chapter7 (1115293)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 7. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.§ 1. Неравенство ЧебышеваПусть случайная величина  имеет математическое ожидание М идисперсию D. Тогда для любого 0 справедливо неравенство Чебышева:DP        )  2 .Это неравенство часто используют в виде:DP       )  1  2Доказательство этих неравенств основывается на неравенстве Маркова:для любой случайной величины  вероятность события   непревосходит произведения частного 1 на математическое ожидание модуляслучайной величины, то есть Р()М. Справедливо и неравенствоКолмогорова: если 1,2,…,n независимые случайные величины имеют конечныедисперсии Di, то для любого 0 справедливо неравенство1 n1 n1М i   )  1  2 2 ( D 1  D 2  ...

 D n ) .in i 1n i 1n Задача 1. В 400 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытанииравна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, чторазница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов непревысит 20.Решение. Число успехов в этих испытаниях распределено по закону Бернулли,поэтомусреднеечислоуспеховравноМ=np=400×0,8=320,аD=npq=400×0,8×0,2=64. Тогда в силу неравенства Чебышева имеем:D64P   320   20)  1  2  1  0,84.40020Вычислим эту же вероятность с помощью приближенной (интегральной)формулы Муавра-Лапласа (см. главу 4):  np P  320   20)  P  np    )  P npqnpqnpq    2 20   2 (2,5)  2  0,4938  0.9876 2 64  npq Последнее вычисление показывает, что неравенство Чебышева дает довольногрубые оценки вероятностей.P(§ 2.

Закон больших чиселПусть задана бесконечная последовательность независимых одинаковораспределенных случайных величин 1 ,  2 ,..., n ,... , для которых существуютматематическое ожидание Mi  a и дисперсия Di   2 . Тогда для любого >011 nlim P   i  a     0 .n  n i 1Суть закона больших чисел состоит в том, что при возрастании числаслагаемых (т.е. одинаково распределенных случайных величин) среднееарифметическое этих слагаемых мало отличается от математического ожиданияa .

Любое отклонение среднего арифметического случайных величин от числа aпри достаточно большом числе слагаемых – маловероятно.Например. Пусть 1 ,  2 ,...,i ,... – последовательность случайных величин,каждая из которых равна числу успехов в одном испытании Бернулли (т.е. 1 вслучае успеха и 0 – в случае неудачи). Закон распределения каждой такойслучайной величины имеет вид:i 0 1P q P1 nЗдесь Mi  p и Di  pq . Тогда среднее арифметическое х    i равноn i 1частоте успехов в n испытаниях, и закон больших чисел утверждает, что этачастота успехов стремится к вероятности успеха p, если число слагаемых (т.е.число испытаний) стремится к бесконечности.§ 3.

Центральная предельная теорема (ЦПТ)Если 1 ,  2 ,...,i ,... — независимые одинаково распределенные случайныевеличины, такие, что Mi  a и Di   2   , i = 1, 2, ..., то для любоговещественного хxy2 1   2  ...   n  nà1lim P x e 2 dy ,n n2Смысл центральной предельной теоремы заключается в том, что суммаniслучайных величин при надлежащем «центрировании» и «нормировании» иi 1при увеличении числа слагаемых ( n ) ведет себя почти как стандартнораспределенная случайная величина. (Напомним, что  называется стандартнораспределенной, если   N (0,1) .)Например. Пусть 1 ,  2 ,...,i ,... – последовательность случайных величин,удовлетворяющая условиям предыдущего примера.

В этом случае сумма1   2  ...   n  m есть число успехов в n испытаниях Бернулли. Из ЦПТследует, чтоb x2m  np1lim P a  b  d e 2 dx  (b)  (a) ,n npq2где Ф( х ) 1хy22 e dy – функция Лапласа.2 0Тогда вероятность того, что число успехов будет заключено между m1 и m2равна2 m  np m  np m 2  np   Ф m 2  np   Ф m1  np P (m1  m  m 2 )  P  1 npq npq  npq npqnpq Этот результат называется интегральной теоремой Муавра–Лапласа ииспользуется при npq<9. Если р1 и npq  9 , для биномиального распределенияk  используют пуассоновское приближениеP(m  k ) e ,  np ,k!основанное на формуле Пуассона при р0, n, np.Задача 2.

В продукции цеха детали отличного качества составляют 50. Деталиукладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, чточисло деталей отличного качества в коробке отличаться от 100 не более, чем на5?Решение. Пусть n - случайное число деталей отличного качества в коробке,1тогдаприn=200,pqполучим:25m  np5P(95  m  105)  P( )  Ф(0,71)  Ф( 0,71)  0,5450npq50Задача 3.

Используя условия предыдущей задачи, указать в каких границах свероятностью 0,997 находится число деталей отличного качества в коробке. m  npРешение. По таблицам при условии P t   0,997 находим t и npqследовательно, Sn лежит в пределах np  3 npq , т.е. число деталей отличногокачества в коробке с вероятностью 0,997 находится в пределах 100  21.Задача 4. Используя условия примера 1, определить, сколько деталей надоположить в коробку, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, можно былоутверждать, что число деталей отличного качества в коробке не меньше 100.Решение. Необходимо найти n из условия Р (Sn 100) 0,99.

Используянормальное приближение, получаем m  np 100  np   1  Ф 100  np   0,99 ,P (m  100)  P  npq npq npq 100  npи из таблиц получаем неравенство 2,3, откуда, полагая n  x , приnpq1p  q  имеем х2-2,3х-2000, откуда получаем n240.2Задача 5. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%.Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно 3бракованных детали? Какова вероятность обнаружить не меньше 3-хбракованных деталей?Решение.

Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью р=0,005 «успеха»,здесь npq5. Применяя пуассоновское приближение с  = np = 5, получаем3P(m1000253 55 i 5 3)  e , P(m1000  3)  1  P(m1000  3)  1   e3!i  0 i!и по таблицам находим: P(m1000 =3)  0,14,Р(m10003) 0,875.Задача 8. Телефонная станция обслуживает 2000 абонентов, в час пик каждыйабонент использует связь в среднем в течение 2 минут, т.е. мы считаем, что1абонент с вероятностью p использует связь. Какое наименьшее число линий30необходимо, чтобы только один из 100 вызовов получал отказ?Решение. Считая вызовы абонентов независимым, имеем 2000 испытаний1Бернулли с вероятностью "успеха" р= .

Надо найти число линий N из условия302000Р(m2000N) 0,01. Применяя приближение Пуассона с   66,67 , по30таблицам находим N87. При использовании нормального приближенияполучается, что достаточно 86 линий.Задачи для самостоятельного решенияТеоретические задачи.1. Пусть задана последовательность независимых случайных1 , 2 ,..., n ,... , имеющих следующий закон распределения:0n  nnвеличинP 1/ n 1  2 / n 1/ nПрименим ли к этой последовательности закон больших чисел?2. Пусть задана последовательность независимых случайных1 , 2 ,..., n ,...

, имеющих следующий закон распределения:nn  nP1/21/2Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?величин3. Доказать закон больших чисел в «обобщенной форме»: пусть 1 ,  2 ,..., n ,... –последовательностьслучайныхвеличин,укоторыхсуществуютматематические ожидания Mi и дисперсии D i , причем все дисперсииограничены одной константой C>0. Тогда для любого >01 n1 nlim P   i   M i     0 .n n i 1 n i 14.

Пусть случайная величина  имеет нормальное распределение с параметрамиМ=а, D=2. Найти вероятности P|   a |   и P|   a | 3  , пользуясьтаблицами функции Лапласа, оцените те же вероятности с помощьюнеравенства Чебышева.45. Пусть случайная величина  имеет распределение Лапласа, т.е. ее плотность  xравна f ( x)  e ,   0 . Найти М и D. Найти вероятности P|  |   и2P|  | 3  и сравнить их с оценками, получаемыми с помощью неравенстваЧебышева.6. Будет ли выполнен закон больших чисел для последовательностинезависимых случайных величин 1, 2, ...

n , ... если111). P( n  2 n )  ,P( n  2 n )  ;22n ( 2 n 1)2). Р(  n  2 )  2,Р ( n  0)  1  2 2 n ,P ( n  2 n )  2  ( 2 n 1) .7. Пусть некоторая величина а измеряется прибором без систематическойошибки, но со средним квадратическим отклонением . Это означает, чторезультат измерения можно считать случайной величиной  с М=а, D=2.Какова вероятность при 100 измерениях получить для среднегоарифметического (из этих 100 измерений) отклонение от величины а более,чем на? Дать оценки этой вероятности с помощью неравенства Чебышева4и с помощью ЦПТ.8.

Пусть 1, 2, ... i, ... — независимые, одинаково распределенные случайныевеличины с функцией распределения F(x). Пусть задана случайная величина1,  i  x,.i  0,  i  x.Выполняется ли для последовательности 1,2, ... i, ... закон больших чисел?9. Пусть для последовательностей  n  и n  случайных величин существуютчисла а и b такие, чтоlim P(  n  a   )  0,n lim P(  n  b   )  0 ,n длялюбого 0. Доказать, чтоа) lim P(  n  a   ,  n  b   )  1;n б) если f(x, у) непрерывна в точке (а, b), то для любого 0lim P( f ( n , n )  f (a , b)   )  1 .n 10.

Последовательности 1, , ... и 1, 2, ... случайных величин таковы, чтоlim P(  n   )  1,  0 и существует функция распределения F(x), дляn каждой точки непрерывности которой выполняется соотношенияlim P( n  x )  F ( x ) . Доказать, что для каждой точки непрерывности F(x)n справедливо равенство lim P( n   n  x )  F ( x ) .n 5Вычислительные задачи.11. Средний размер вклада в отделении банка равен 6000руб. Оценитьвероятность, что случайно взятый вклад не превысит 10000 руб.12. Среднее количество вызовов, поступающих на АТС завода в течение часа,равно 300.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги