные величины и независимы, то D(+)=D+D.Задача 4. Пусть случайная величина имеет следующий закон распределения-102P 1/4 1/4 1/2Вычислить математическое ожидание M, дисперсию D и среднеквадратическоеотклонение .Решение. По определению математическое ожидание равноM 1 1 / 4 0 1 / 4 2 1 / 4 1 / 4 .Далее,M 2 xi2 pi (1)2 1 / 4 0 2 1 / 4 2 2 1 / 4 5 / 4 ,апотомуi 1D M 2 ( M ) 2 5 / 4 1 / 16 19 / 16 .Среднеквадратическое отклонение D 19 / 4 .Задача 5.
Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить M ( ) .Решение. Пользуемся формулой, указанной выше. А именно, в каждой клеткетаблицы выполняем указанную операцию (т.е. умножение значений xi и yi ) ирезультат умножаем на вероятность в клетке, и все это суммируем по всемклеткам таблицы. В итоге получаем:6M ( ) 1 1 1 / 16 1 2 3 / 16 0 1 1 / 16 0 2 3 / 16 1 1 1 / 8 1 2 3 / 8 1 / 16 3 / 8 1 / 8 3 / 4 7 / 16Ковариацией случайных величин и называется числоcov(,)=М[(-М)(-М)](в предположении существования конечных математических ожиданий).Из определения ковариации вытекают следующие ее свойства:1. Если и - независимые случайные величины, то cov( , ) 0. Обратноеневерно.
Если cov( , ) 0 , то случайные величины и называютсянекоррелированными.Изнекоррелированностиневытекаетнезависимости.2. cov( , ) cov( , ) ;3. cov(C , ) C cov( , ) ; cov( , С ) C cov( , ) ;4. cov(1 2 , ) cov(12 , ) cov( 2 , )иcov( 1 ,1 2 ) cov( 1 2 , 1 ) cov( 1 , 2 )5. cov( , ) D .6. Если случайные величины 1 и 2 имеют конечные дисперсии D1 и D2, тодисперсия суммы этих случайных величин существует и равняетсяD(1+2)=D1+D2+2cov(1,2).Этими свойствами удобно пользоваться при вычислении ковариации отсложных выражений. Например,cov(2 2 ,3 4 ) 2 cov( ,3 4 ) cov( 2 ,3 4 ) 6 cov( , ) 8 cov( , ) 3 cov( 2 , ) 4 cov( 2 , ).Обычно ковариацию вычисляют по более простой формуле:cov(,)=М()–(М)(М).Задача 6.
Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить ковариациюcov(,).Решение. В предыдущей задаче уже вычислено математическое ожиданиеM 19 / 16 . Осталось вычислить M и M . Используя полученные в решениизадачи 3 частные законы распределения, получаемM 1 1 / 4 0 1 / 4 1 1 / 2 1 / 4M 1 1 / 4 2 3 / 4 7 / 4 , и, значит,cov( , ) M ( ) M ( ) M ( ) 7 / 16 1 / 4 7 / 4 0 .Задачи для самостоятельного решения1. Монету подбросили 3 раза. Найти распределение вероятностей для числапоявлений герба.72. Три стрелка с вероятностями попадания в цель при отдельном выстреле0,7, 0,8 и 0,9 соответственно делают по одному выстрелу.
Найтираспределение вероятностей для общего числа попаданий.3. Вероятность, что лотерейный билет окажется выиграшным, равна 0,1.Покупатель купил 5 билетов. Найти распределение вероятностей длячисла выигрышей у владельца этих 5 билетов.4. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,7 при одном выстреле.Стрелок стреляет до первого попадания, но делает не более трехвыстрелов.
Найти распределение вероятностей для числа выстрелов.5. На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором 1 минуту горитзеленый свет и 0,5 минуты – красный. Машина подъезжает к перекрестку вслучайные моменты времени. Найти закон распределения времениожидания у перекрестка.6. Прибор комплектуется из двух деталей, вероятность брака для первойдетали – 0,1, а для второй – 0,05. Выбрано 4 прибора. Прибор называетсябракованным, если в нем есть хотя бы одна бракованная деталь.Построить закон распределения для числа бракованных приборов средивыбранных 4 приборов.7.
С конвейера поступили 4 детали. Вероятность брака для каждой деталиравна 0,1. Детали проверяют одну за другой, пока не наберут дведоброкачественные. Найти распределение вероятностей для числапроверенных деталей.8. Два стрелка поражают мишень с вероятностями 0,8 и 0,9 соответственно(при одном выстреле). Найти распределение вероятностей для общегочисла попаданий в мишень, если первый стрелок выстрелил один раз, авторой – два раза.9.
Каждая из 5 лампочек имеет дефект с вероятностью 0,1. Дефектнаялампочка при включении сразу перегорает и ее заменяют новой.Построить закон распределения для числа опробованных ламп.10. Среди 5 ключей два подходят к двери. Ключи пробуют один за другим,пока не откроют дверь. Найти распределение вероятностей для числаопробованных ключей.11. Монета подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет второй раз, приэтом делается не более 4 проб. Найти распределение вероятностей числаподбрасываний.12.
Среди 10 деталей – три нужного размера. Детали извлекаются поочередно,пока не появятся две детали нужного размера, при этом делается не более4-х проб. Найти распределение числа извлеченных деталей.13. Закон распределения случайной величины имеет вид:123 0P 1/83/83/81/8Найти функцию распределения случайной величины , вычислить еематематическоеожидание,дисперсиюисреднеквадратическоеотклонение. Вычислить вероятность P 1 3 / 2.14. Закон распределения случайной величины имеет вид:235 -1P 1/4½1/81/88Найти функцию распределения случайной величины , вычислить еематематическоеожидание,дисперсиюисреднеквадратическоеотклонение. Вычислить вероятность P5 / 2 5 .15.
Докажите, что для случайной величины , распределенной по законуПуассона с параметром , математическое ожидание M , адисперсия D .16. Докажите, что для случайной величины , распределенной по законуБернулли с параметрами n и p, математическое ожидание M np , адисперсия D np (1 p ) .17.
Докажите, что для случайной величины , распределенной погеометрическому закону с параметром p, математическое ожидание11 pM , а дисперсия D 2 .pp18. На станцию обслуживания заявки поступают случайно в соответствии сраспределением Пуассона с параметром 2 . Мощность станциипозволяет обслуживать не более 2 заявок в единицу времени. Найтивероятность того, что в течение данной единицы времени: а) станция несправится с потоком заказов и образуется очередь; б) станцияобслуживания будет простаивать или работать не на полную мощность; в)на станции обслуживания не образуется очередь.19. В процессе производства изделие высшего качества удается получитьтолько с вероятностью 0,2. С конвейера берутся наугад детали до тех пор,пока не будет взято изделие высшего качества. Найти математическоеожидание числа проверенных изделий.20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
