chapter6 (1115292)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 6. Непрерывные случайные величины.§ 1. Плотность и функция распределения непрерывной случайнойвеличиныМножество значений непрерывной случайной величины несчетно иобычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.Случайная величина (),заданная в вероятностном пространстве{,S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) , если существуетнеотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределенияF(x) можно представить в виде интегралаxF ( x )  P (  x )  p (t )dt .Функция p (x ) называется функциейплотности распределениявероятностей.Из определения вытекают свойства функции плотности распределенияp (x ) :1.

Плотность распределения неотрицательна: p ( x )  0 .2. Интеграл по всей числовой прямой от плотности распределениявероятностей равен единице: p ( x )dx  1.3. В точках непрерывности плотность распределения равна производнойфункции распределения: p ( x)  F ( x ) .4. Плотность распределения определяет закон распределения случайнойвеличины, т.к. определяет вероятность попадания случайной величины наинтервал [a, b) :bP  [a, b)  Pa    b  F (b)  F (a )   p (t )dt .a5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина приметконкретное значение a равна нулю: P(  a )  0 . Поэтому справедливыследующие равенства:Pa    b  Pa    b  Pa    b  Pa    b  F (b)  F (a ) .График функции плотности распределения называется кривойраспределения, и площадь, ограниченная кривой распределения и осьюабсцисс, равна единице.

Тогда геометрически значение функции распределенияF(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осьюабсцисс и лежащая левее точки х0.Рис.6.1.1Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:x  [0,2] 0,p ( x )   2Cx , x  [0,2]Определить константу C, построить функцию распределения F(x) и вычислитьвероятность P 1    1.Решение. Константа C находится из условия p ( x)dx  1.

Имеем:122x3 2 p ( x)dx   Cx dx  C 3008C, откуда C=3/8.3Чтобы построить функцию распределения F(x), отметим, что интервал[0,2] делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части:(,0),[0,2], (2, ). Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае(когда x<0) вероятность события {<x} вычисляется так:xF ( x)  P(  x ) x p (t )dt   0dt  0,так как плотность  на полуоси (,0) равна нулю. Во втором случаеF ( x) x0 p (t )dt  p (t )dt   p (t )dt  0 xx03 2x3tdt.8 08Наконец, в последнем случае, когда x>2,F ( x) x0 p (t )dt  p (t )dt   p (t )dt   p (t )dt  0 x20223 2t dt  0  1  0  1,8 0таккак плотность p (x) обращается в нуль на полуоси (2, ) . Итак, полученафункция распределенияx00,3 xF ( x)   , 0  x  28x21,ВероятностьP 1    1вычислимпоформулеPa    b  F (b)  F (a ) . Таким образом, P 1    1  F (1)  F (1)  1 / 8  0.§ 2.

Числовые характеристики непрерывной случайной величиныМатематическое ожидание для непрерывно распределенных случайныхвеличин определяется по формуле M  x p ( x)dx.При этом интеграл,стоящий справа, должен абсолютно сходиться. Пусть  имеет плотность р(х) и(х) - некоторая функция. Математическое ожидание величины () можновычислить по формулеM  ( )   ( x ) p ( x ) dx ,если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.2Дисперсия  может быть вычислена по формуле D  ( x  M )2p( x )dx , атакже, как и в дискретном случае, по формуле D  M 2  (M ) 2 , гдеM 2 x2p ( x)dx .Все свойства математического ожидания и дисперсии, приведенные вглаве 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывныхслучайных величин.Задача 2.

Для случайной величины  из задачи 1 вычислить математическоеожидание и дисперсию.Решение.02233 x43M   x p ( x)dx   x  0dx   x  x 2dx   x  0dx   .808 4 0 22Далее,223 2 23 x512M   x p ( x )dx   x  x dx   , и значит,808 5 0 522D  M 2  (M )2 12 3  0,9.5 2§ 3. Примеры непрерывных случайных величинРавномерное распределение. Непрерывная случайная величина  имеетравномерное распределение на отрезке [a,b], если плотность распределенияр(x) сохраняет постоянное значение на этом промежутке: 1,x  [ a, b]p ( x)   b  a0,x  [a, b].График плотности равномерного распределения см. на рис.

.Рис.6.2. Функция распределения и плотность распределения. равномерногозаконаФункция распределения F(x) равномерно распределенной случайной величиныравна3x  a,0, x  aF(x)= ,a  x  b,b  ax  b.1,Математическое ожидание и дисперсия М (b  a ) 2ab; D .212Показательное (экспоненециальное) распределение.

Непрерывнаяслучайная величина , принимающая неотрицательные значения, имеетпоказательное распределение с параметром >0, если плотность распределениявероятностей случайной величины равнаe  x ,x  0,р(x)= x  0.0,Рис. 6.3. Функция распределения и плотность распределения показательногозакона.Функция распределения показательного распределения имеет вид1  å õ ,x  0,F(x)= x  0,0,11а математическое ожидание и дисперсия равны М= , D= 2 .Нормальное распределение (распределение Гаусса). Непрерывнаяслучайная величина называется распределенной по нормальному закону спараметрами a и  2 , если ее плотность распределения равна( xa) 212ð ( x) e 2 . 22Через   N (a ,  ) обозначается множество всех случайных величин,распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами a и  2 .Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна1F ( x)  2xe(t  a ) 22 2dt .Рис.

6.4. Функция распределения и плотность распределения нормальногозакона4Параметры нормального распределения суть математическое ожиданиеM  a и дисперсия D   2 .В частном случае, когда a  0 и  2  1 нормальное распределениеназывается стандартным, и класс таких распределений обозначается  N (0,1) .В этом случае плотность стандартного распределения равнаx21 2ð ( x) e ,2а функция распределенияxt21F ( x) e 2 dt2  Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), ипотому для функции F (x) составлены таблицы. Функция F (x) связана свведенной в главе 4 функцией Лапласаõt21 ( x) e 2 dt ,2 01следующим соотношением F ( x )  2   ( x ) . В случае же произвольныхзначений параметров a и  2 функция распределения F (x) случайнойвеличины   N (a, 2 ) связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:1хаF ( x )    .2  Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайнойвеличины   N (a, 2 ) на интервал (c1 , c2 ) можно вычислять по формулеc àc àPc1    c2    2   1.    Неотрицательная случайная величина  называется логарифмическинормально распределенной, если ее логарифм =ln подчинен нормальномузакону.

Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально222распределенной случайной величины равны М= ае  и D= a 2 e  (e   1) .Задача 3. Пусть задана случайная величина   N (1,4) . Вычислить вероятностьP0    3.Решение. Здесь a  1 и   2 . Согласно указанной выше формуле 3 1 0 1P0    3      (1)   (0,5)   (1)   (0,5)  0,34  0,19  0,53. 2  2 Распределение Лапласа задается функциейf(x)= -xe,2-х.(двусторонняя показательная плотность).5Функция плотности распределения симметрична относительно нуля иМ=Хmed=Xmod=0 и асимметрия -=0. Дисперсия в два раза большедисперсии случайной величины, распределенной по показательному законуD= =2и эксцесс равен =3.2Рис.6.5.

Функция плотности распределения Лапласа.Случайная величина  распределена по закону Вейбулла, если она имеетфункцию плотности распределения, равнуюx  1e  x ,f ( x)  0,x  0,x  0.Функция распределения в этом случае определяется следующимвыражением :1  e  x ,F ( x )  0,x  0,x  0.Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многихтехнических устройств.

В задачах данного профиля важной характеристикойявляется интенсивность отказа (коэффициент смертности) (t) исследуемыхэлементов возраста t, определяемый соотношением (t)=f  (t )1  F (t ). Если =1, тораспределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, аесли =2 - в так называемое распределение Рэлея.Математическое ожидание распределения Вейбулла:2дисперсия - D  0 [ Г (1 - М  1Г (1 1) и21)  Г 2 (1  )] , где Г(а) -функция Эйлера. .В различных задачах прикладной статистики часто встречаются такназываемые«усеченные»распределения.Например,налоговыеорганыинтересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых6превосходит некоторый порог с0, установленный законами о налогообложении.Этираспределенияоказываютсяприближенносовпадающимисраспределением Парето. Распределение Парето задается функциямиF(x)=P(<x)=1–(с0 ) ;хf ( x )  c0  1( ) ,c0 xгде 0, а хс0.

Основные числовые характеристики этого распределениясуществуют не всегда, а лишь при соблюдении определенных требований кзначению параметра : математическое ожидание - М=дисперсия - D=с 0 1при 1,с02существует при 2;(  1) 2 (  2)§ 4. Функции от случайных величинПусть задана плотность р ( x ) случайной величины  и монотоннаядифференцируемая функция y   (x) . Тогда плотность распределенияслучайной величины    ( ) равнар ( y )  р ( 1 ( y ))d  1 ( y ).dyЗдесь  1 ( y ) – функция, обратная к функции y   (x) .Задача 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [0,2].

Найтиплотность случайной величины      1 .Решение. Из условия задачи следует, что0, x  [0,2]p ( x)   1 2 , x  [0,2]Далее, функция y   x  1 является монотонной и дифференцируемойфункцией на отрезке [0,2] и имеет обратную функцию x   1 ( y )  y 2  1 ,производная которой равнаd 1 ( y ) 2 y. Следовательно,dy0,d 1 ( y )ð ( y )  ð ( ( y )) ð ( 1 ( y ))  2 | y | 2 | y |  1dy 2 ,1y 2  1  [ 0, 2]y 2  1  [ 0, 2].Значит,0,ð ( y )   y ,y  [ 3 ,1]y  [ 3 ,1]7§ 5.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги